资源简介

　　
一、向量的线性运算
1.向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
2.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数问题.
【例1】　（1）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，4），则2a－b＝（　　）
A.（7，－2） B.（1，－2）
C.（1，－3） D.（7，2）
（2）如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为　　　　.
反思感悟
　　向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.
【跟踪训练】
1.如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）
A. B.
C. D.2
2.在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，则r＋s＝　　　　.
二、向量的数量积
　　向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.
【例2】　（1）（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝（　　）
A.　　　B.3　　　C.2　 　D.5
（2）（2023·新高考Ⅱ卷13题）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　.
反思感悟
1.向量数量积的两种计算方法
（1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
2.利用向量数量积可以解决以下问题
（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夹角和模的问题：
设a＝（x1，y1），则｜a｜＝；
两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量）cos θ＝＝.
【跟踪训练】
1.（2023·全国甲卷3题）已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos＜a＋b，a－b＞＝（　　）
A. B. C. D.
2.（2021·新高考Ⅱ卷15题）已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，a·b＋b·c＋c·a＝　　　　.
三、平面向量在几何中的应用
1.向量在平面几何中的应用是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.
2.对于有些平面图形的问题，常建立平面直角坐标系，转化为代数运算解决.
【例3】　（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为　　　　；
（2）（2024·镇江月考）如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　　　.
反思感悟
　　把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.
【跟踪训练】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：（1）AD的长；
（2）∠DAC的大小.
章末复习与总结
【例1】　（1）A　（2）　解析：（1）∵a＝（2，1），b＝（－3，4），∴2a－b＝2（2，1）－（－3，4）＝（4，2）－（－3，4）＝（4＋3，2－4）＝（7，－2）.故选A.
（2）设＝λ，∵＝＋＝－＋m＋＝（m－1）＋.＝＋＝－＋.∴（m－1）＋＝－λ＋λ，∴∴m＝.
跟踪训练
1.B　因为＝λ＋μ＝λ（＋）＋μ（＋）＝λ（＋）＋μ（－＋）＝（λ－μ）＋（＋μ），且＝＋，所以解得所以λ＋μ＝.
2.0　解析：因为＝2＝2（－）＝2－2（＋），所以＝－＝r＋s，又因为，不共线，所以所以r＋s＝0.
【例2】　（1）B　（2）　解析：（1）法一　由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝（＋）·（－＋）＝－｜｜2，由题意知｜｜＝｜｜＝2，所以·＝4－1＝3，故选B.
法二　以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则＝（1，2），＝（－1，2），·＝－1＋4＝3，故选B.
（2）因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
跟踪训练
1.B　由题意知，a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），所以cos＜a＋b，a－b＞＝＝＝＝，故选B.
2.－　解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－.
【例3】　（1）　（2）
解析：（1）作CO⊥AB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，所以E，F，所以＝，＝，所以·＝·＝＋＝.
（2）由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.则O（0，0），A（0，），C（，0），B（×cos 30°，－×sin 30°），即B.因为＝λ＋μ，所以（，0）＝λ（0，）＋μ＝（μ，λ－μ），即解得所以λ＋μ＝.
跟踪训练
　解：（1）设＝a，＝b，
则＝＋
＝＋＝＋（－）
＝＋＝a＋b.
∴｜｜2＝＝（a＋b）2
＝a2＋2×a·b＋b2
＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
∴AD＝.
（2）设∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°），
则θ为与的夹角.
∴cos θ＝
＝
＝
＝＝0.
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
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章末复习与总结
一、向量的线性运算
1. 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运
算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解
和运用要注意向量的大小和方向两个方面.向量是一个有“形”的
几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究
平面向量的重要方法与技巧.
2. 向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运
算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运
算和根据线性运算求参数问题.
【例1】　（1）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，4），则2a－
b＝（　A　）
A. （7，－2） B. （1，－2）
C. （1，－3） D. （7，2）
解析： ∵a＝（2，1），b＝（－3，
4），∴2a－b＝2（2，1）－（－3，4）＝
（4，2）－（－3，4）＝（4＋3，2－4）＝
（7，－2）.故选A.
A
（2）如图所示，在△ABC中， ＝ ，P是BN上的一点，若
＝m ＋ ，则实数m的值为 　 　.
解析： 设 ＝λ ，∵ ＝ ＋
＝－ ＋m ＋ ＝（m－1） ＋
. ＝ ＋ ＝－ ＋ .∴（m－1） ＋ ＝－λ ＋ λ ，∴∴m＝ .
　
反思感悟
　　向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核
心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共
线、共点问题.
【跟踪训练】
1. 如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若 ＝λ ＋
μ ，则λ＋μ＝（　　）
D. 2
√
解析： 　因为 ＝λ ＋μ ＝λ（ ＋ ）＋μ（
＋ ）＝λ（ ＋ ）＋μ（－ ＋ ）＝（λ－μ）
＋（ ＋μ） ，且 ＝ ＋ ，所以解得
所以λ＋μ＝ .
2. 在△OAB中，点P在AB上，且 ＝2 ，若 ＝r ＋s ，
则r＋s＝ .
解析：因为 ＝2 ＝2（ － ）＝2 －2（ ＋ ），
所以 ＝ － ＝r ＋s ，又因为 ， 不共线，
所以所以r＋s＝0.
0　
二、向量的数量积
　　向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向
量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长
度等.
【例2】　（1）（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是
AB的中点，则 · ＝（　B　）
B. 3
D. 5
B
解析： 法一　由题意知， ＝ ＋ ＝ ＋ ，
＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以 · ＝（ ＋
）·（－ ＋ ）＝ － ｜ ｜2，由题意知｜
｜＝｜ ｜＝2，所以 · ＝4－1＝3，故选B.
法二　以点A为坐标原点， ， 的方向分别为x，y轴的正方向
建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则
＝（1，2）， ＝（－1，2）， · ＝－1＋4＝3，故选B.
（2）（2023·新高考Ⅱ卷13题）已知向量a，b满足｜a－b｜＝
，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝ 　 　.
　
解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝ ，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝ .
反思感悟
1. 向量数量积的两种计算方法
（1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b
＝｜a｜｜b｜ cos θ；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，
y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
2. 利用向量数量积可以解决以下问题
（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向
量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夹角和模的问题：
设a＝（x1，y1），则｜a｜＝ ；
两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量） cos
θ＝ ＝ .
【跟踪训练】
1. （2023·全国甲卷3题）已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则
cos ＜a＋b，a－b＞＝（　　）
解析： 　由题意知，a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），所
以 cos ＜a＋b，a－b＞＝ ＝ ＝
＝ ，故选B.
√

解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝
0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－ .
－ 　
三、平面向量在几何中的应用
1. 向量在平面几何中的应用是用向量的线性运算及数量积解决平面几
何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.
2. 对于有些平面图形的问题，常建立平面直角坐标系，转化为代数运
算解决.
【例3】　（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，
BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且
＝ ， ＝ ，则 · 的值为 　 　；
　
解析： 作CO⊥AB于点O，建立如图所
示的平面直角坐标系，则A ，
B ，C ，D ，所以
E ，F ，所以 ＝ ， ＝ ，所以 · ＝ · ＝ ＋ ＝ .
（2）（2024·镇江月考）如图，半径为 的扇形AOB的圆心角为
120°，点C在 上，且∠COB＝30°，若 ＝λ ＋
μ ，则λ＋μ＝ .
　
解析： 由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.则
O（0，0），A（0， ），C（ ，0），
B（ × cos 30°，－ × sin 30°），即B .因为 ＝λ ＋μ ，所以（ ，0）＝λ（0， ）＋μ ＝ ，即
解得所以λ＋μ＝ .
反思感悟
　　把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的
坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这
样的解题方法具有普遍性.
【跟踪训练】
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC
上，且BD＝ DC.
求：（1）AD的长；
解： 设 ＝a， ＝b，则 ＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）
＝ ＋ ＝ a＋ b.
∴｜ ｜2＝ ＝（ a＋ b）2
＝ a2＋2× a·b＋ b2
＝ ×9＋2× ×3×3× cos 120°＋ ×9＝3.
∴AD＝ .
（2）∠DAC的大小.
解： 设∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°），
则θ为 与 的夹角.
∴ cos θ＝ ＝
＝ ＝ ＝0.
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
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