资源简介

章末检测（十）　三角恒等变换
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.cos（45°－α）cos（α－15°）－sin（45°－α）sin（α－15°）＝（　　）
A.　　　B.－　　　C.　　　D.－
2.下列各式中，值为的是（　　）
A.cos2－sin2 B.
C.sin 15°cos 15° D.
3.已知tan（α－β）＝3，tan β＝2，则tan α＝（　　）
A.－1 B.1 C.－ D.
4.cos 20°·cos 40°·cos 60°·cos 80°＝（　　）
A. B. C. D.
5.已知cos α＝，α∈，则sin＝（　　）
A. B.－
C. D.
6.若2α∈（－，），tan α＝，则sin（2α－）＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
7.已知sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－且α－β∈，α＋β∈，则cos 2β＝（　　）
A.1 B.－1
C. D.－
8.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知0＜θ＜，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，则下列选项中与tan的值恒相等的有（　　）
A. B. C. D.
10.已知α，β是锐角，cos α＝，cos（α－β）＝，则cos β＝（　　）
A. B. C. D.－
11.下列各式与tan α相等的是（　　）
A.
B.
C.·（α∈（0，π））
D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知sin（α＋30°）＝，则sin（2α＋150°）＝　　　　.
13.△ABC的三个内角分别为A，B，C，当A＝　　　　时，cos A＋2cos取得最大值，这个最大值为　　　　.
14.计算：cos 40°（1＋）＝　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
（1）求tan（α－β）的值；
（2）求α＋β的值.
16.（本小题满分15分）已知cos＝，＜x＜，求的值.
17.（本小题满分15分）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）；
cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）.
（1）求出这个常数；
（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
18.（本小题满分17分）如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝，其他区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度.
（1）求△PAQ的面积S关于θ的函数解析式S（θ）；
（2）求面积S的最小值.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx＋1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈，f＝，f（3β＋π）＝，求cos（α＋β）的值.
章末检测（十）　三角恒等变换
1.C　原式＝cos[（45°－α）＋（α－15°）]＝cos 30°＝.故选C.
2.B　对于A，cos2－sin2＝cos（2×）＝cos＝，故A错误；对于B，＝·＝tan 45°＝，故B正确；对于C ，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故C错误；对于D，＝＝，故D错误.故选B.
3.A　因为tan α＝tan[（α－β）＋β]＝，又tan（α－β）＝3，tan β＝2，故tan α＝＝－1.故选A.
4.C　由20°，40°，80°成倍角关系，且sin 2α＝2sin αcos α，则cos α＝，则cos 20°cos 40°·cos 60°cos 80°＝×××＝.故选C.
5.A　∵α∈，∴∈，∴sin＝＝＝＝.故选A.
6.D　因为tan α＝，所以＝.整理得3sin α＝sin2α＋cos2α＝1，则sin α＝，又2α∈（－，），则2α∈（0，），所以cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝1－2sin2α＝，所以sin（2α－）＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝.故选D.
7.C　∵α－β∈，sin（α－β）＝，∴cos（α－β）＝－.∵α＋β∈，cos（α＋β）＝－，∴sin（α＋β）＝.∴cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝.故选C.
8.B　∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝＝
＝，
即＝，∴cos（B＋C）＝0，∴cos（π－A）＝0，∴cos A＝0，∵0＜A＜π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形.故选B.
9.AD　∵sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴＝，∴tan＝＝＝＝＝＝.故选A、D.
10.AC　由α是锐角，cos α＝，则sin α＝＝，又α，β是锐角，则－β∈，得α－β∈，又cos（α－β）＝，则sin（α－β）＝±，则cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×±×＝，得cos β＝或cos β＝.故选A、C.
11.CD　A项，＝＝＝｜tan α｜≠tan α；B项，＝＝tan≠tan α；C项，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tan α，符合；D项，＝＝tan α，符合.故选C、D.
12.　解析：sin（2α＋150°）＝sin[2（α＋30°）＋90°]＝cos [2（α＋30°）]＝1－2sin2（α＋30°）＝1－2×（）2＝.
13.60°　　解析：cos A＋2cos＝cos A＋2sin＝1－2sin2＋2sin＝－2sin2＋2sin＋1＝－2·＋，当sin＝，即A＝60°时，＝.
14.1　解析：原式＝cos 40°（1＋）＝cos 40°·＝cos 40°＝
　cos 40°＝cos 40°＝cos 40°＝＝1.
15.解：（1）由题可知，cos α＝，cos β＝.
由于α，β为锐角，则sin α＝，sin β＝，
故tan α＝，tan β＝，
则tan（α－β）＝＝＝－.
（2）因为tan（α＋β）＝＝1，
sin α＝＜，sin β＝＜，即0＜α＋β＜，故α＋β＝.
16.解：＝
＝
＝
＝sin 2x·tan.
∵＜x＜，∴＜x＋＜2π，
又∵cos＝，
∴sin＝－.
∴tan＝－.
sin 2x＝sin
＝－cos［2（＋x）］＝1－2cos2
＝1－2×＝.
∴＝sin 2x·tan＝×＝－.
17.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°
＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos 30°－（1－cos 30°）
＝1＋－×＝.
（2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝.
证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
cos2α＋cos2β－sin αsin β
＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α）
＝cos2α＋－sin α·（cos α－sin α）
＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝.
18.解：（1）因为∠BAP＝θ，正方形边长为1百米，
所以AP＝，AQ＝.
如图，过点P作AQ的垂线，垂足为E，则PE＝·，
所以S（θ）＝··＝，θ∈.
（2）因为S（θ）＝，
所以当sin＝1，
即θ＝时，
S（θ）取最小值为－1，
故当θ＝时，面积S的最小值为－1.
19.解：（1）∵f（x）＝2＋1
＝2＋1
＝2sin＋1，
∵T＝＝6π，∴ω＝.
（2）由（1）得f（x）＝2sin＋1，
∵f＝2sin＋1＝2sin＋1＝－2cos α＋1＝，
∴cos α＝.
又f（3β＋π）＝2sin＋1
＝2sin β＋1＝，
∴sin β＝.
∵α，β∈，
∴sin α＝＝，cos β＝＝.
∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－.
3 / 3(共38张PPT)
章末检测（十）　三角恒等变换
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. cos （45°－α） cos （α－15°）－ sin （45°－α） sin （α－
15°）＝（　　）
解析： 　原式＝ cos [（45°－α）＋（α－15°）]＝ cos 30°
＝ .故选C.
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2. 下列各式中，值为 的是（　　）
C. sin 15° cos 15°
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解析： 　对于A， cos 2 － sin 2 ＝ cos （2× ）＝ cos ＝
，故A错误；对于B， ＝ · ＝ tan 45°
＝ ，故B正确；对于C ， sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ，故C
错误；对于D， ＝ ＝ ，故D错误.故选B.
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3. 已知tan（α－β）＝3，tan β＝2，则tan α＝（　　）
A. －1 B. 1
解析： 　因为tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ，
又tan（α－β）＝3，tan β＝2，故tan α＝ ＝－1.故选A.
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4. cos 20°· cos 40°· cos 60°· cos 80°＝（　　）
解析： 由20°，40°，80°成倍角关系，且 sin 2α＝2 sin α
cos α，则 cos α＝ ，则 cos 20° cos 40°· cos 60° cos 80°
＝ × × × ＝ .故选C.
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5. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 sin ＝（　　）
解析： 　∵α∈ ，∴ ∈ ，∴ sin ＝
＝ ＝ ＝ .故选A.
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6. 若2α∈（－ ， ），tan α＝ ，则 sin （2α－ ）＝
（　　）
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解析： 　因为tan α＝ ，所以 ＝ .整理得3 sin α
＝ sin 2α＋ cos 2α＝1，则 sin α＝ ，又2α∈（－ ， ），则
2α∈（0， ），所以 cos α＝ ＝ ，所以 sin 2α＝2
sin α cos α＝2× × ＝ ， cos 2α＝1－2 sin 2α＝ ，所以
sin （2α－ ）＝ sin 2α cos － cos 2α sin ＝ × － × ＝
.故选D.
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7. 已知 sin （α－β）＝ ， cos （α＋β）＝－ 且α－
β∈ ，α＋β∈ ，则 cos 2β＝（　　）
A. 1 B. －1
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解析： 　∵α－β∈ ， sin （α－β）＝ ，∴ cos （α
－β）＝－ .∵α＋β∈ ， cos （α＋β）＝－ ，∴ sin
（α＋β）＝ .∴ cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝ cos
（α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝
× ＋ × ＝ .故选C.
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8. 在△ABC中，若tan B＝ ，则这个三角形是
（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
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解析： 　∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝
＝
＝ ，即 ＝ ，∴ cos （B＋
C）＝0，∴ cos （π－A）＝0，∴ cos A＝0，∵0＜A＜π，∴A＝
，∴这个三角形为直角三角形.故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知0＜θ＜ ，若 sin 2θ＝m， cos 2θ＝n且m≠n，则下列选
项中与tan 的值恒相等的有（　　）
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解析： 　∵ sin 2θ＝m， cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴
＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ .故选A、D.
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10. 已知α，β是锐角， cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，则 cos
β＝（　　）
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解析： 　由α是锐角， cos α＝ ，则 sin α＝ ＝
，又α，β是锐角，则－β∈ ，得α－β∈
，又 cos （α－β）＝ ，则 sin （α－β）＝± ，则
cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α
sin （α－β）＝ × ± × ＝ ，得 cos β＝
或 cos β＝ .故选A、C.
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11. 下列各式与tan α相等的是（　　）
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解析： 　A项， ＝ ＝ ＝｜tan α｜
≠tan α；B项， ＝ ＝tan ≠tan α；C项，因为
α∈（0，π），所以原式＝ · ＝ ＝tan α，符
合；D项， ＝ ＝tan α，符合.故选C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知 sin （α＋30°）＝ ，则 sin （2α＋150°）＝ 　 　.
解析： sin （2α＋150°）＝ sin [2（α＋30°）＋90°]＝ cos
[2（α＋30°）]＝1－2 sin 2（α＋30°）＝1－2×（ ）2＝ .
　
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13. △ABC的三个内角分别为A，B，C，当A＝ 时， cos A
＋2 cos 取得最大值，这个最大值为 　 　.
解析： cos A＋2 cos ＝ cos A＋2 sin ＝1－2 sin 2 ＋2 sin ＝
－2 sin 2 ＋2 sin ＋1＝－2· ＋ ，当 sin ＝ ，即A
＝60°时， ＝ .
60°　
　
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14. 计算： cos 40°（1＋ ）＝ .
解析：原式＝ cos 40°（1＋ ）＝ cos
40°· ＝ cos 40° ＝ cos
40° ＝ cos 40° ＝ cos 40° ＝
＝1.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为
始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B
两点，已知A，B的横坐标分别为 ， .
（1）求tan（α－β）的值；
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解： 由题可知， cos α＝ ， cos
β＝ .
由于α，β为锐角，则 sin α＝ ， sin
β＝ ，
故tan α＝ ，tan β＝ ，
则tan（α－β）＝ ＝ ＝－ .
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（2）求α＋β的值.
解： 因为tan（α＋β）＝ ＝1，
sin α＝ ＜ ， sin β＝ ＜ ，即0
＜α＋β＜ ，故α＋β＝ .
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16. （本小题满分15分）已知 cos ＝ ， ＜x＜ ，求
的值.
解： ＝
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＝ sin 2x·tan .
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∵ ＜x＜ ，∴ ＜x＋ ＜2π，
又∵ cos ＝ ，
∴ sin ＝－ .
∴tan ＝－ .
sin 2x＝ sin ＝－ cos ［2（ ＋x）］＝1－2 cos
2 ＝1－2× ＝ .
∴ ＝ sin 2x·tan ＝ × ＝－ .
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17. （本小题满分15分）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下
三个式子的值都等于同一个常数.
cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°；
cos 280°＋ cos 2（－50°）－ sin 80° sin （－50°）；
cos 2170°＋ cos 2（－140°）－ sin 170° sin （－140°）.
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（1）求出这个常数；
解： cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°
＝2 cos 215°－ sin 215°
＝1＋ cos 30°－ （1－ cos 30°）
＝1＋ － × ＝ .
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（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等
式，并证明你的结论.
解： 推广：当α＋β＝30°时， cos 2α＋ cos 2β－
sin α sin β＝ .
证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β
＝ cos 2α＋ cos 2（30°－α）－ sin α sin （30°－α）
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＝ cos 2α＋ － sin α·（ cos α－
sin α）
＝ cos 2α＋ cos 2α＋ cos α sin α＋ sin 2α－ cos α
sin α＋ sin 2α＝ cos 2α＋ sin 2α＝ .
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18. （本小题满分17分）如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空
地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花
草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝ ，其他
区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度.
（1）求△PAQ的面积S关于θ的函数解析式S（θ）；
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解： 因为∠BAP＝θ，正方形边长为
1百米，
所以AP＝ ，AQ＝ .
如图，过点P作AQ的垂线，垂足为E，则PE＝ · ，
所以S（θ）＝ · · ＝
，θ∈ .
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（2）求面积S的最小值.
解： 因为S（θ）＝ ，
所以当 sin ＝1，即θ＝ 时，S（θ）取最小值为 －1，
故当θ＝ 时，面积S的最小值为 －1.
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19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx＋1
（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π.
（1）求ω的值；
解： ∵f（x）＝2 ＋1
＝2 ＋1
＝2 sin ＋1，
∵T＝ ＝6π，∴ω＝ .
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（2）设α，β∈ ，f ＝ ，f（3β＋π）＝ ，
求 cos （α＋β）的值.
解： 由（1）得f（x）＝2 sin ＋1，
∵f ＝2 sin ＋1＝2 sin ＋1＝
－2 cos α＋1＝ ，
∴ cos α＝ .
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又f（3β＋π）＝2 sin ＋1＝2 sin β＋1＝
，∴ sin β＝ .
∵α，β∈ ，
∴ sin α＝ ＝ ， cos β＝ ＝ .
∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ .
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