资源简介 章末检测（九） 平面向量（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量a＝（2，0），b＝（－1，－1），则下列结论正确的是（ ）A.a·b＝3 B.a∥bC.b⊥（a＋b） D.｜a｜＝｜b｜2.已知向量a＝（1，m），b＝（m，2），若a∥b，则实数m＝（ ）A.－ B.C.－或 D.03.已知A，B，C为圆O上的三点，若＋＝，圆O的半径为2，则·＝（ ）A.－1 B.－2C.1 D.24.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（ ）A.40 N B.10 NC.20 N D.10 N5.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，＝b，则＝（ ）A.a＋b B.a－bC.a＋b D.a－b6.若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且（2a＋3b）⊥（ka－4b），则k＝（ ）A.－6 B.6C.3 D.－37.已知点A（2，－1），B（4，2），点P在x轴上，当·取最小值时，点P的坐标是（ ）A.（2，0） B.（4，0）C. D.（3，0）8.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P（如图所示）.若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－μ＝（ ）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量a，b，c是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A.若a∥b，则a·b＝｜a｜·｜b｜B.若a∥b，b∥c，则a∥cC.a∥c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λaD.若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则a⊥b10.已知平面向量a＝（1，1），b＝（－3，4），则下列说法正确的是（ ）A.cos＜a，b＞＝B.b在a方向上的投影向量为aC.与b垂直的单位向量的坐标为（，）D.若向量a＋λb与向量a－λb共线，则λ＝011.八卦是中国道家文化的深奥概念，其平面图形可简记为正八边形ABCDEFGH（如图所示），其中OA＝1，则下列结论中正确的是（ ）A. ∥B.·＝－C.＋＝－D.｜｜＝三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为 .13.设向量a，b不平行，向量a＋λb与－a＋b平行，则实数λ＝ .14.如图，已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3＋4＋5＝0，则cos∠BOC的值为 ，·＝ .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n），且∥.（1）求实数n的值；（2）若⊥，求实数m的值.16.（本小题满分15分）一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？17.（本小题满分15分）已知｜a｜＝，｜b｜＝1，a与b的夹角为45°.（1）求a在b方向上的投影向量的模；（2）求｜a＋2b｜的值；（3）若向量（2a－λb）与（λa－3b）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.18.（本小题满分17分）如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.（1）以a，b为基底表示向量与；（2）若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，求·；（3）设线段AM，FH的交点为O，在（2）的条件下，求∠MOF的余弦值.19.（本小题满分17分）n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组（a1，a2，…，an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…，n）称为该向量的第i分量，特别地，对一个n维向量a＝（a1，a2，…，an），若｜ai｜＝1，i＝1，2，…，n，称a为n维信号向量.设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则a和b的内积定义为a·b＝aibi，且a⊥b a·b＝0.（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；（3）已知k个两两垂直的2 024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同时，求证：＜45.章末检测（九） 平面向量1.C 对于A，a·b＝2×（－1）＋0×（－1）＝－2，故A错误；对于B，2×（－1）－（－1）×0≠0，a与b不平行，故B错误；对于C，b·（a＋b）＝b·a＋｜b｜2＝－2＋2＝0，所以b⊥（a＋b），故C正确；对于D，｜a｜＝2，｜b｜＝，所以｜a｜≠｜b｜，故D错误.故选C.2.C 由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝或－.故选C.3.D 如图所示，＋＝，∴四边形OABC是菱形，且∠AOC＝120°.又圆O的半径为2，∴·＝2×2×cos 60°＝2.故选D.4.B 设夹角为90°时，合力为F，｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜cos 45°＝10 N，当夹角为120°时，由平行四边形法则知：｜F合｜＝｜F1｜＝｜F2｜＝10 N.5.A 连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的三等分点，所以CD∥AB，且CD＝AB，故＝＋＝b＋a.故选A.6.B 由题意，得（2a＋3b）·（ka－4b）＝2ka2＋（3k－8）a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又｜a｜＝｜b｜＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.故选B.7.D 设P（a，0），则＝（2－a，－1），＝（4－a，2），所以·＝（2－a）（4－a）－2＝a2－6a＋6，由二次函数的性质得，当a＝3时，·有最小值，此时点P的坐标是（3，0）.故选D.8.A 因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，所以＝＋.易知＝－，＝＋＝＋＝＋＝2＋－＝＋，则＝λ＋μ＝λ＋μ（－）＝＋，则解得故λ－μ＝.故选A.9.BCD 对于A，a∥b，则a，b方向相同或者相反，故a·b＝±｜a｜·｜b｜，故A错误；对于B，由于b≠0，所以a∥b，b∥c，则a∥c，故B正确；对于C，由于a，c为非零向量，所以a∥c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa，故C正确；对于D，由｜a＋b｜＝｜a－b｜可得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2 a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b a·b＝0，故a⊥b，故D正确.故选B、C、D.10.AD 由题意知｜a｜＝＝，｜b｜＝＝5，a·b＝1×（－3）＋1×4＝1，对于A，cos＜a，b＞＝＝＝，故A正确；对于B，b在a方向上的投影向量为a＝a，故B错误；对于C，设与b垂直的单位向量的坐标为（x0，y0），则解得或所以与b垂直的单位向量的坐标为（，）或（－，－），故C错误；对于D，因为向量a＋λb与向量a－λb共线，所以存在t∈R，使得a＋λb＝t（a－λb）＝ta－λtb，则解得故D正确.故选A、D.11.ABC 对于A，由题图知，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD（图略），则AD∥BC，所以∥，故A正确；对于B，·＝｜｜·｜｜cos＝－，故B正确；对于C，＋＝，＝－，所以＋＝－ ，故C正确；对于D，连接AF，则｜｜＝｜－｜＝＝＝＝，故D错误.故选A、B、C.12. 解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.13.－4 解析：∵a，b不平行，∴－a＋b≠0，又a＋λb与－a＋b平行，∴存在实数μ，使得a＋λb＝μ（－a＋b）.根据平面向量基本定理，得解得λ＝－4.14.－ 0 解析：设外接圆半径为R，则｜｜＝｜｜＝｜｜＝R，由3＋4＋5＝0.得4＋5＝－3，两边平方得16R2＋40·＋25R2＝9R2，则·＝－R2，即R2cos∠BOC＝－R2，则cos∠BOC＝－.因为＝＝－－，所以·＝·＝－－·＝－R2－R2cos∠BOC＝－R2－R2·＝0，即·＝0.15.解：（1）因为＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n），所以＝＋＋＝（3，3＋m＋n），因为∥，设＝λ，即解得n＝－3.（2）因为＝＋＝（2，3＋m），＝＋＝（4，m－3），又⊥，所以·＝0，即8＋（3＋m）（m－3）＝0，解得m＝±1.16.解：如图所示，设为水流速度，为最大航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED且当与方向相同时能最快到达彼岸B码头，根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，｜｜＝｜｜＝2，｜｜＝4，∠AED＝90°，因为sin∠EAD＝，∠EAD∈（0°，90°），所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°.所以｜｜＝＝2.又AB＝，所以用时＝0.5（h）.所以该船的航行速度为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达彼岸B码头，用时0.5 h.17.解：（1）a在b方向上的投影向量的模为｜a｜cos 45°＝×＝1.（2）a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 45°＝×1×＝1，｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10，则｜a＋2b｜＝.（3）向量（2a－λb）与（λa－3b）的夹角是锐角，得（2a－λb）·（λa－3b）＞0，且（2a－λb）与（λa－3b）不共线，即2λa2＋3λb2－（6＋λ2）a·b＞0，即有7λ－（6＋λ2）＞0，解得1＜λ＜6，由（2a－λb）与（λa－3b）共线，可得2·（－3）＝－λ·λ，解得λ＝±，则实数λ的取值范围为（1，）∪（，6）.18.解：（1）∵平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a，＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.（2）由（1）知，＝b＋a，＝a－b，∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，∴a·b＝2×3×cos 120°＝－3，·＝（b＋a）·（a－b）＝a2－b2＋a·b＝×4－×9＋×（－3）＝－.（3）由（1）（2）知，＝b＋a，＝a－b，a·b＝－3，·＝－，∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－3，∴｜｜＝＝＝＝，｜｜＝＝＝＝，∵线段AM、FH的交点为O，∴∠MOF就是向量与的夹角，∴cos∠MOF＝cos＜，＞＝＝＝－，故∠MOF的余弦值为－.19.解：（1）根据题意，两两垂直的4维信号向量可以为：（1，1，1，1），（－1，－1，1，1），（－1，1，－1，1），（－1，1，1，－1）.（2）证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1，y2，…，y14，因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设y1＝（1，1，…，1），y2＝（1，1，1，1，1，1，1，－1，－1，－1，－1，－1，－1，－1），因为y1·y3＝0，所以y3有7个分量为－1，设y3的前7个分量中有r个－1，则后7个分量中有7－r个－1，所以y2·y3＝r·（－1）＋（7－r）＋（7－r）＋r·（－1）＝0，可得r＝，矛盾，所以不存在14个两两垂直的14维信号向量.（3）证明：任取i，j∈{1，2，…，k}，计算内积xi·xj，将所有这些内积求和得到S，则S＝＋＋…＋＝2 024k，设x1，x2，…，xk的第k个分量之和为ci，则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为，所以S＝＋＋…＋≥＋＋…＋＝k2m，则2 024k≥k2m，所以km≤2 024＜2 025，所以＜45.3 / 3(共36张PPT)章末检测（九）平面向量（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量a＝（2，0），b＝（－1，－1），则下列结论正确的是（ ）A. a·b＝3 B. a∥bC. b⊥（a＋b） D. ｜a｜＝｜b｜12345678910111213141516171819√解析： 对于A，a·b＝2×（－1）＋0×（－1）＝－2，故A错误；对于B，2×（－1）－（－1）×0≠0，a与b不平行，故B错误；对于C，b·（a＋b）＝b·a＋｜b｜2＝－2＋2＝0，所以b⊥（a＋b），故C正确；对于D，｜a｜＝2，｜b｜＝ ，所以｜a｜≠｜b｜，故D错误.故选C.123456789101112131415161718192. 已知向量a＝（1，m），b＝（m，2），若a∥b，则实数m＝（ ）A. － B.C. － 或 D. 0解析： 由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝ 或－ .故选C.√123456789101112131415161718193. 已知A，B，C为圆O上的三点，若 ＋ ＝ ，圆O的半径为2，则 · ＝（ ）A. －1 B. －2C. 1 D. 2解析： 如图所示， ＋ ＝ ，∴四边形OABC是菱形，且∠AOC＝120°.又圆O的半径为2，∴ · ＝2×2× cos 60°＝2.故选D.√123456789101112131415161718194. 两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（ ）A. 40 N B. 10 NC. 20 N D. 10 N解析： 设夹角为90°时，合力为F，｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜cos 45°＝10 N，当夹角为120°时，由平行四边形法则知：｜F合｜＝｜F1｜＝｜F2｜＝10 N.√123456789101112131415161718195. 如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设 ＝a， ＝b，则 ＝（ ）A. a＋b B. a－bC. a＋ b D. a－ b解析： 连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的三等分点，所以CD∥AB，且CD＝ AB，故 ＝ ＋ ＝b＋ a.故选A.√123456789101112131415161718196. 若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且（2a＋3b）⊥（ka－4b），则k＝（ ）A. －6 B. 6C. 3 D. －3解析： 由题意，得（2a＋3b）·（ka－4b）＝2ka2＋（3k－8）a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又｜a｜＝｜b｜＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.故选B.√123456789101112131415161718197. 已知点A（2，－1），B（4，2），点P在x轴上，当 · 取最小值时，点P的坐标是（ ）A. （2，0） B. （4，0）C. D. （3，0）解析： 设P（a，0），则 ＝（2－a，－1）， ＝（4－a，2），所以 · ＝（2－a）（4－a）－2＝a2－6a＋6，由二次函数的性质得，当a＝3时， · 有最小值，此时点P的坐标是（3，0）.故选D.√123456789101112131415161718198. 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P（如图所示）.若 ＝λ ＋μ ，其中λ，μ∈R，则λ－μ＝（ ）A. B.C. D.√12345678910111213141516171819解析： 因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P，所以 ＝ ＋ .易知 ＝ － ， ＝ ＋ ＝＋ ＝ ＋ ＝2 ＋ － ＝ ＋ ，则＝λ ＋μ ＝λ ＋μ（ － ）＝＋ ，则解得故λ－μ＝ .故选A.12345678910111213141516171819二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知向量a，b，c是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若a∥b，则a·b＝｜a｜·｜b｜B. 若a∥b，b∥c，则a∥cC. a∥c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λaD. 若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则a⊥b√√√12345678910111213141516171819解析： 对于A，a∥b，则a，b方向相同或者相反，故a·b＝±｜a｜·｜b｜，故A错误；对于B，由于b≠0，所以a∥b，b∥c，则a∥c，故B正确；对于C，由于a，c为非零向量，所以a∥c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa，故C正确；对于D，由｜a＋b｜＝｜a－b｜可得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2 a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b a·b＝0，故a⊥b，故D正确.故选B、C、D.1234567891011121314151617181910. 已知平面向量a＝（1，1），b＝（－3，4），则下列说法正确的是（ ）A. cos ＜a，b＞＝B. b在a方向上的投影向量为 aC. 与b垂直的单位向量的坐标为（ ， ）D. 若向量a＋λb与向量a－λb共线，则λ＝0√√12345678910111213141516171819解析： 由题意知｜a｜＝ ＝ ，｜b｜＝ ＝5，a·b＝1×（－3）＋1×4＝1，对于A， cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，故A正确；对于B，b在a方向上的投影向量为 a＝ a，故B错误；对于C，设与b垂直的单位向量的坐标为（x0，y0），则解得或所以与b垂直的单位向量的坐标为（ ， ）或（－ ，－ ），故C错误；对于D，因为向量a＋λb与向量a－λb共线，所以存在t∈R，使得a＋λb＝t（a－λb）＝ta－λtb，则解得故D正确.故选A、D.1234567891011121314151617181911. 八卦是中国道家文化的深奥概念，其平面图形可简记为正八边形ABCDEFGH（如图所示），其中OA＝1，则下列结论中正确的是（ ）A. ∥B. · ＝－C. ＋ ＝－D. ｜ ｜＝√√√12345678910111213141516171819解析： 对于A，由题图知，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD（图略），则AD∥BC，所以 ∥ ，故A正确；对于B， · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＝－ ，故B正确；对于C， ＋ ＝ ， ＝－ ，所以 ＋＝－ ，故C正确；对于D，连接AF，则｜ ｜＝｜－ ｜＝ ＝ ＝＝ ，故D错误.故选A、B、C.12345678910111213141516171819三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝3 ，则a与b的夹角为 .解析：设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝ . 1234567891011121314151617181913. 设向量a，b不平行，向量a＋ λb与－a＋b平行，则实数λ＝ .解析：∵a，b不平行，∴－a＋b≠0，又a＋ λb与－a＋b平行，∴存在实数μ，使得a＋ λb＝μ（－a＋b）.根据平面向量基本定理，得解得λ＝－4.－4 1234567891011121314151617181914. 如图，已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3 ＋4 ＋5 ＝0，则 cos ∠BOC的值为 ， · ＝ .－ 0 12345678910111213141516171819解析：设外接圆半径为R，则｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝R，由3 ＋4 ＋5 ＝0.得4 ＋5 ＝－3 ，两边平方得16R2＋40 · ＋25R2＝9R2，则 · ＝－ R2，即R2 cos ∠BOC＝－ R2，则 cos ∠BOC＝－ .因为 ＝ ＝－ － ，所以 · ＝· ＝－ － · ＝－ R2－ R2 cos∠BOC＝－ R2－ R2· ＝0，即 · ＝0.12345678910111213141516171819四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分13分）已知 ＝（－1，3）， ＝（3，m），＝（1，n），且 ∥ .（1）求实数n的值；解： 因为 ＝（－1，3）， ＝（3，m）， ＝（1，n），所以 ＝ ＋ ＋ ＝（3，3＋m＋n），因为 ∥ ，设 ＝λ ，即解得n＝－3.12345678910111213141516171819（2）若 ⊥ ，求实数m的值.解： 因为 ＝ ＋ ＝（2，3＋m），＝ ＋ ＝（4，m－3），又 ⊥ ，所以 · ＝0，即8＋（3＋m）（m－3）＝0，解得m＝±1.1234567891011121314151617181916. （本小题满分15分）一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？12345678910111213141516171819解：如图所示，设 为水流速度， 为最大航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED且当 与方向相同时能最快到达彼岸B码头，根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，｜ ｜＝｜ ｜＝2，｜ ｜＝4，∠AED＝90°，因为 sin ∠EAD＝ ，∠EAD∈（0°，90°），所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°.所以｜ ｜＝ ＝2 .又AB＝ ，所以用时 ＝0.5（h）.所以该船的航行速度为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达彼岸B码头，用时0.5 h.1234567891011121314151617181917. （本小题满分15分）已知｜a｜＝ ，｜b｜＝1，a与b的夹角为45°.（1）求a在b方向上的投影向量的模；解： a在b方向上的投影向量的模为｜a｜ cos 45°＝× ＝1.（2）求｜a＋2b｜的值；解： a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 45°＝ ×1× ＝1，｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10，则｜a＋2b｜＝ .12345678910111213141516171819（3）若向量（2a－λb）与（λa－3b）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.解： 向量（2a－λb）与（λa－3b）的夹角是锐角，得（2a－λb）·（λa－3b）＞0，且（2a－λb）与（λa－3b）不共线，即2λa2＋3λb2－（6＋λ2）a·b＞0，即有7λ－（6＋λ2）＞0，解得1＜λ＜6，由（2a－λb）与（λa－3b）共线，可得2·（－3）＝－λ·λ，解得λ＝± ，则实数λ的取值范围为（1， ）∪（ ，6）.1234567891011121314151617181918. （本小题满分17分）如图所示，平行四边形ABCD中， ＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝ BC.（1）以a，b为基底表示向量 与 ；解： ∵平行四边形ABCD中， ＝a， ＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝ BC，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝b＋ a，＝ － ＝ ＋ － ＝a＋ b－ b＝a－ b.12345678910111213141516171819（2）若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，求· ；解： 由（1）知， ＝b＋ a， ＝a－ b，∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，∴a·b＝2×3× cos 120°＝－3，· ＝（b＋ a）·（a－ b）＝ a2－ b2＋ a·b＝ ×4－ ×9＋ ×（－3）＝－ .12345678910111213141516171819（3）设线段AM，FH的交点为O，在（2）的条件下，求∠MOF的余弦值.解： 由（1）（2）知， ＝b＋a， ＝a－ b，a·b＝－3， · ＝－ ，∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－3，12345678910111213141516171819∴｜ ｜＝ ＝ ＝＝ ，｜ ｜＝ ＝ ＝＝ ，∵线段AM、FH的交点为O，12345678910111213141516171819∴∠MOF就是向量 与 的夹角，∴ cos ∠MOF＝ cos ＜ ， ＞＝ ＝＝－ ，故∠MOF的余弦值为－ .1234567891011121314151617181919. （本小题满分17分）n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组（a1，a2，…，an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…，n）称为该向量的第i分量，特别地，对一个n维向量a＝（a1，a2，…，an），若｜ai｜＝1，i＝1，2，…，n，称a为n维信号向量.设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则a和b的内积定义为a·b＝ aibi，且a⊥b a·b＝0.（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；解： 根据题意，两两垂直的4维信号向量可以为：（1，1，1，1），（－1，－1，1，1），（－1，1，－1，1），（－1，1，1，－1）.12345678910111213141516171819（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；解： 证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量y1，y2，…，y14，因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设y1＝（1，1，…，1），y2＝（1，1，1，1，1，1，1，－1，－1，－1，－1，－1，－1，－1），因为y1·y3＝0，所以y3有7个分量为－1，设y3的前7个分量中有r个－1，则后7个分量中有7－r个－1，所以y2·y3＝r·（－1）＋（7－r）＋（7－r）＋r·（－1）＝0，可得r＝ ，矛盾，所以不存在14个两两垂直的14维信号向量.12345678910111213141516171819（3）已知k个两两垂直的2 024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同时，求证： ＜45.解： 证明：任取i，j∈{1，2，…，k}，计算内积xi·xj，将所有这些内积求和得到S，则S＝ ＋ ＋…＋ ＝2 024k，设x1，x2，…，xk的第k个分量之和为ci，则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为 ，所以S＝ ＋ ＋…＋ ≥ ＋ ＋…＋ ＝k2m，则2 024k≥k2m，所以km≤2 024＜2 025，所以 ＜45.12345678910111213141516171819谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 章末检测（九） 平面向量.docx 章末检测（九） 平面向量.pptx
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