资源简介

2.7探索勾股定理
（第2课时）
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
章节导读
学 习 目 标
知识理解目标
能准确复述勾股定理逆定理的内容："若三角形三边满足a2+b2=c2,则该三角形为直角三角形，且 c为直角。
应用技能目标
能根据给定三边长度，通过计算验证是否满足逆定理条件，并判断三角形是否为直角三角形（如判断边长为5、12、13的三角形是否为直角三角形）。
逻辑推理目标
能通过构造法或反证法初步理解逆定理的证明思路，体会几何命题的互逆性。
能结合全等三角形等知识，解释逆定理与勾股定理的逻辑闭环关系
课堂导入
古埃及人在没有特殊工具的时候用以下的方法来得到直角：将一根绳子12等分，在3个单位长和7个单位长的地方做好标记，然后将绳子连成环形并在接口处做好标记，最后分别在三个做好标记的地方将绳子拉直，就得到了一个直角
古埃及人是怎么确定得到的是直角三角形的呢
新知探究
提供不同长度的小棒（如3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm；6cm、8cm、10cm；7cm、8cm、9cm等）。
分别拼成三角形，并用量角器测量最大的角
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}边长组合
是否满足a2+b2=c2
最大角度数
是否为直角三角形
3,4,5
是（25=16+9）
90°
是
5,12,13
是（169=25+144）
90°
是
7,8,9
否（81≠49+64）
约80°
否
6,8,10
是（100=36+64）
90°
是
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三
角形是直角三角形。
例1.已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（???? ?）
典例分析
A . ?????????????????=???????? B . ????=????，????=????，????=????
C . ∠????+∠????=∠???? D . ∠????:∠????：∠????=????:????:????
?
由?????????????????=???????? ，变形得????????=????????+????????，符合勾股定理逆定理，说明∠B=90°，能判断为直角三角形
?
三边????=????，????=????，????=????，满足32+42=52，符合勾股定理逆定理，能判断为直角三角形
?
由∠????+∠????=∠????以及三角形内角和180°，可得2∠C=180°，即∠C=90°，能判断为直角三角形
?
设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，三个角分别为45°、60°、75°、均为锐角，无法构成直角三角形
D
变式训练
在下列由线段a、b、c组成的三角形中，是直角三角形的是（??? ??）
最长边为8，验证：62+62=36+36=72，82=64，所以62+62≠82，不是直角三角形
最长边为4，验证：22+32=4+9=13，42=16，所以22+32≠42，不是直角三角形
A . a=2，b=3，c=4 B . a=6，b=6，c=8
C . a=5，b=12，c=13 D . a=5，b=8，c=10
最长边为13，验证：52+122=25+144=169，132=169，所以52+122≠132，是直角三角形
最长边为10，验证：52+82=25+64=89，102=100，所以52+82≠102，不是直角三角形
C
例2 如图，小微同学想测量一条河的宽度MP，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点H，发现MP延长线上的点N处有一棵大树，用测距仪测得MH=34米，NH=30米，HP=31米，已知MN=16米，请你计算这条河的宽度MP．（结果保留根号）
典例分析
根据勾股定理的逆定理，确定∠N=90°，再利用勾股定理解答即可
解：∵MN=16米，NH=30米，MH=34米
∴MN2+NH2=MH2,
∴△MNH是直角三角形，且∠N=90°
在Rt△NPH中，HP=31米，NH=30米
∴NP=?????????????????????????=????????米
∴MP=MN-NP=(16-????????)米
即这条河的宽度MP为(16-????????)米
?
变式训练
不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD=90°）．根据安全标准需满足BC⊥CD，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由．
解：符号安全标准
理由：∵在△ABD中，∠ABD=90°，AB=6dm，AD=9dm
∴BD2=AD2-AB2=92-62=45
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°
∴BC⊥CD，∴该婴儿车符合安全标准
例3 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=3，点D是Rt△ABC外一点，连接CD、AD，且CD=12，AD=13．求四边形ABCD的面积．
典例分析
解：∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC=????????????+????????????=????????+????????=????
∴CD=12，AD=13
∴AC2+CD2=52+122=25+144=169,AD2=132=169
∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°
∴????四边形????????????????=?????????????????+?????????????????=????????×????×????+????????×????×????????=????????
?
由勾股定理可得AC=5，证明AC2+CD2=AD2,则由勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°，再根据????四边形????????????????=?????????????????+?????????????????列式求解即可
?
变式训练
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．求四边形ABCD的面积．
解：如图所示，连接AC
∵∠B=90°，AB=4，BC=3
根据勾股定理得：AC=????????????+????????????=????
又∵CD=12，AD=13,
∴CD2+AC2=169，AD2=169,∴CD2+AC2=AD2
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°
∴????四边形????????????????=???????????????????????????????????=????????×????×?????????????????×????×????=????????
?
连接AC，由勾股定理求解AC的值，再证明△ACD为直角三角形，得到∠ACD=90°，最后根据????四边形????????????????=???????????????????????????????????代入即可求解
?
课堂练习
1．若△ABC的三边a， b，c满足a:b:c=1:????:2， 则△ABC的形状是（??????????）
?
D
设三边分别为：k、????????、2k(k＞0)，其中最长边为2k；再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状即可
?
解：∵a：b：c=1:????：2
设三边分别为：k、????????、2k(k＞0)，其中最长边为2k
∵（2k）2=4k2，k2+（????k）2=k2+3k2=4k2
∴△ABC为直角三角形。
?
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
课堂练习
2.如图，在4×4方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（???????）? ??
A .2个 B . 4个 C . 6个 D . 7个
C
H
E
D
F
G
C
课堂练习
3．已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（?? ???）
根据勾股定理得出△ABC是直角三角形，再利用用直角三角形的性质即可
解：∵BC2+AB2=144+25=169,AC2=169
∴BC2+AB2=AC2
∴△ABC是直角三角形
∵D地位于A、C两地的中点
∴BD=????????????=????.????????????
?
A .2.5km B . 6km C . 6.5km D . 7.5km
C
课堂练习
4 .如图，以的三边向外作正方形，其面积依次为4，9，13，则这个三角形的面积______．
根据正方形面积为4、9、13，可得这个三角形边长之间的关系，依据勾股定理逆定理可得这个三角形的性质，进而得出其面积
解：由题可得，4+9=13，
∴22+32=????????????
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°
又∵AB=????=???? ，BC=????=3
∴△ABC的面积=????????AB×BC=????????×????×????=3
?
3
课堂练习
5.如图，在△ABC中，AC和BC的垂直平分线I1和I2分别交AB于点D、E，若AD=3，DE=4，EB=5，则△ABC的面积等于_______．
连接CD、CE，根据线段垂直平分线的性质得到CD=AD，EC=EB，根据勾股定理的逆定理得到△CDE是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可
解：∵连接CD、CE
∵I1是线段AC的垂直平分线，∴CD=AD=3
∵I2是线段BC的垂直平分线，∴EC=EB=5
∵CD2+DE2=32+42=25=CE2
∴∠CDE=90°，∴CD⊥AB
∴?????????????????=?????????????????????????=????????×????+????+????×????=????????
?
????????
?
课堂练习
6．为方便游客登山，某景区分别在山峰的东麓和西麓（东边山脚和西边山脚）各修建一条登山缆车索道，其示意图如图所示，从《游客须知》手册上得到信息：西索道AB单程需要10min，缆车平均速度为1m/s；东索道AC单程需要6min40s，缆车平均速度为2m/s．已知山脚两索道出发点间的直线距离BC为1km，且B，C两地的海拔高度均为1500m，求该山峰山顶A的海拔高度．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则该山峰顶A的海波高度（AD+1500）m
根据题意：AB=10×60=600（m），AC=（6×60+40）×2=800（m），BC=1000（m）,∴AB2+AC2=BC2
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°
∴?????????????????????????=?????????????????????????,∴AD=?????????????????????????=????????????×??????????????????????????=????????????(????)
∴AD+1500=1980(m)
?
D
课堂练习
7．如图，长方体的长和宽分别为8cm和4cm，高为10cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，求蚂蚁爬行的最短路径的长度．
解：长方体的侧面展开图如图所示，连接PQ，则PQ为蚂蚁爬行的最短路径的长度
∵长方体的长为8cm，宽为4cm，高为10cm
∴PP'=4+8+4=24(cm),P'Q=10cm
由题意可知：∠PP'Q=90°
∴在Rt△PP'Q中，PQ=??????′????+????′????????=????????????????
∴蚂蚁爬行的最短路线的长度为26cm
?
课堂小结
实际问题验证：建筑中检查墙角是否垂直（如用卷尺测量边长后计算验证）。
综合题型：与勾股定理结合，先通过边长判定形状，再求面积或高。
逆定理的实际应用
若一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2（其中c为最长边)，则这个三角形是直角三角形，且直角对着最长边c
①勾股定理（正向）是“由直角推边长关系”，逆定理是“由边长关系推直角”。
②必须验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。
勾股定理的逆定理的内容
01
03
04
02
感谢聆听!

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