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第1章 推理与证明
命题
基本事实
定义
数与式
代数推理
…………
青岛版 八年级上册
内容提要
定义、命题
基本事实、定理及推论
代数推理
几何证明
推理与证明
几何证明
图形与几何
一般地证明，都是从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理或推论可以直接证得结论。
前面我们学习了命题的证明。
当一个命题从已知条件出发不易直接证得结论时,还有其他方法吗
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青岛版数学八年级上册
1.3 几何证明举例
第1章 推理与证明
第3课时 反证法
已知:如图,直线AB∥CD,直线EF与AB,CD分
别相交于点G,H。
求证:∠1=∠2。
探究一 反证法
思考与交流
证明平行线的性质定理Ⅰ:
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
C
F
A
B
D
E
1
2
G
H
∴∠1≠∠2的假设是不成立的。
C
F
A
B
D
E
1
2
G
H
证明:假设∠1≠∠2。
过点G作直线A'B',使∠EGB'=∠2。
A'
B'
∴A'B'∥CD(同位角相等,两直线平行)。
∵AB∥CD(已知),
∴过点G 就有两条直线AB,A'B'与直线CD 平行。
这与基本事实 “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾。
∴∠1=∠2。
探究一 反证法
这种证明方法有怎样的特点
探究一 反证法
思考与交流
这种证明方法不是从已知条件出发直接证得结论的，
而是从结论的反面出发证明的结论与“基本事实”矛盾。
证明方法的特点：
探究一 反证法
这种先提出与命题的结论相反的假设,再从假设出发推出矛盾,从而证明命题成立的方法叫作反证法。
概括与表达
反证法的定义：
反证法包括了哪几个步骤
③ 肯定结论———由矛盾判定假设不成立,从而证明命题成立。
探究一 反证法
概括与表达
用反证法证明一个命题,一般有三个步骤:
① 否定结论———假设命题的结论不成立；
② 推出矛盾———从假设出发,根据已知条件,经过推理,得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果；
1.用反证法证明命题“直角三角形中至少有一个内角不大于45°”时,首先应假设这个三角形中（ ）
A.每一个内角都小于45° B.每一个内角都大于45° C.有一个内角大于45° D.有一个内角小于 45°
B
跟踪练习
B
2.用反证法证明命题“在同一平面内,若直线a⊥c,b⊥c,则a//b”时，应假设( )
A. a//c B.a与b不平行
C.b// c D.a⊥b
跟踪练习
3.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾,所以∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设三角形的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确的顺序应( )
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②
D
跟踪练习
例1.证明:平行于同一条直线的两条直线平行。
a
b
c
已知:如图,直线a∥c,b∥c。
求证:a∥b。
分析：a、b平行的反面是不平行，那就相交。
∴a∥b。
证明:假设直线a与b不平行,
∵a∥c,b∥c(已知),
∴过点P有两条直线a,b都与直线c平行。
这与基本事实 “过直线外一点有且
只有一条直线与这条直线平行”矛盾。
∴直线a与b不平行的假设是不成立的。
a
b
c
P
那么a与b相交,设交点为P。
4.用反证法证明:在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°
跟踪练习
例2.用反证法证明:
已知:a<|a|,求证:a必为负数.
∴假设不成立，
证明:假设a≥0.则|a|=a,
这与已知 a<|a|相矛盾。
∴a必为负数。
5.用反证法证明:若abc=0,则a,b,c至少有一个为0, 应该假设( )
A.a,b,c没有一个为0
B.a,b,c只有一个为0
C.a,b,c至多一个为0
D.a,b,c三个都为0
跟踪练习
A
解答时一定要注意找准它们的否定词。
用反证法证明的常见类型有三种:
(1)证明“否定性”命题;(“不能，不是”等词语）
(2) 证 明“至多”“至少”型命题；
(3)证明“唯一性”命题。
归纳与总结
本节课你有什么收获？

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