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习题课二　带电粒子在复合场中的运动
题组一　带电粒子在组合场中的运动
1.如图所示，某种带电粒子由静止开始经电压为U1的电场加速后，射入水平放置、电势差为U2的两导体板间的匀强电场中，带电粒子沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d随着U1和U2的变化情况为（不计重力，不考虑边缘效应）（　　）
A.d随U1变化，d与U2无关
B.d与U1无关，d随U2变化
C.d随U1变化，d随U2变化
D.d与U1无关，d与U2无关
2.如图所示，在第Ⅱ象限内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴且初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好以与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知O、P之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为（　　）
A. B.（2＋5π）
C. D.
题组二　带电粒子在叠加场中的运动
3.一个不计重力的带电荷量为－q的带电微粒，从两竖直的带电平行板上方h处以竖直向下的初速度v0运动，两极板间存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度为B，则带电微粒通过有电场和磁场的空间时，下列说法正确的是（　　）
A.有可能做匀加速运动 B.有可能做匀速运动
C.一定做直线运动 D.一定做曲线运动
4.如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，一个带电微粒由a点进入电磁场并刚好能沿ab直线向上匀速运动，下列说法正确的是（　　）
A.微粒可能带负电，也可能带正电
B.微粒的电势能一定增加
C.微粒的机械能一定增加
D.洛伦兹力对微粒做负功
5.如图所示，在地面附近有一个范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外，一质量为m、带电荷量为－q的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动（重力加速度为g）。
（1）求此区域内电场强度的大小和方向；
（2）若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°角，如图所示，则该微粒至少需要经过多长时间运动到距地面最高点？
6.如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5 m，磁场方向垂直纸面向里。在y＞R的区域存在一沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m。在M点（坐标原点）有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿x轴正方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，不计粒子重力。求：
（1）圆形磁场区域磁感应强度的大小；
（2）沿x轴正方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。
7.如图甲所示，一对平行金属板C、D相距为d，O、O1为两板上正对的小孔，紧贴D板右侧，存在上下范围足够大、宽度为L的有界匀强磁场区，磁场方向垂直于纸面向里，MN、GH是磁场的左、右边界。现有质量为m、电荷量为＋q的粒子从O孔进入C、D板间，粒子初速度和重力均不计。
（1）C板为正极板，C、D板间加恒定电压U，求板间匀强电场的电场强度大小E和粒子从O运动到O1的时间t；
（2）C、D板间加如图乙所示的电压，U0为已知量，周期T是未知量。t＝0时刻带电粒子从O孔进入，为保证粒子到达O1孔时具有最大速度，求周期T应满足的条件和粒子到达O1孔的最大速度vm；
（3）磁场的磁感应强度B随时间t'的变化关系如图丙所示，B0为已知量，周期T0＝ 。t'＝0时，粒子从O1孔沿OO1延长线方向射入磁场，始终不能穿出右边界GH，求粒子进入磁场时的速度v应满足的条件。
习题课二　带电粒子在复合场中的运动
1.A　带电粒子在电场中做类平抛运动，可将射出电场的粒子速度v分解成初速度方向与加速度方向的分量，设出射速度与水平方向夹角为θ，则有＝cos θ，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设运动轨迹对应的半径为R，由几何关系得，半径与直线MN夹角正好等于θ，则有＝cos θ，所以d＝，又因为半径R＝，则有d＝＝ ，故d随U1变化，d与U2无关，故A正确。
2.D　带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意可知，带电粒子出电场时，速度v＝v0，在电场中运动的时间t1＝＝，根据几何关系可得带电粒子在磁场中的偏转轨道半径r＝2d，带电粒子在第Ⅰ象限中运动的圆心角为，故带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间t2＝T＝×＝，带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间t3＝＝，故t总＝t1＋t2＋t3＝，故D正确。
3.B　若带电微粒进入磁场时静电力和洛伦兹力相等，则带电微粒做匀速直线运动；若带电微粒进入磁场时静电力和洛伦兹力不相等，则带电微粒将做曲线运动，由于此时洛伦兹力不断变化，则带电微粒受到的合外力不断变化，即加速度不断变化，故只有B正确。
4.C　根据做直线运动的条件和受力情况，微粒受力图如图所示，可知，粒子若做匀速直线运动，则粒子必定带负电，故A错误；由a沿直线运动到b的过程中，静电力做正功，则微粒电势能减小，故B错误；因重力做负功，重力势能增加，又动能不变，则机械能一定增加，故C正确；洛伦兹力一直与速度方向相互垂直，则洛伦兹力不做功，故D错误。
5.（1）　方向竖直向下　（2）
解析：（1）要满足微粒做匀速圆周运动，则qE＝mg
得E＝，方向竖直向下。
（2）如图所示，当微粒第一次运动到最高点时，
α＝135°
则t＝T＝T＝
微粒做匀速圆周运动的周期T＝
解得t＝。
6.（1）0.2 T　（2）（0.5 π＋1）m
解析：（1）沿x轴正方向射入磁场的粒子进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从图中的P点射入电场，逆着电场线运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝R＝0.5 m
根据洛伦兹力提供向心力有
Bqv＝
解得B＝
代入数据得B＝0.2 T。
（2）粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场，粒子在磁场中运动的路程为二分之一圆周长，即s1＝πr
设粒子在电场中运动的路程为s2，根据动能定理得
Eq＝mv2
解得s2＝
总路程s＝s1＋s2＝πr＋，
代入数据得s＝（0.5π＋1）m。
7.（1） 　d 　（2）T≥2d　
（3）v≤
解析：（1）C、D板间匀强电场的电场强度E＝
粒子在C、D板间的加速度a＝
根据运动学公式有d＝ at2
联立解得t＝d 。
（2）粒子一直加速到达O1孔时速度最大，设粒子从O到O1经历的时间为t0，则
t0＝d ≤
解得T≥2d ；
由动能定理有qU0＝ m－0
解得vm＝。
（3）当磁感应强度分别为B0、2B0时，设粒子在磁场中的圆周运动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2
当磁感应强度为B0时，根据洛伦兹力提供向心力有
qvB0＝m ，解得r1＝
且有T1＝ ＝2T0
同理可得r2＝ ＝ ，T2＝ ＝T0
故0～，粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周；～T0，粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周；T0～，粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周；～2T0，粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周；2T0～，粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周；～3T0，粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周；3T0～ ，粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周后从左边界飞出磁场，如图所示。
由几何关系有r1＋r2≤L
解得v≤ 。
3 / 3习题课二　带电粒子在复合场中的运动
要点一　带电粒子在组合场中的运动
1.“电偏转”和“磁偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转 条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场（不计重力） 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场（不计重力）
受力 情况 只受恒定的电场力F＝Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB
运动 情况 类平抛运动 匀速圆周运动
运动 轨迹 抛物线 圆弧
求解 方法 利用类平抛运动的规律得x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 由牛顿第二定律、向心力公式得r＝，T＝，t＝
2.带电粒子在组合场中运动问题的分析思路
通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，从粒子的速度方向和受力方向入手，分析粒子进入电场后做直线运动还是类平抛运动、进入磁场后做直线运动还是匀速圆周运动（一般的曲线运动很少涉及），不同的运动类型应用不同的规律，列方程时注意衔接速度是联系前后过程的桥梁。
【典例1】　如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界（BC与L1重合），磁场的宽度相同，磁场的方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1。一电荷量为＋q、质量为m的粒子（重力不计）从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ。已知AB长度是BC长度的倍。
（1）求带电粒子到达B点时的速度大小；
（2）求区域Ⅰ磁场的宽度L；
（3）要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值。
尝试解答
1.（多选）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋（　　）
A.在电场中的加速度之比为1∶1
B.在磁场中运动的半径之比为∶1
C.在磁场中转过的角度之比为1∶2
D.离开电场区域时的动能之比为1∶3
2.如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，在x轴负半轴上的a点以速度v0与x轴负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）电场强度E的大小；
（3）粒子在磁场和电场中的运动时间的比值。
要点二　带电粒子（体）在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场叠加，或其中某两类场叠加。
2.带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力平衡时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线
【典例2】　如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 N/C，同时存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。有一带正电的小球，质量m＝1×10－6 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象），取g＝10 m/s2，求：
（1）小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
尝试解答
规律方法
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
1.（多选）两带电油滴在竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B正交的空间做竖直平面内的匀速圆周运动，如图所示，则两油滴一定相同的是（　　）
A.带电性质　　　　　　 B.运动周期
C.运动半径 D.运动速率
2.如图所示，有一足够长的绝缘圆柱形管道水平固定，内一有带负电小球，小球直径略小于管道直径。小球质量为m，电荷量为q，与管道间的动摩擦因数为μ，空间中有垂直于纸面向外、大小为B的匀强磁场。现对小球施加水平向右的恒力F，使小球由静止开始运动，已知重力加速度为g，对小球运动过程的判断正确的是（　　）
A.小球一直做加速度减小的运动
B.小球最大加速度为
C.小球稳定时速度为
D.从开始运动到最大速度时F做的功为
要点三　带电粒子在交变场中的运动
1.变化的电场或磁场如果具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性，这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图。
2.解题思路
【典例3】　（多选）某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场（如图甲所示），规定垂直于纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做横“∞”字曲线运动（即如图乙所示的轨迹），下列办法可行的是（粒子只受洛伦兹力的作用，其他力不计）（　　）
A.若粒子的初始位置在a处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B.若粒子的初始位置在f处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C.若粒子的初始位置在e处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D.若粒子的初始位置在b处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例4】　两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图甲所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直于xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为q（q＞0）、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：t＝0时刻释放的粒子，在t＝时刻的位置坐标。
　
尝试解答
1.（多选）一个带电粒子以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示。在下图所示的几种情况中，可能出现的是（　　）
2.一正电荷q在匀强磁场中，以速度v沿x轴正方向进入垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，如图所示，为了使电荷能做直线运动，则必须加一个匀强电场进去，不计重力，此电场的电场强度应该是（　　）
A.沿y轴正方向，大小为
B.沿y轴负方向，大小为Bv
C.沿y轴正方向，大小为
D.沿y轴负方向，大小为
3.（多选）空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场。如图所示，已知一离子在静电力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为运动的最低点，不计重力。则（　　）
A.该离子带负电
B.A、B两点位于同一高度
C.C点时离子速度最大
D.离子到达B点后，将沿原曲线返回A点
4.（多选）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右（图甲中由B到C），电场强度大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在t＝1 s时，从A点沿AB方向（垂直于BC）以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2 s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若AB＝BC＝L，且粒子由A运动到C的运动时间小于1 s。不计空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（　　）
A.电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为3v0∶1
B.第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为1∶3
C.第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π∶2
D.第一个粒子和第二个粒子通过C点的动能之比为1∶5
5.如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着方向沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加速后，从x轴上的A点垂直于x轴进入磁场区域，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的C点。已知OA＝OC＝d。求电场强度E和磁感应强度B的大小。（粒子的重力不计）
习题课二　带电粒子在复合场中的运动
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　（1）　（2）　（3）1.5B1
解析：（1）设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有tan θ＝＝，则θ＝30°
根据速度关系有v＝＝。
（2）设带电粒子在区域Ⅰ中的轨迹半径为r1，运动轨迹如图甲所示。由牛顿第二定律得qvB1＝m，
由几何关系得L＝r1，解得L＝。
（3）当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长。设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，运动轨迹如图乙所示。
由牛顿第二定律得：qvB2m＝m
根据几何关系有L＝r2（1＋sin θ）
解得B2m＝1.5B1。
素养训练
1.BCD　两离子质量相等，所带电荷量之比为1∶3，在电场中运动时，由牛顿第二定律得q＝ma，则加速度之比为1∶3，A错误；在电场中仅受静电力作用，由动能定理得qU＝Ek＝mv2，在磁场中仅受洛伦兹力作用，洛伦兹力永不做功，可知离开电场区域时动能之比为1∶3，D正确；在磁场中洛伦兹力提供圆周运动的向心力知qvB＝m，得r＝＝ ，半径之比为∶1，B正确；设磁场区域的宽度为d，则有sin θ＝∝，即＝，故θ'＝60°＝2θ，可知C正确。
2.（1）　（2）　（3）
解析：（1）带电粒子在磁场与电场中运动轨迹如图所示，由几何关系可知r＋rsin 30°＝L，解得r＝，又因为qv0B＝m，解得B＝。
（2）设带电粒子在电场中运动时间为t2，沿x轴有2L＝v0t2，沿y轴有L＝a，又因为qE＝ma，
解得E＝。
（3）带电粒子在磁场中运动时间t1＝×＝×＝，带电粒子在电场中运动时间t2＝，所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比＝。
要点二
知识精研
【典例2】　（1）20 m/s　速度方向与电场方向的夹角为60°　（2）2 s
解析：（1）小球做匀速直线运动时受力如图甲，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝ ①
代入数据解得v＝20 m/s②
设速度v的方向与电场E的方向之间的夹角为θ，则tan θ＝ ③
代入数据解得tan θ＝，θ＝60°。 ④
（2）解法一：
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图乙所示，设其加速度为a，有
a＝ ⑤
设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有x＝vt ⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y，有
y＝at2 ⑦
tan θ＝ ⑧
联立②④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t＝2 s。
解法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy＝vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的这条电场线，仅需小球在竖直方向上的分位移为零，则有vyt－gt2＝0
联立解得t＝2 s。
素养训练
1.AB　由题意可知，mg＝qE，且电场力方向竖直向上，所以油滴均带正电，由于T＝＝，故两油滴周期相同，由于运动速率关系未知，由r＝＝得，轨道半径大小关系无法判断，所以选项A、B正确，C、D错误。
2.C　小球在运动过程中，对小球受力分析，在竖直方向上FN＋Bqv＝mg，水平方向上F－μFN＝ma，解得a＝，从静止开始，速度逐渐增加，则加速度逐渐增大，当mg＝Bqv，加速度达到最大值，为amax＝，随着速度的增加，竖直方向上受力情况变为FN'＋mg＝Bqv，解得此时的加速度为a＝，随着速度的继续增大，小球加速度减小，当F－μ（Bqv－mg）＝0，小球加速度为0，开始做匀速直线运动，速度稳定达到最大值为vmax＝，则加速度先增加，后减小，故A、B错误，C正确；从开始运动到最大速度的过程中，根据动能定理可得WF－Wf＝m，即WF＝m＋Wf，故D错误。
要点三
知识精研
【典例3】　AD　要使粒子的运动轨迹如题图乙所示，由左手定则可知粒子做圆周运动的周期应为T0＝，若粒子的初始位置在a处时，对应时刻应为t＝T0＝T，A正确；同理可得B、C错误，D正确。
【典例4】　
解析：在0～时间内，电场强度为E0，带电粒子在电场中加速，根据动量定理可知qE0·＝mv1
解得粒子在时刻的速度大小为v1＝
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离为
y1＝v1·＝
在～时间内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据粒子在磁场中运动的周期公式T＝，可知粒子偏转180°，速度反向，根据qvB＝m，可知粒子水平向右运动的距离为x2＝2r2＝2＝
粒子的运动轨迹如图，
所以粒子在t＝时刻的位置坐标为
（x2，y1），即。
【教学效果·勤检测】
1.AD　根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定选项A、C、D中粒子带正电，选项B中粒子带负电，再根据左手定则判断粒子在磁场中偏转方向，可知A、D正确，B、C错误。
2.B　要使电荷能做直线运动，必须用静电力抵消洛伦兹力，本题正电荷所受洛伦兹力的方向沿y轴正方向，故电场力必须沿y轴负方向且qE＝qvB，即E＝Bv。
3.BC　由离子受到静电力作用开始向下运动，在运动过程中受洛伦兹力作用沿曲线运动，知静电力方向向下，则离子带正电，A错误；洛伦兹力不做功，在A到B的过程中，动能变化为零，根据动能定理知，静电力做功为零，则A、B两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确；根据动能定理得，离子运动到C点静电力做功最大，则速度最大，C正确；只要将离子在B点的状态与A点进行比较，就可以发现它们的状态（速度为零，电势能相等）相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子就将在B点的右侧重现前面的曲线运动，因此，离子是不可能沿原曲线返回A点的，D错误。
4.CD　在第一个粒子射出后，只有磁场没有电场，粒子运动时间为周期的四分之一，可知＝，根据题意得L＝，解得B0＝，运动时间为t1＝，第二个粒子飞出后只有电场，则L＝v0t2，L＝×，联立解得E0＝，由此可知电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为2v0∶1，故A错误；第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为＝＝，故B错误；在电场中的运动时间为，第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π∶2，故C正确；第一个粒子经过C点时的动能为Ek1＝m，对第二个粒子应用动能定理得qE0L＝Ek2－m，Ek2＝m，所以＝，故D正确。
5.　
解析：设带电粒子经电压为U的电场加速后速度为v，
由动能定理有qU＝mv2
带电粒子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qBv＝
依题意可知r＝d，联立解得B＝
带电粒子在电场中偏转，做类平抛运动，设经时间t从P点到达C点。由平抛运动规律有d＝vt
d＝at2
又qE＝ma，联立解得E＝。
6 / 6(共77张PPT)
习题课二　带电粒子在复合场中的运动
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　带电粒子在组合场中的运动
1. “电偏转”和“磁偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场
（不计重力） 带电粒子以v⊥B进入匀
强磁场（不计重力）
受力情况 只受恒定的电场力F＝Eq 只受大小恒定的洛伦兹
力F＝qvB
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
电偏转 磁偏转
运动轨
迹 抛物线 圆弧
求解方
法
2. 带电粒子在组合场中运动问题的分析思路
通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，从粒子的速度方向和受
力方向入手，分析粒子进入电场后做直线运动还是类平抛运动、进
入磁场后做直线运动还是匀速圆周运动（一般的曲线运动很少涉
及），不同的运动类型应用不同的规律，列方程时注意衔接速度是
联系前后过程的桥梁。
【典例1】　如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电
场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界
（BC与L1重合），磁场的宽度相同，磁场的方向如图所示，区域Ⅰ的
磁感应强度大小为B1。一电荷量为＋q、质量为m的粒子（重力不计）
从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入
电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后
又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ。
已知AB长度是BC长度的倍。
（1）求带电粒子到达B点时的速度大小；
答案：　
解析：设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ
角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方
向与位移方向的关系有tan θ＝＝，则θ＝30°
根据速度关系有v＝＝。
（2）求区域Ⅰ磁场的宽度L；
答案：
解析：设带电粒子在区域Ⅰ中的轨迹半
径为r1，运动轨迹如图甲所示。
由牛顿第二定律得qvB1＝m，
由几何关系得L＝r1，解得L＝。
（3）要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应
强度B2的最小值。
答案：1.5B1
解析：当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离
开磁场时，在磁场中运动的时间最
长。设区域Ⅱ中最小磁感应强度为
B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界
离开磁场，对应的轨迹半径为r2，运动
轨迹如图乙所示。
由牛顿第二定律得：qvB2m＝m
根据几何关系有L＝r2（1＋sin θ）
解得B2m＝1.5B1。
1. （多选）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和
P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方
向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离
子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中
运动时，离子P＋和P3＋（　　）
A. 在电场中的加速度之比为1∶1
C. 在磁场中转过的角度之比为1∶2
D. 离开电场区域时的动能之比为1∶3
解析：　两离子质量相等，所带电荷量之比为1∶3，在电场
中运动时，由牛顿第二定律得q＝ma，则加速度之比为1∶3，A错
误；在电场中仅受静电力作用，由动能定理得qU＝Ek＝mv2，在
磁场中仅受洛伦兹力作用，洛伦兹力永不做功，可知离开电场区域
时动能之比为1∶3，D正确；在磁场中洛伦兹力提供圆周运动的向
心力知qvB＝m，得r＝＝ ，半径之比为∶1，B正
确；设磁场区域的宽度为d，则有sin θ＝∝，即＝，故θ'
＝60°＝2θ，可知C正确。
2. 如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电
场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带电荷量为
q、质量为m的带正电的粒子，在x轴负半轴上的a点以速度v0与x轴
负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点垂直于y轴方向进入电
场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
答案：　
解析：带电粒子在磁场与电场中运动轨迹如图所示，由几何关系可知r＋rsin 30°＝L，解得r＝，又因为qv0B＝m，
解得B＝。
（2）电场强度E的大小；
答案：　
解析：设带电粒子在电场中运动时间为t2，沿x轴有2L＝v0t2，
沿y轴有L＝a，又因为qE＝ma，
解得E＝。
（3）粒子在磁场和电场中的运动时间的比值。
答案：
解析：带电粒子在磁场中运动时间t1＝×＝
×＝，带电粒子在电场中运动时间t2＝，所以带电粒
子在磁场和电场中运动时间之比＝。
要点二　带电粒子（体）在叠加场中的运动
1. 叠加场
电场、磁场、重力场叠加，或其中某两类场叠加。
2. 带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周
运动 当带电粒子所受的重力与静电力平衡时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的
曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线
【典例2】　如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强
度大小E＝5 N/C，同时存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，其方向
与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。有一带正电的小球，质
量m＝1×10－6 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面
内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的
电磁感应现象），取g＝10 m/s2，求：
（1）小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
答案：20 m/s　速度方向与电场方向的夹角为60°
解析：小球做匀速直线运动时受力如图甲，其所
受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝　①
代入数据解得v＝20 m/s　②
设速度v的方向与电场E的方向之间的夹角为θ，则tan θ＝　③
代入数据解得tan θ＝，θ＝60°。　④
（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时
间t。
答案：2 s
解析：解法一：撤去磁场，小球在重力与电场
力的合力作用下做类平抛运动，如图乙所示，
设其加速度为a，有
a＝　⑤
设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有x＝vt　⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y，有
y＝at2　⑦
tan θ＝　⑧
联立②④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t＝2 s。
解法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直
方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方
向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy＝vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的这条电场线，仅需小球在竖直方向
上的分位移为零，则有vyt－gt2＝0
联立解得t＝2 s。
规律方法
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
1. （多选）两带电油滴在竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀
强磁场B正交的空间做竖直平面内的匀速圆周运动，如图所示，则
两油滴一定相同的是（　　）
A. 带电性质 B. 运动周期
C. 运动半径 D. 运动速率
解析：　由题意可知，mg＝qE，且电场力方向竖直向上，所以
油滴均带正电，由于T＝＝，故两油滴周期相同，由于运动
速率关系未知，由r＝＝得，轨道半径大小关系无法判断，所
以选项A、B正确，C、D错误。
2. 如图所示，有一足够长的绝缘圆柱形管道水平固定，内一有带负电
小球，小球直径略小于管道直径。小球质量为m，电荷量为q，与
管道间的动摩擦因数为μ，空间中有垂直于纸面向外、大小为B的
匀强磁场。现对小球施加水平向右的恒力F，使小球由静止开始运
动，已知重力加速度为g，对小球运动过程的判断正确的是（　　）
A. 小球一直做加速度减小的运动
解析：小球在运动过程中，对小球受力分析，在竖直方向上FN＋Bqv＝mg，水平方向上F－μFN＝ma，解得a＝，从静止开始，速度逐渐增加，则加速度逐渐增大，当mg＝Bqv，加速度达到最大值，
为amax＝，随着速度的增加，竖直方向上受力情况变为FN'＋mg＝
Bqv，解得此时的加速度为a＝，随着速度的继续增大，
小球加速度减小，当F－μ（Bqv－mg）＝0，小球加速度为0，开始做
匀速直线运动，速度稳定达到最大值为vmax＝，则加速度先增
加，后减小，故A、B错误，C正确；从开始运动到最大速度的过程中，
根据动能定理可得WF－Wf＝m，即WF＝m＋Wf，
故D错误。
要点三　带电粒子在交变场中的运动
1. 变化的电场或磁场如果具有周期性，粒子的运动也往往具有周期
性，这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清
楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，
画出一个周期内的运动轨迹的草图。
2. 解题思路
【典例3】　（多选）某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方
向随时间t做周期性变化的匀强磁场（如图甲所示），规定垂直于纸面
向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按
a→b→c→d→e→f的顺序做横“∞”字曲线运动（即如图乙所示的轨
迹），下列办法可行的是（粒子只受洛伦兹力的作用，其他力不计）
（　　）
解析：要使粒子的运动轨迹如题图乙所示，由左手定则可知粒子做圆
周运动的周期应为T0＝，若粒子的初始位置在a处时，对应时刻应为t
＝T0＝T，A正确；同理可得B、C错误，D正确。
【典例4】　两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如下图甲所
示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之
间施加磁场，方向垂直于xOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时
间的变化规律如下图乙所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量
为m、电荷量为q（q＞0）、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的
相互作用，图中物理量均为已知量。求：t＝0时刻释放的粒子，在t＝
时刻的位置坐标。
答案：
解析：在0～时间内，电场强度为E0，带电粒子在电场中加速，根
据动量定理可知
qE0·＝mv1
解得粒子在时刻的速度大小为v1＝
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离为
y1＝v1·＝
在～时间内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据粒子在磁场中运动的周期公式T＝，可知粒子偏转180°，速度反向，根据qvB＝m，可知粒子水平向右运动的距离为x2＝2r2＝2＝
粒子的运动轨迹如图，
所以粒子在t＝时刻的位置坐标为（x2，y1），
即。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. （多选）一个带电粒子以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电
场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。设电场和磁场区域
有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所
示。在下图所示的几种情况中，可能出现的是（　　）
解析：　根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定选项A、
C、D中粒子带正电，选项B中粒子带负电，再根据左手定则判断
粒子在磁场中偏转方向，可知A、D正确，B、C错误。
2. 一正电荷q在匀强磁场中，以速度v沿x轴正方向进入垂直纸面向里
的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，如图所示，为了使电荷能做
直线运动，则必须加一个匀强电场进去，不计重力，此电场的电场
强度应该是（　　）
B. 沿y轴负方向，大小为Bv
解析：　要使电荷能做直线运动，必须用静电力抵消洛伦兹力，
本题正电荷所受洛伦兹力的方向沿y轴正方向，故电场力必须沿y轴
负方向且qE＝qvB，即E＝Bv。
3. （多选）空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向（垂直纸面向
里）的匀强磁场。如图所示，已知一离子在静电力和洛伦兹力共同
作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为
零，C为运动的最低点，不计重力。则（　　）
A. 该离子带负电
B. A、B两点位于同一高度
C. C点时离子速度最大
D. 离子到达B点后，将沿原曲线返回A点
解析：　由离子受到静电力作用开始向下运动，在运动过程中
受洛伦兹力作用沿曲线运动，知静电力方向向下，则离子带正电，
A错误；洛伦兹力不做功，在A到B的过程中，动能变化为零，根据
动能定理知，静电力做功为零，则A、B两点等电势，因为该电场
是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确；根据动能定理
得，离子运动到C点静电力做功最大，则速度最大，C正确；只要
将离子在B点的状态与A点进行比较，就可以发现它们的状态（速
度为零，电势能相等）相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠
加区域，离子就将在B点的右侧重现前面的曲线运动，因此，离子
是不可能沿原曲线返回A点的，D错误。
4. （多选）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁
场，电场的方向水平向右（图甲中由B到C），电场强度大小随时
间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间
变化情况如图丙所示。在t＝1 s时，从A点沿AB方向（垂直于BC）
以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2 s有一个相同的粒
子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若AB＝BC
＝L，且粒子由A运动到C的运动时间小于1 s。不计空气阻力，对于
各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（　　）
A. 电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为3v0∶1
B. 第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为1∶3
C. 第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π∶2
D. 第一个粒子和第二个粒子通过C点的动能之比为1∶5
解析：　在第一个粒子射出后，只有磁场没有电场，粒子运动
时间为周期的四分之一，可知＝，根据题意得L＝，解得
B0＝，运动时间为t1＝，第二个粒子飞出后只有电场，则L＝
v0t2，L＝×，联立解得E0＝，由此可知电场强度E0和
磁感应强度B0的大小之比为2v0∶1，故A错误；第一个粒子和第二
个粒子运动的加速度大小之比为＝＝，故B错误；
在电场中的运动时间为，第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比
为π∶2，故C正确；第一个粒子经过C点时的动能为Ek1＝m，对第
二个粒子应用动能定理得qE0L＝Ek2－m，Ek2＝m，所以＝
，故D正确。
5. 如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向
里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着方向沿y轴负方向的匀强电场。
初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加
速后，从x轴上的A点垂直于x轴进入磁场区域，经磁场偏转后过y轴
上的P点且垂直于y轴进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的
C点。已知OA＝OC＝d。求电场强度E和磁感
应强度B的大小。（粒子的重力不计）
答案：　
解析：设带电粒子经电压为U的电场加速后速度为v，
由动能定理有qU＝mv2
带电粒子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有
qBv＝
依题意可知r＝d，联立解得B＝
带电粒子在电场中偏转，做类平抛运动，设经时间t从P点到达C
点。由平抛运动规律有d＝vt
d＝at2
又qE＝ma，联立解得E＝。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一　带电粒子在组合场中的运动
1. 如图所示，某种带电粒子由静止开始经电压为U1的电场加速后，
射入水平放置、电势差为U2的两导体板间的匀强电场中，带电粒
子沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁
场方向射入边界线竖直的匀强磁场中，则粒子射入磁场和射出磁场
的M、N两点间的距离d随着U1和U2的变化情况为（不计重力，不
考虑边缘效应）（　　）
1
2
3
4
5
6
7
A. d随U1变化，d与U2无关
B. d与U1无关，d随U2变化
C. d随U1变化，d随U2变化
D. d与U1无关，d与U2无关
解析：　带电粒子在电场中做类平抛运动，可将射出电场的粒子
速度v分解成初速度方向与加速度方向的分量，设出射速度与水平
方向夹角为θ，则有＝cos θ，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设
运动轨迹对应的半径为R，由几何关系得，半径与直线MN夹角正
好等于θ，则有＝cos θ，所以d＝，又因为半径R＝，则有d
＝＝ ，故d随U1变化，d与U2无关，故A正确。
1
2
3
4
5
6
7
2. 如图所示，在第Ⅱ象限内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度为
E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大
小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴且初速度v0从x轴上的P点进
入匀强电场中，并且恰好以与y轴的正方向成45°角进入磁场，又
恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知O、P之间的距离为d，
则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总
时间为（　　）
1
2
3
4
5
6
7
解析：　带电粒子的运动轨迹如图
所示，由题意可知，带电粒子出电场
时，速度v＝v0，在电场中运动的
时间t1＝＝，根据几何关系可得带
电粒子在磁场中的偏转轨道半径r＝2d，带电粒子在第Ⅰ象限中运动的圆心角为，故带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间t2＝T＝×＝，带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间t3＝＝，故t总＝t1＋t2＋t3＝，故D正确。
1
2
3
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5
6
7
题组二　带电粒子在叠加场中的运动
3. 一个不计重力的带电荷量为－q的带电微粒，从两竖直的带电平行
板上方h处以竖直向下的初速度v0运动，两极板间存在如图所示的
匀强磁场，磁感应强度为B，则带电微粒通过有电场和磁场的空间
时，下列说法正确的是（　　）
A. 有可能做匀加速运动
B. 有可能做匀速运动
C. 一定做直线运动
D. 一定做曲线运动
1
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4
5
6
7
解析：　若带电微粒进入磁场时静电力和洛伦兹力相等，则
带电微粒做匀速直线运动；若带电微粒进入磁场时静电力和洛
伦兹力不相等，则带电微粒将做曲线运动，由于此时洛伦兹力
不断变化，则带电微粒受到的合外力不断变化，即加速度不断
变化，故只有B正确。
1
2
3
4
5
6
7
4. 如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平
向右，磁场方向垂直于纸面向里，一个带电微粒由a点进入电磁场
并刚好能沿ab直线向上匀速运动，下列说法正确的是（　　）
A. 微粒可能带负电，也可能带正电
B. 微粒的电势能一定增加
C. 微粒的机械能一定增加
D. 洛伦兹力对微粒做负功
1
2
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5
6
7
解析：　根据做直线运动的条件和受力情况，微
粒受力图如图所示，可知，粒子若做匀速直线运
动，则粒子必定带负电，故A错误；由a沿直线运
动到b的过程中，静电力做正功，则微粒电势能减
小，故B错误；因重力做负功，重力势能增加，又
动能不变，则机械能一定增加，故C正确；洛伦兹
力一直与速度方向相互垂直，则洛伦兹力不做功，
故D错误。
1
2
3
4
5
6
7
5. 如图所示，在地面附近有一个范围足够大的相互正交的匀强电场和
匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向
外，一质量为m、带电荷量为－q的带电微粒在此区域恰好做速度
大小为v的匀速圆周运动（重力加速度为g）。
（1）求此区域内电场强度的大小和方向；
答案：　方向竖直向下　
解析：要满足微粒做匀速圆周运动，则qE＝mg
得E＝，方向竖直向下。
1
2
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4
5
6
7
（2）若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平
方向成45°角，如图所示，则该微粒至少需要经过多长时间
运动到距地面最高点？
答案：
1
2
3
4
5
6
7
解析：如图所示，当微粒第一次运动到最高点时，
α＝135°
则t＝T＝T＝
微粒做匀速圆周运动的周期T＝
解得t＝。
1
2
3
4
5
6
7
6. 如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为
R＝0.5 m，磁场方向垂直纸面向里。在y＞R的区域存在一沿y轴负
方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m。在M点（坐标原
点）有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿x轴正方向射入磁场，粒
子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁
场，最终又从磁场离开。已知粒子的比荷为＝
1.0×107 C/kg，不计粒子重力。求：
答案：0.2 T　
（1）圆形磁场区域磁感应强度的大小；
1
2
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5
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7
解析：沿x轴正方向射入磁场的粒子
进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从
图中的P点射入电场，逆着电场线运动，所
以粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝R＝0.5 m
根据洛伦兹力提供向心力有
Bqv＝
解得B＝
代入数据得B＝0.2 T。
1
2
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4
5
6
7
（2）沿x轴正方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所
走过的路程。
答案：（0.5 π＋1）m
1
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5
6
7
解析：粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场，粒子
在磁场中运动的路程为二分之一圆周长，即s1＝πr
设粒子在电场中运动的路程为s2，根据动能定理得
Eq＝mv2
解得s2＝
总路程s＝s1＋s2＝πr＋，
代入数据得s＝（0.5π＋1）m。
1
2
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6
7
7. 如图甲所示，一对平行金属板C、D相距为d，O、O1为两板上正对
的小孔，紧贴D板右侧，存在上下范围足够大、宽度为L的有界匀
强磁场区，磁场方向垂直于纸面向里，MN、GH是磁场的左、右边
界。现有质量为m、电荷量为＋q的粒子从O孔进入C、D板间，粒
子初速度和重力均不计。
1
2
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4
5
6
7
（1）C板为正极板，C、D板间加恒定电压U，求板间匀强电场的
电场强度大小E和粒子从O运动到O1的时间t；
答案： 　d
解析：、D板间匀强电场的电场强度E＝
粒子在C、D板间的加速度a＝
根据运动学公式有d＝ at2
联立解得t＝d 。
1
2
3
4
5
6
7
（2）C、D板间加如图乙所示的电压，U0为已知量，周期T是未知
量。t＝0时刻带电粒子从O孔进入，为保证粒子到达O1孔时
具有最大速度，求周期T应满足的条件和粒子到达O1孔的最
大速度vm；
答案：T≥2d　
1
2
3
4
5
6
7
解析：粒子一直加速到达O1孔时速度最大，设粒子从O到O1经
历的时间为t0，则
t0＝d ≤
解得T≥2d ；
由动能定理有qU0＝ m－0
解得vm＝。
1
2
3
4
5
6
7
（3）磁场的磁感应强度B随时间t'的变化关系如图丙所示，B0为已
知量，周期T0＝ 。t'＝0时，粒子从O1孔沿OO1延长线方向
射入磁场，始终不能穿出右边界GH，求粒子进入磁场时的速
度v应满足的条件。
答案：v≤
1
2
3
4
5
6
7
解析：当磁感应强度分别为B0、2B0时，设粒子在磁场中的圆周运动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2
当磁感应强度为B0时，根据洛伦兹力提供
向心力有qvB0＝m ，解得r1＝
且有T1＝ ＝2T0
同理可得r2＝ ＝ ，T2＝ ＝T0
1
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3
4
5
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故0～，粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周；～T0，粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周；T0～，粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周；～2T0，粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周；2T0～，粒子以半径r1逆时针转过四分之一圆周；～3T0，粒子以半径r2逆时针转过二分之一圆周；3T0～ ，粒子
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以半径r1逆时针转过四分之一圆周后从左
边界飞出磁场，如图所示。
由几何关系有r1＋r2≤L
解得v≤ 。
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