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2024-2025 学年云南省曲靖市某中学高一下学期期末数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.已知全集 = ，集合 = 0,1,2,3,4,5 ， = ∈ 3 < ≤ 8 ，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. 0,1,2 B. 1,2
C. 1,2,3 D. 0,1,2,3
1
2.已知 = log 52， = cos2， = 8 3，则 ， ， 的大小关系正确的是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
3.实心圆锥 的底面直径为 6，高为 4，过 中点 ′作平行于底面的截面，以该截面
为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为( )
A. 27.75π B. 30π
C. 32.25π D. 34.5π
4.设 sin 2 + cos

2 =
5
2 ，则 sin =( )
A. 3 12 B. 2 C.
1
3 D.
1
4
5.在 中，若 cos = (2 )cos ，则 的形状一定是( )
A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形
C.等腰直角三角形 D.不含60 的直角三角形
6.已知 ( )为偶函数，且当 ≥ 0 时， ( ) = 2 + 2，则不等式 ( 1) < 3 的解集为( )
A. ( ∞,2) B. (0,2)
C. (2, + ∞) D. ( ∞,0) ∪ (2, + ∞)
7.如图，在 中，已知 = 3，∠ = 3， 边上存在点 ，使 = 2 ，
且 = 7，那么 的长是( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
8.已知复数 满足 + 2 i = 2，则 + i 的最大值为( )
A. 2 + 2 3 B. 2 + 10 C. 2 + 2 2 D. 4
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.已知正数 , 满足 + 2 = 1，则( )
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A. 1 1的最大值为8 B.
2 + 4 2的最小值为2
C. + 2 2 的最大值为 2 D. + 的最小值为 6
10.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 cos > cos ，则 >
B.若△ 为锐角三角形，则 sin > cos
C. π若 = 6， = 4， = 2 3，则满足条件的△ 有两个
D. 若cos = cos ，则△ 为等腰三角形
11.已知函数 ( ) = cos( + ) > 0, π2 < <
π π
2 ，将 = ( )的图像上所有点向右平移3个单位长度，
然后横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 = ( )的图像．若 ( )为奇函数，且最小正周期
为π，则下列说法正确的是( )
A. π函数 ( )的图像关于点 6 , 0 中心对称
B.函数 ( ) 0, π在区间 4 上单调递减
C. 1不等式 ( ) ≥ 2的解集为 π
5π
12 , π
π
12 ( ∈ )
D. 方程 2 = ( )在(0, π)上有 2 个解
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.设 和 是两个不共线的向量，若 = 3 ， = + 3 ， = 2 ，且 ， ， 三点共线，则
实数 的值等于 ．
13.如图，在正四棱台 28 31 1 1 1中， 1 1 = 2, = 4.若该四棱台的体积为 ，则该四棱台的高3
为 ；外接球的表面积为 ．
14.已知函数 ( ) = 3cos + π7 ( > 0)在(0, π)上恰有 5 个零点，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.如图，在等边 中， = 3，点 在边 上，且 = 2 .过点 的直线分别交射线 ， 于不同
的两点 ， ．
(1)设 = ， = ，试用 ， 表示 ；
(2)求 cos , ；
(3)设 = ， = 1 1，求 + 的最小值．
16.已知关于 的实系数一元二次方程 2 + + = 0( , ∈ )．
(1)若一根为 1 2i，求 ， 的值；
(2)设 = = 2， 20是虚数根，记 0， 0 ， 20 0 在复平面上对应点分别为 ， ， ，求 +
的值．
17.如图，在直三棱柱 1 1 1中， 是边长为 2 3的等边三角形， 1 = 4, , , 分别是线段
1 , 1 , 的中点．
(1)证明：平面 //平面 1 1 ．
(2)求点 到平面 的距离 ．
18 π π.已知向量 = sin 4 + , 3sin ， = sin 4 , cos ，设函数 ( ) = ．
(1)化简 ( )并写出 ( )的最小正周期；
(2) π + = 2 2 5π若 12 2 3 ，且 6 < <
7π
6，求 sin 的值；
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(3) 在锐角 中，若 2 = 1， = 2，求 周长的取值范围．
19.如图 1，在等腰梯形 中， // , = 2 = 2 ，将 沿边 翻折，使点 翻折到点 ，连
接 ，得到三棱锥 ，如图 2，其中 = 2 ．
(1)证明： ⊥平面 ．
(2)若 = 6，求三棱锥 的体积．
(3)求二面角 的正切值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13. 3； 35π
14. 61 , 7514 14
15. 2 1 2 1【详解】(1)由 = 2 ，得 = 2( )，所以 = + = + 3 3 3 3 ．
(2)在等边 中， = 3 × 3 × cos60 = 92，
(1) | | = 1
2
(2 + )2 = 1 4 2 + + 4 = 1 4 × 9 + 9 + 4 × 9由 得 3 3 3 2 = 7，
= 2 = 2 ( 3 3
) = 2 3 ( )，
= 1 3 (2 + )，| | = 2，

2
= 2 29 (2 + ) ( ) = 9 (2
2 ) = 29 (2 × 9
9
2 9) = 1，

所以 cos , = = 1 7
|
= ．
|| | 7×2 14
(3)由(1)知， = 2 + 1 ，而 = ， = 3 3 ，
2
因此 = + , , 2 3 3 ，而 共线，则 3 + 3 = 1，
又 > 0, > 0 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2，于是 + = ( 3 + 3 )( + ) = 1 + 3 ( + ) ≥ 1 + 3 = 1 + 3 ，
2
当且仅当 = ，即 = 2 = 3( 2 1)时取等号，
1 1 2 2
所以 + 的最小值是 1 + 3 ．
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16.【详解】(1)依题意可知，实系数一元二次方程 2 + + = 0 的两根为 1 2i，1 + 2i，
(1 2i) + (1 + 2i) =
根据韦达定理， (1 2i) × (1 + 2i) = ，解得 = 2， = 5．
(2)若 = = 2，则方程 2 + 2 + 2 = 0 的根为 1 i， 1+ i，
若 0 = 1 i，则 20 = 2i， 20 0 = 1 3i，则 ( 1, 1)， (0,2)， ( 1, 3)，
所以 + = ( 1,1) ( 1, 3) = 2；
若 0 = 1 + i，则 20 = 2i， 0 20 = 1+ 3i，则 ( 1,1)， (0, 2)， ( 1,3)，
所以 + = ( 1, 1) ( 1,3) = 2；
故 + = 2．
17.【详解】(1)连接 1．
由棱柱的定义可知四边形 1 1为平行四边形，则 1与 1 相交且互相平分．
因为 为线段 1 的中点，所以 为线段 1的中点．
因为 , 分别是线段 1, 1 的中点，所以 ．
因为 平面 1 1, 平面 1 1，所以 平面 1 1．
因为 , 分别是线段 1 , 的中点，所以 ．
由棱柱的定义可知 ，则 ．
因为 平面 1 1, 1 平面 1 1，所以 平面 1 1．
因为 平面 , 平面 ，且 ∩ = ，所以平面 平面 1 1 ．
(2)(方法一)取 的中点 ，连接 , ，
则 ，所以点 在平面 内.
由已知条件可知 1 ⊥平面 ，则 ⊥平面 ．
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
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所以点 到平面 的距离即点 到 的距离，
= 2 3 × 3 × 1所以 2 2 =
3
2．
(方法二)由(1)可知平面 平面 1 1 ，则点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离．
连接 , ．
因为 是边长为 2 3的等边三角形，所以 ⊥ , = 3．
由直棱柱的定义可知平面 1 1 ⊥平面 ，则 ⊥平面 1 1，即点 到平面 的距离为 3．
因为 3是线段 1的中点，所以点 到平面 的距离为2．
1 1
因为 1 = 4，所以 = 2 1 = 2 1 = 2，
则三棱锥 的体积 1 =
1 × 13 2 × 3 × 2 ×
3 = 32 2 ．
因为 是 1 的中位线，且 = 2 3
1
，所以 = 2 = 3．
1
由题意可知 ，所以 ⊥ ，则 的面积 = 2 × 2 × 3 = 3.
1 3
三棱锥 的体积 2 = 3 = 3 ．
= 3 3 3因为 1 2，所以 3 = 2 ，解得 = 2．
18.【详解】(1) ( ) = = sin π4 + sin
π
4 + 3sin cos
π π 3 1 π 3
= cos 4 sin 4 + 2 sin2 = 2 sin 2 2 + 2 sin2
1 3 π
= 2 cos2 + 2 sin2 = sin 2 + 6
= 2π故最小正周期为 2 = π．
(2) π + = sin + π = 2 2 5π < < 7π 7π因为 12 2 3 3 ，由 6 6 ，则 6 < +
π < 3π3 2 ，
2
所以 cos + π3 = 1
2 2 1
3 = 3，
π π π π π π
则 sin = sin + 3 3 = sin + 3 cos 3 cos + 3 sin 3
= 2 23 ×
1 + 12 3 ×
3 3 2 2
2 = 6 ；
(3) 因为 2 = sin + 6 = 1，又 为锐角三角形，
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所以 + π π π6 = 2，则 = 3，
= 2 = 由正弦定理sinπ3 sin
，
sin +π3
2sin +π3 3 sin + 3cos
可得三角形 的周长 = + + = 3sin + 2 + sin = sin + sin + 2
= 3 1+cos 1 1sin + 3 == 3 sin + tan + 3，
π π
由 为锐角三角形，可得 ∈ 6 , 2 ，
因为 = sin , = tan 都在 ∈ π6 ,
π
2 上单调递增，
= 1 + 1 ∈ π所以 sin tan 在 6 ,
π
2 上单调递减，
1 1
即sin + tan ∈ 1,2 + 3
所以 + + 的取值范围为 3 + 3, 6 + 2 3 ．
19.【详解】(1)
如图 1，在梯形 中，取边 的中点 ，连接 ，
∵ // ， = 2 ，∴ = ， // ，
∴四边形 是平行四边形，∴ = ，
∵ = 2 ，∴ = 2 ，∴ ⊥ ，
∵ = 2 ，且 = = ，所以 2 + 2 = 2 2 = 2，
∴ ⊥ ，∵ 平面 , 平面 ，且 ∩ = ，
∴ ⊥平面 ．
(2)如图 2，取 的中点 ，连接 ，
由(1)可知 ⊥平面 ，且 平面 ，则平面 ⊥平面 ，
∵ = ，且 为线段 的中点，∴ ⊥ ，
∵平面 ∩平面 = ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ = 6，∴ = 12， = 6，
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∴ = 2 2 = 122 62 = 6 3，∴ = 3 3，∴ = 62 (3 3)2 = 3，
∴ 1 1 1三棱锥 的体积 = 3 = 3 × 2 × 6 × 6 3 × 3 = 18 3．
(3)如图 2，过 作 ⊥ ，垂足为 ，取 的中点 ，连接 , ，
则 // ，从而 ⊥ ，
由(2)知 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∴ ∠ 为二面角 的平面角，
设 = 2，∴ = 4， = 2，∴ = 2 3，∴ = 3，
则 = = 2 3×2 4 = 3, =
1
2 =
3
2 ，
又 = 2 2 = 22 ( 3)2 = 1，∴ tan∠ = 2 3 = 3 ．
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