资源简介

10.2　二倍角的三角函数
1.已知cos x＝，则cos 2x＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
2.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°＝（　　）
A. B.
C. D.1＋
3.－＝（　　）
A.－2cos 5° B.2cos 5°
C.－2sin 5° D.2sin 5°
4.已知tan x＝2，则tan＝（　　）
A. B.－
C. D.－
5.（2024·南京河西外国语期中）已知sin（α＋）＝，则cos（2α－）＝（　　）
A. B.－
C. D.－
6.（多选）下列各式中，一定成立的是（　　）
A.sin 8α＝2sin 4αcos 4α
B.1－sin2α＝（sin α－cos α）2
C.sin2α＝
D.tan 2α＝
7.计算（cos215°－cos275°）＋sin 15°cos 15°＝　　　　.
8.（2024·淮安月考）已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan（β－α）＝，则tan α＝　　　　，β＝　　　　.
9.已知α∈，且cos α＝－，则tan 2α＝　　　　，＝　　　　.
10.已知函数f（x）＝cos，x∈R.
（1）求f的值；
（2）若cos θ＝，θ∈，求f.
11.（2024·无锡月考）在锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是（　　）
A.（，） B.［－，］
C.（，） D.（－，）
12.（多选）已知函数f（x）＝1－2sin2（x＋），则下列结论正确的是（　　）
A.函数f（x）是奇函数
B.函数f（x）的最小正周期为2π
C.函数f（x）的图象关于x＝－对称
D.f（1）＞f（2）
13.（2024·江苏泰州中学期中）已知α是锐角，cos α＝，则cos（＋）＝　　　　.
14.已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝.
（1）求的值；
（2）求的值.
15.如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
（1）将十字形的面积表示成θ的函数；
（2）求十字形的最大面积.
10.2　二倍角的三角函数
1.D　cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝.
2.C　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.故选C.
3.C　原式＝－＝cos 50°－sin 50°＝2（cos 50°－sin 50°）＝2（sin 45°cos 50°－cos 45°·sin 50°）＝2sin（－5°）＝－2sin 5°.故选C.
4.C　法一　tan＝tan（2x－）＝＝＝－＝－＝＝.
法二　tan（x－）＝＝＝，∴tan［2（x－）］＝＝＝.故选C.
5.D　由二倍角公式得：cos［2（α＋）］＝1－2sin2（α＋）＝1－2×＝，又cos（2α－）＝cos［（2α＋）－π］＝－cos（2α＋）＝－.故选D.
6.AC　对于B，（sin α－cos α）2＝1－sin 2α≠1－sin2α，故B错误；对于D，tan 2α＝，故D错误；A、C正确.故选A、C.
7.1　解析：（cos215°－cos275°）＋sin 15°cos 15°＝cos 30°＋sin 30°＝sin 90°＝1.
8.　　解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得2sin2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一　由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝.
法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
9.　－7　解析：因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝＝＝，所以tan α＝＝－，所以tan 2α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，所以＝＝－7.
10.解：（1）因为f（x）＝cos，
所以f＝cos＝cos＝cos＝1.
（2）因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－.
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.
f＝cos＝（cos 2θcos－sin 2θ sin）＝×［（－）×－×］＝.
11.A　在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，所以＜cos A＜，则＝＝2cos A∈（，）.故选A.
12.AC　f（x）＝1－2sin2（x＋）＝cos ［2（x＋）］＝－sin 2x，对于A，f（－x）＝－sin（－2x）＝sin 2x＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，故A正确；对于B，函数f（x）的最小正周期为＝π，故B错误；对于C，f（－）＝－sin（－）＝1为函数的最大值，所以函数f（x）的图象关于x＝－对称，故C正确；对于D，f（1）＝－sin 2＜0，f（2）＝－sin 4＞0，所以f（1）＜f（2），故D错误.故选A、C.
13.－　解析：因为cos α＝，所以cos α＝2cos2－1＝，解得cos＝±，又α是锐角，则0＜＜，所以cos＝，则sin＝＝，所以cos（＋）＝coscos－sinsin＝×－×＝－.
14.解：由sin θ＋cos θ＝， ①
两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝＝＝，②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
（1）
＝
＝＝.
（2）＝
＝
＝2sin θcos θ＝－.
15.解：（1）由题图可知，x＝cos θ，y＝sin θ.
由y＞x＞0，得＜θ＜.
设S为十字形的面积，
则S＝xy＋x·×2＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos2θ（＜θ＜）.
（2）S＝sin 2θ－cos2θ
＝sin 2θ－cos 2θ－
＝（sin 2θ－cos 2θ）－
＝sin（2θ－φ）－（设φ为锐角且tan φ＝），
当sin（2θ－φ）＝1，即2θ－φ＝时，S最大.
此时θ＝＋，十字形取得最大面积.
2 / 210.2　二倍角的三角函数
新课程标准解读 核心素养
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 逻辑推理
2.能够运用二倍角公式解决有关求值、化简等问题 数学运算
　　
　　前面我们已学习了两角和的正弦、余弦、正切公式，大家回忆一下：
　　cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，
　　sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
　　tan（α＋β）＝.
【问题】　当α＝β时，我们能否由此得到sin 2α， cos 2α， tan 2α的表达式呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝　　　　　 S（α＋β） S2α
余弦 cos 2α＝　　 　　　 　 　＝　　　　 　 　 　＝　　　 　　 C（α＋β） C2α
正切 tan 2α＝　　　 T（α＋β） T2α
提醒　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，也就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
2.倍角公式常见变形
sin2α＝　　　　，cos2α＝　　　　，tan2α＝　　　　，（sin α±cos α）2＝　　　　.
1.（多选）下列结论中正确的是（　　）
A.sin α＝2sin cos
B.cos 4α＝cos22α－sin22α
C.对任意角α，tan 2α＝
D.cos2α＝
2.已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝（　　）
A.　　　B. C.　 　D.
3.cos215°－sin215°＝　　　　.
题型一 给角求值
【例1】　（链接教科书第70页练习1题）求下列各式的值：
（1）sin cos＝　　　　；
（2）1－2sin2750°＝　　　　；
（3）＝　　　　；
（4）－＝　　　　.
通性通法
利用二倍角公式解决给角求值问题的两种策略
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的正、余弦三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解正余弦过程中，需配凑出满足二倍角公式的条件.
【跟踪训练】
1.cos4－sin4＝（　　）
A.－　　　　　　　 B.－
C. D.
2.求值＝　　　　.
题型二 给值求值（角）
【例2】　（链接教科书第69页例1）（1）已知cos α＝－，α∈，则sin 2α＝　　　　，cos 2α＝　　　　，tan 2α＝　　　　；
（2）若sin α－cos α＝，则sin 2α＝　　　　.
【母题探究】
　（变条件）本例（2）中，条件改为：已知sin α＋cos α＝，则sin 2α＝　　　　.
通性通法
解决给值求值问题的方法
　　给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
（1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
（2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系；
（3）注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2（－x）－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin＝2sin（－x）cos.
【跟踪训练】
1.已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α＝（　　）
A.75° B.45°
C.60° D.30°
2.（2024·镇江中学月考）若sin（θ－）＝，则sin（2θ＋）＝　　　　.
题型三 利用二倍角公式证明与化简
【例3】　（1）（链接教科书第70页例2）证明：＝；
（2）（链接教科书第70页例3）化简：
①cos2（θ＋π）＋cos2（θ－π）＋cos2θ；
②sin 10°（1＋）.
通性通法
三角函数式证明与化简的方法
（1）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
（2）化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂.
【跟踪训练】
1.（2024·连云港月考）α为第三象限角，则－＝　　　　.
2.化简：.
题型四 二倍角公式在实际问题中的应用
【例4】　（链接教科书第71页例5）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
（1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
（2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
通性通法
倍角公式在实际问题中的应用技巧
（1）建模：将实际问题建立三角函数模型；
（2）解模：利用二倍角公式及两角和与差的正、余弦公式将建立的三角函数模型转化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再求出相应的最值；
（3）结论：将三角函数模型的结果还原到实际问题中去.
【跟踪训练】
某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）.
1.若sin＝，则cos α＝（　　）
A.－　 B.－　　C.　 　D.
2.（多选）下列各式的值为1的是（　　）
A.4sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C.＋2sin215° D.sin22 025＋cos22 025
3.（2024·江苏泰州中学期中）已知＝－，则tan α＝　　　　.
4.求证：＝sin 4α.
10.2　二倍角的三角函数
【基础知识·重落实】
知识点
1.2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　　2.　　　1±sin 2α
自我诊断
1.ABD　对于C，当α＝时，tan无意义，故C错误；A、B、D正确.故选A、B、D.
2.D　sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.故选D.
3.　解析：cos215°－sin215°＝cos（2×15°）＝cos 30°＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）　（2）　（3）－　（4）4　解析：（1）原式＝＝＝.
（2）原式＝cos（2×750°）＝cos 1 500°＝cos（4×360°＋60°）＝cos 60°＝.
（3）原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°－60°）＝－tan 60°＝－.
（4）原式＝
＝
＝＝＝4.
跟踪训练
1.D　原式＝（cos2－sin2）（cos2＋sin2）＝cos＝.
2.　解析：＝＝tan 60°＝.
【例2】　（1）　　　 （2）
解析：（1）∵cos α＝－，α∈，∴sin α＝－＝－＝－.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，于是，tan 2α＝＝.
（2）（sin α－cos α）2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝（）2，即sin 2α＝1－（）2＝.
母题探究
　－　解析：由题意，得（sin α＋cos α）2＝，∴1＋2sin αcos α＝，即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.
跟踪训练
1.D　因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即（sin α＋1）（2sin α－1）＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°.故选D.
2.　解析：因为sin（θ－）＝，所以sin（2θ＋）＝sin［2（θ－）＋］＝cos ［2（θ－）］＝1－2sin2（θ－）＝.
【例3】　解：（1）证明：左边＝
＝
＝＝tan 2θ＝＝右边，
所以等式成立.
（2）①法一　由倍角公式cos 2θ＝2cos2θ－1，得cos2θ＝.
原式＝＋
＋
＝＋＋＋＝.
法二　原式＝（－cos θ－sin θ）2＋（－cos θ＋sin θ）2＋cos2θ
＝cos2θ＋sin θ cos θ＋sin2θ＋cos2θ－sin θ cos θ＋sin2θ＋cos2θ＝.
②原式＝sin 10°（1＋）＝sin 10°·＝sin 10°·＝＝1.
跟踪训练
1.0　解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0，所以－＝－＝－＝0.
2.解：原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
【例4】　解：（1）连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400 m2.
此时AO＝DO＝10 m.
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
（2）由（1）知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40
＝40sin（θ＋），
又θ∈，所以θ＋∈，
当θ＋＝，即θ＝时，（AB＋BC＋CD）max＝40 m，
此时AO＝DO＝10 m，
即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.
跟踪训练
　解：如图，连接OC，设∠COB＝θ，
则0＜θ＜，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝（cos θ－sin θ）·sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－（1－cos 2θ）＋sin 2θ
＝（sin 2θ＋cos 2θ）－＝cos－.
当2θ－＝0，即θ＝时，（S矩形ABCD）max＝ m2.
所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
随堂检测
1.C　因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.故选C.
2.ACD　4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝1，A正确；cos215°－sin215°＝cos 30°＝，B错误；＋2sin215°＝＋1－cos 30°＝＋1－＝1，C正确；sin22 025＋cos22 025＝1，D正确.故选A、C、D.
3.－3　解析：＝＝＝＝－，故tan α＝－3.
4.证明：左边＝
＝2cos2α·（－cos 2α）·
＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α
＝sin 2αcos 2α
＝sin 4α＝右边，所以等式成立.
4 / 4(共68张PPT)
10.2　
二倍角的三角函数
新课程标准解读 核心素养
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 逻辑推理
2.能够运用二倍角公式解决有关求值、化简等
问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　前面我们已学习了两角和的正弦、余弦、正切公式，大家回
忆一下：
　　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β，
　　 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β，
　　tan（α＋β）＝ .
【问题】　当α＝β时，我们能否由此得到 sin 2α， cos 2α， tan
2α的表达式呢？
知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. 二倍角公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝ S（α＋β） S2α
余弦 cos 2α＝ ＝ ＝ C（α＋β） C2α
正切 tan 2α＝ T（α＋β） T2α
2 sin α cos α　
cos 2α－ sin 2α　
2 cos 2α－1　
1－2 sin 2α　
　
提醒　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2
的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是 的2倍，也就是说，
“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
2. 倍角公式常见变形
sin 2α＝ 　 　， cos 2α＝ 　 　，tan2α
＝ ，（ sin α± cos α）2＝ .
　
　
　
1± sin 2α　
1. （多选）下列结论中正确的是（　　）
B. cos 4α＝ cos 22α－ sin 22α
解析： 　对于C，当α＝ 时，tan 无意义，故C错误；A、
B、D正确.故选A、B、D.
√
√
√
2. 已知 sin α＝ ， cos α＝ ，则 sin 2α＝（　　）
解析： 　 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ .故选D.
√

解析： cos 215°－ sin 215°＝ cos （2×15°）＝ cos 30°＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值
【例1】　（链接教科书第70页练习1题）求下列各式的值：
（1） sin cos ＝ 　 　；
解析： 原式＝ ＝ ＝ .
　

解析： 原式＝ cos （2×750°）＝ cos 1 500°＝ cos
（4×360°＋60°）＝ cos 60°＝ .
（3） ＝ 　－ 　；
解析： 原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°－
60°）＝－tan 60°＝－ .
　
－ 　
（4） － ＝ .
解析： 原式＝
＝
＝ ＝ ＝4.
4　
通性通法
利用二倍角公式解决给角求值问题的两种策略
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的
基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的正、余弦三角函数式相乘，则一般逆
用二倍角的正弦公式，在求解正余弦过程中，需配凑出满足二
倍角公式的条件.
【跟踪训练】
1. cos 4 － sin 4 ＝（　　）
解析： 　原式＝（ cos 2 － sin 2 ）（ cos 2 ＋ sin 2 ）＝ cos
＝ .
√
2. 求值 ＝ 　 　.
解析： ＝ ＝ tan 60°＝ .
　
题型二 给值求值（角）
【例2】　（链接教科书第69页例1）（1）已知 cos α＝－ ，
α∈ ，则 sin 2α＝ 　 　， cos 2α＝ 　 　，tan 2α
＝ ；
　
　
　
解析： ∵ cos α＝－ ，α∈ ，∴ sin α＝－
＝－ ＝－ .∴ sin 2α＝2 sin α cos α
＝2× × ＝ ， cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝
－ ＝ ，于是，tan 2α＝ ＝ .
（2）若 sin α－ cos α＝ ，则 sin 2α＝ 　 　.
解析： （ sin α－ cos α）2＝ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α
cos α＝1－ sin 2α＝（ ）2，即 sin 2α＝1－（ ）2＝ .
　
【母题探究】
　（变条件）本例（2）中，条件改为：已知 sin α＋ cos α＝ ，则
sin 2α＝ .
解析：由题意，得（ sin α＋ cos α）2＝ ，∴1＋2 sin α cos α＝
，即1＋ sin 2α＝ ，∴ sin 2α＝－ .
－ 　
通性通法
解决给值求值问题的方法
　　给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观
察方向：
（1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
（2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角
的变换和角之间的二倍关系；
① sin 2x＝ cos ＝ cos ＝2 cos 2（ －x）－1
＝1－2 sin 2 ；
② cos 2x＝ sin ＝ sin ＝2 sin （ －x） cos
.
（3）注意几种公式的灵活应用，如：
【跟踪训练】
1. 已知α为锐角，且满足 cos 2α＝ sin α，则α＝（　　）
A. 75° B. 45°
C. 60° D. 30°
解析： 　因为 cos 2α＝1－2 sin 2α，故由题意，知2 sin 2α＋ sin
α－1＝0，即（ sin α＋1）（2 sin α－1）＝0.因为α为锐角，所
以 sin α＝ ，所以α＝30°.故选D.
√
2. （2024·镇江中学月考）若 sin （θ－ ）＝ ，则 sin （2θ＋ ）
＝ .
解析：因为 sin （θ－ ）＝ ，所以 sin （2θ＋ ）＝ sin ［2
（θ－ ）＋ ］＝ cos ［2（θ－ ）］＝1－2 sin 2（θ－ ）＝
.
　
题型三 利用二倍角公式证明与化简
【例3】　（1）（链接教科书第70页例2）证明： ＝
；
解： 证明：左边＝
＝
＝ ＝tan 2θ＝ ＝右边，
所以等式成立.
① cos 2（θ＋ π）＋ cos 2（θ－ π）＋ cos 2θ；
② sin 10°（1＋ ）.
解： ①法一　由倍角公式 cos 2θ＝2 cos 2θ－1，得 cos
2θ＝ .
原式＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .
（2）（链接教科书第70页例3）化简：
法二　原式＝（－ cos θ－ sin θ）2＋（－ cos θ＋ sin θ）2
＋ cos 2θ
＝ cos 2θ＋ sin θ cos θ＋ sin 2θ＋ cos 2θ－ sin θ cos θ＋
sin 2θ＋ cos 2θ＝ .
②原式＝ sin 10°（1＋ ）＝ sin 10°· ＝
sin 10°· ＝ ＝1.
通性通法
三角函数式证明与化简的方法
（1）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于
另一边；②比较法，左边－右边＝0， ＝1；③分析法，从
要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
（2）化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂
或升幂.
【跟踪训练】
1. （2024·连云港月考）α为第三象限角，则 －
＝ .
解析：因为α为第三象限角，所以 cos α＜0， sin α＜0，所以
－ ＝ － ＝ － ＝0.
0　
2. 化简： .
解：原式＝
＝
＝
＝ ＝ ＝1.
题型四 二倍角公式在实际问题中的应用
【例4】　（链接教科书第71页例5）如图，有一块以点O为圆心的半
圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使
其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知
半圆的半径长为20 m.
（1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的
面积最大，最大值是多少？
解： 连接OB，如图所示，设∠AOB＝
θ，
则AB＝OB sin θ＝20 sin θ，OA＝OB cos θ＝
20 cos θ，且θ∈ .
因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40
cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40 cos θ·20 sin θ＝400 sin
2θ.
因为θ∈ ，所以当 sin 2θ＝1，即θ＝
时，Smax＝400 m2.
此时AO＝DO＝10 m.
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD
的面积最大，其最大面积是400 m2.
（2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D
位置，使步行小路的距离最远？
解： 由（1）知AB＝20 sin θ，AD＝40
cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40 sin θ＋40 cos θ＝
40 ＝40 sin ，
又θ∈ ，所以θ＋ ∈ ，
当θ＋ ＝ ，即θ＝ 时，（AB＋BC＋CD）max＝40 m，
此时AO＝DO＝10 m，
即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.
通性通法
倍角公式在实际问题中的应用技巧
（1）建模：将实际问题建立三角函数模型；
（2）解模：利用二倍角公式及两角和与差的正、余弦公式将建立的
三角函数模型转化为y＝A sin （ωx＋φ）的形式，再求出相应
的最值；
（3）结论：将三角函数模型的结果还原到实际问题中去.
【跟踪训练】
　某工人要从一块圆心角为 的扇形木板中割出一块一边在半径上的
内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最
大面积（如图）.
解：如图，连接OC，设∠COB＝θ，
则0＜θ＜ ，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝ cos θ－AD＝ cos θ－ sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝（ cos θ－ sin θ）· sin θ＝－ sin 2θ＋ sin θ cos θ＝－ （1－ cos 2θ）＋ sin 2θ＝ （ sin 2θ＋ cos 2θ）－ ＝ cos － .当2θ－ ＝0，即θ＝ 时，（S矩形ABCD）max＝ m2.所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
1. 若 sin ＝ ，则 cos α＝（　　）
解析： 　因为 sin ＝ ，所以 cos α＝1－2 sin 2 ＝1－2×
＝ .故选C.
√
2. （多选）下列各式的值为1的是（　　）
A. 4 sin 15° cos 15°
B. cos 215°－ sin 215°
D. sin 22 025＋ cos 22 025
√
√
√
解析： 　4 sin 15° cos 15°＝2 sin 30°＝1，A正确； cos
215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，B错误； ＋2 sin 215°＝ ＋
1－ cos 30°＝ ＋1－ ＝1，C正确； sin 22 025＋ cos 22 025＝
1，D正确.故选A、C、D.
3. （2024·江苏泰州中学期中）已知 ＝－ ，则tan α＝
.
解析： ＝ ＝ ＝ ＝－ ，故tan α
＝－3.
－
3　
4. 求证： ＝ sin 4α.
证明：左边＝
＝2 cos 2α·（－ cos 2α）·
＝ cos 2α cos 2αtan α＝ sin α cos α cos 2α＝ sin 2α cos 2α
＝ sin 4α＝右边，所以等式成立.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 cos x＝ ，则 cos 2x＝（　　）
解析： 　 cos 2x＝2 cos 2x－1＝2× －1＝ .
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2. cos 275°＋ cos 215°＋ cos 75° cos 15°＝（　　）
解析： 　原式＝ sin 215°＋ cos 215°＋ sin 15° cos 15°＝1＋
sin 30°＝1＋ ＝ .故选C.
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3. － ＝（　　）
A. －2 cos 5° B. 2 cos 5°
C. －2 sin 5° D. 2 sin 5°
解析： 　原式＝ － ＝ cos 50°－ sin
50°＝2 ＝2（ sin 45° cos 50°－ cos
45° sin 50°）＝2 sin （－5°）＝－2 sin 5°.故选C.
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4. 已知tan x＝2，则tan ＝（　　）
解析： 　法一　tan ＝tan（2x－ ）＝ ＝
＝－ ＝－ ＝ ＝ .
√
法二　tan（x－ ）＝ ＝ ＝ ，∴tan［2（x－ ）］＝
＝ ＝ .故选C.
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5. （2024·南京河西外国语期中）已知 sin （α＋ ）＝ ，则 cos
（2α－ ）＝（　　）
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解析： 　由二倍角公式得： cos ［2（α＋ ）］＝1－2 sin 2（α
＋ ）＝1－2× ＝ ，又 cos （2α－ ）＝ cos ［（2α＋ ）－
π］＝－ cos （2α＋ ）＝－ .故选D.
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6. （多选）下列各式中，一定成立的是（　　）
A. sin 8α＝2 sin 4α cos 4α
B. 1－ sin 2α＝（ sin α－ cos α）2
解析： 　对于B，（ sin α－ cos α）2＝1－ sin 2α≠1－ sin
2α，故B错误；对于D，tan 2α＝ ，故D错误；A、C正确.
故选A、C.
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7. 计算 （ cos 215°－ cos 275°）＋ sin 15° cos 15°＝ .
解析： （ cos 215°－ cos 275°）＋ sin 15° cos 15°＝ cos
30°＋ sin 30°＝ sin 90°＝1.
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8. （2024·淮安月考）已知角α，β为锐角，且1－ cos 2α＝ sin α
cos α，tan（β－α）＝ ，则tan α＝ 　 　，β＝ 　 　.
解析：由1－ cos 2α＝ sin α cos α，得2 sin 2α＝ sin α cos
α.∵α为锐角，∴ sin α≠0，∴2 sin α＝ cos α，即tan α＝ .
　
　
法一　由tan（β－α）＝ ＝ ＝ ，得tan β＝1.∵β
为锐角，∴β＝ .
法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝ ＝ ＝
1.∵β为锐角，∴β＝ .
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9. 已知α∈ ，且 cos α＝－ ，则tan 2α＝ 　 　，
＝ .
　
－7　
解析：因为α∈ ， cos α＝－ ，所以 sin α＝
＝ ＝ ，所以tan α＝ ＝－ ，所以tan 2α＝
＝ ，所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝－
， cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝－ ，所以 ＝
＝－7.
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10. 已知函数f（x）＝ cos ，x∈R.
（1）求f 的值；
解： 因为f（x）＝ cos ，
所以f ＝ cos ＝ cos ＝ cos
＝1.
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（2）若 cos θ＝ ，θ∈ ，求f .
解： 因为 cos θ＝ ，θ∈ ，所以 sin θ＝－ .
所以 cos 2θ＝2 cos 2θ－1＝2× －1＝－ ，
sin 2θ＝2 sin θ cos θ＝2× × ＝－ .
f ＝ cos ＝ （ cos 2θ cos － sin 2θ
sin ）＝ ×［（－ ）× － × ］＝ .
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11. （2024·无锡月考）在锐角△ABC中，若B＝2A，则 的取值范
围是（　　）
解析： 　在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是
解得 ＜A＜ ，所以 ＜ cos A＜ ，则
＝ ＝2 cos A∈（ ， ）.故选A.
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12. （多选）已知函数f（x）＝1－2 sin 2（x＋ ），则下列结论正
确的是（　　）
A. 函数f（x）是奇函数
B. 函数f（x）的最小正周期为2π
D. f（1）＞f（2）
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解析： 　f（x）＝1－2 sin 2（x＋ ）＝ cos ［2（x＋ ）］
＝－ sin 2x，对于A，f（－x）＝－ sin （－2x）＝ sin 2x＝－f
（x），所以函数f（x）是奇函数，故A正确；对于B，函数f
（x）的最小正周期为 ＝π，故B错误；对于C，f（－ ）＝－
sin （－ ）＝1为函数的最大值，所以函数f（x）的图象关于x
＝－ 对称，故C正确；对于D，f（1）＝－ sin 2＜0，f（2）＝
－ sin 4＞0，所以f（1）＜f（2），故D错误.故选A、C.
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13. （2024·江苏泰州中学期中）已知α是锐角， cos α＝ ，则 cos
（ ＋ ）＝ 　 － 　.
解析：因为 cos α＝ ，所以 cos α＝2 cos 2 －1＝ ，解得 cos
＝± ，又α是锐角，则0＜ ＜ ，所以 cos ＝ ，则 sin ＝
＝ ，所以 cos （ ＋ ）＝ cos cos － sin sin ＝
× － × ＝ － .
－ 　
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14. 已知θ∈（0，π），且 sin θ＋ cos θ＝ .
（1）求 的值；
解：由 sin θ＋ cos θ＝ ， ①
两边平方并化简得2 sin θ cos θ＝－ ＜0，
∵θ∈（0，π），∴ sin θ＞0， cos θ＜0，
sin θ－ cos θ＝ ＝ ＝ ，②
由①②得 sin θ＝ ， cos θ＝－ .
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＝ ＝ .
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（2）求 的值.
解： ＝
＝
＝2 sin θ cos θ＝－ .
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15. 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的
十字形，其中y＞x＞0.
（1）将十字形的面积表示成θ的函数；
解： 由题图可知，x＝ cos θ，y
＝ sin θ.
由y＞x＞0，得 ＜θ＜ .
设S为十字形的面积，
则S＝xy＋x· ×2＝2xy－x2＝2 sin
θ cos θ－ cos 2θ＝ sin 2θ－ cos 2θ
（ ＜θ＜ ）.
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（2）求十字形的最大面积.
解： S＝ sin 2θ－ cos 2θ
＝ sin 2θ－ cos 2θ－
＝ （ sin 2θ－ cos 2θ）－
＝ sin （2θ－φ）－ （设φ为锐角且
tan φ＝ ），
当 sin （2θ－φ）＝1，即2θ－φ＝ 时，S最大.
此时θ＝ ＋ ，十字形取得最大面积 .
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