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第1课时　正弦定理
1.在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝（　　）
A. B.
C. D.
3.（2024·扬州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin（A＋B）＝，sin A＝，则c＝（　　）
A.4 B.3
C. D.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（　　）
A.1∶2∶3 B.3∶2∶1
C.2∶∶1 D.1∶∶2
5.（多选）（2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，A＝，则C的值可以是（　　）
A. B.
C. D.
6.（多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　）
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
7.（2024·无锡锡南实验中学期中）在△ABC中，AB＝，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝　　　　.
8.在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为　　　　.
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝　　　　，c＝　　　　.
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：
（1）A＝30°，C＝105°，a＝2；
（2）b＝3，c＝3，B＝30°.
11.在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈（，），则的取值范围为（　　）
A.（，） B.（，2）
C.（0，2） D.（，2）
12.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B
D.在△ABC中，＝
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为　　　　.
14.（2023·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°.
（1）求sin B的值；
（2）求c的值；
（3）求sin（B－C）的值.
15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF＝2，sin∠ACF＝，试求边AC的长.
第1课时　正弦定理
1.B　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B.
2.A　由＝，故＝，解得sin B＝.故选A.
3.C　sin C＝sin（A＋B）＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故选C.
4.D　在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.故选D.
5.BD　由正弦定理，有＝，得sin C＝＝＝，由C∈（0，π）且c＞a，得C＝或C＝.故选B、D.
6.ABD　A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵＝，∴sin C＝＝＝，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝＝，又b＜a，∴只有一解.
7.　解析：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理＝，即＝，解得BC＝.
8.　解析：△ABC的外接圆的直径为2R＝＝＝.
9.　　解析：∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝＝，sin C＝＝，∴sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.在△ABC中由正弦定理得＝＝＝＝，∴b＝sin B＝×＝，c＝sin C＝×＝.
10.解：（1）∵A＝30°，C＝105°，
∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵＝＝，
∴b＝＝＝2，
c＝＝＝＋.
∴B＝45°，b＝2，c＝＋.
（2）由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝.
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
11.A　由正弦定理得＝＝＝2cos B.又＜B＜，余弦函数在此范围内单调递减，故＜cos B＜，∴∈（，）.
12.ACD　对于A，由＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A＞sin B a＞b A＞B，故C正确；对于D，由＝＝＝2R，可得＝＝2R＝，故D正确.
13.（，2）　解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2.
14.解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝＝.
（2）在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即（）2＝22＋c2－2×2×c×cos 120°，
解得c＝－7或c＝5.
又∵c＞0，∴c＝5.
（3）由（1）（2）知sin B＝，cos B＝，sin C＝.
∵A为钝角，∴C为锐角，∴cos C＝.
∴sin（B－C）＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－.
15.解：在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，设AF＝CE＝t，则CF＝2＋t，
由正弦定理可知，＝，即＝，则AC＝t，
在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CFcos∠AFC，
即t2＝t2＋（2＋t）2－2t（t＋2）×（－），又t＞0，则t＝3，故AC＝t＝7.
2 / 211.2　正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.掌握正弦定理及正弦定理的变形 逻辑推理
2.会利用正弦定理解决简单的实际问题 数学运算
第1课时　正弦定理
根据锐角三角函数，如图，在Rt△ACB中，有sin A＝，sin B＝，显然，上述两个关系式在斜三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得＝＝c.
　　又因为sin C＝sin 90°＝1，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即＝＝.
【问题】　对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
知识点一　正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 ＝＝
文字 叙述 三角形的各边与它所对角的　　　　的比相等
提醒　正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③＝2R；④sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
知识点二　三角形解的个数的判断
1.代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得sin B＝，①sin B＞1，即a＜bsin A，无解；②sin B＝1，即a＝bsin A，一解；③sin B＜1，即bsin A＜a＜b，两解.
2.几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
A为 锐角 a＜bsin A 无解
a＝bsin A 一解
bsin A＜ a＜b 两解
a≥b 一解
A为 钝角 或直角 a＞b 一解
a≤b 无解
1.在△ABC中，下列等式总能成立的是（　　）
A.acos C＝ccos A
B.bsin C＝csin A
C.absin C＝bcsin B
D.asin C＝csin A
2.（2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b＝（　　）
A. B.
C. D.2
3.在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，求△ABC的外接圆半径.
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】　（链接教科书第97页例1）在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
　（2024·南京月考）在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为（　　）
A.5　　　　　　　 B.4
C.5 D.4
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】　（链接教科书第98页例2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形.
【母题探究】
　（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形.
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
1.（2024·常州月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝（　　）
A. B.
C.或 D.或
2.在△ABC中，若a＝6，b＝6，A＝30°，则B＝（　　）
A.60° B.60°或120°
C.60°或150° D.120°
题型三 已知两边及一边对角判断三角形解的个数
【例3】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）：
（1）a＝5，b＝4，A＝120°；
（2）a＝9，b＝10，A＝60°；
（3）b＝72，c＝50，C＝135°.
通性通法
1.在△ABC中，0＜sin B≤1，故≥1.∵＝，∴a＝，∴a≥bsin A.这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形解的个数（1或2）的前提.
2.解三角形时，可以先求出sin B的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角形解的个数.
【跟踪训练】
1.在△ABC中，已知a＝30，b＝50，A＝30°，则满足条件的三角形有（　　）
A.1个 B.2个
C.0个 D.无法确定
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　）
A.x＞2 B.x＜2
C.2＜x＜2 D.2＜x＜2
1.在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝（　　）
A.1　　　B.2 C.3　　　D.4
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形（　　）
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
3.（2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长等于　　　　.
第1课时　正弦定理
【基础知识·重落实】
知识点一
　正弦
自我诊断
1.D　由正弦定理易知，选项D正确.
2.D　＝ b＝＝＝2.故选D.
3.解：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝＝＝8，解得R＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由＝得，c＝＝
＝＝4（＋1）.
所以A＝45°，c＝4（＋1）.
跟踪训练
　C　根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理＝，得b＝＝＝5.故选C.
【例2】　解：由正弦定理＝，知sin A＝＝，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝＝＝.
故当A＝60°时，C＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝15°，c＝.
母题探究
　解：由正弦定理＝，知sin B＝＝，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝＝＝.
跟踪训练
1.A　由题意可得sin B＝＝＝，则B＝或B＝.因为b＜a，所以B＜A，所以B＝.故选A.
2.B　a＜b A＜B B＞30°，由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°.故选B.
【例3】　解：（1）sin B＝sin 120°＝×＜，所以三角形有一解.
（2）sin B＝sin 60°＝×＝，而＜＜1.
所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°＜B＜90°，满足A＋B＜180°；
当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解.
（3）sin B＝＝sin C＞sin C＝.
所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.
跟踪训练
1.B　∵bsin A＝50×＝25，∴bsin A＜a＜b.∴满足条件的三角形有2个.故选B.
2.C　由题意知a＞b，则x＞2，又由sin A＝＝＜1，可得x＜2，∴x的取值范围是2＜x＜2.故选C.
随堂检测
1.D　＝＝＝4.
2.C　法一　由正弦定理和已知条件，得＝，∴sin B＝.∵＞1，∴此三角形无解.
法二　∵c＝2，bsin C＝2，∴c＜bsin C，故此三角形无解.
法三　作∠ACD＝30°，AC＝b＝4，以A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解.
3.12　解析：设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得＝，得x＝＝＝12.
4 / 4(共56张PPT)
11.2　正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.掌握正弦定理及正弦定理的变形 逻辑推理
2.会利用正弦定理解决简单的实际问题 数学运算
第1课时　正弦定理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
根据锐角三角函数，如图，在Rt△ACB中，有 sin A＝ ， sin B＝ ，显然，上述两个关系式在斜三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得 ＝ ＝c.
　　又因为 sin C＝ sin 90°＝1，所以上式可以写成边与它的对角的
正弦的比相等的形式，即 ＝ ＝ .
【问题】　对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然
成立？
知识点一　正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c
结论
文字 叙述 三角形的各边与它所对角的 的比相等
正弦　
提醒　正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝
2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；② sin A＝ ， sin B＝ ， sin
C＝ ；③ ＝2R；④ sin A∶ sin B∶ sin C＝
a∶b∶c.
知识点二　三角形解的个数的判断
1. 代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不
妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a
＜b，则A＜B，由正弦定理得 sin B＝ ，① sin B＞1，即a＜
b sin A，无解；② sin B＝1，即a＝b sin A，一解；③ sin B＜1，即
b sin A＜a＜b，两解.
2. 几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a
为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三
角形解的个数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
A为 锐角 a＜b sin A 无解
a＝b sin A 一解
b sin A＜ a＜b 两解
a≥b 一解
分类 图形 关系式 解的个数
A为 钝角 或直角 a＞b 一解
a≤b 无解
1. 在△ABC中，下列等式总能成立的是（　　）
A. a cos C＝c cos A B. b sin C＝c sin A
C. ab sin C＝bc sin B D. a sin C＝c sin A
解析： 　由正弦定理易知，选项D正确.
√
2. （2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2 ，则b＝（　　）
解析： 　 ＝ b＝ ＝ ＝2 .故选D.
√
3. 在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，求△ABC的外接圆半径.
解：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝ ＝ ＝
8，解得R＝4.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】　（链接教科书第97页例1）在△ABC中，已知a＝8，B＝
60°，C＝75°，求A，c.
解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由 ＝ 得，c＝ ＝
＝ ＝4（ ＋1）.
所以A＝45°，c＝4（ ＋1）.
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
　（2024·南京月考）在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5，
则此三角形的最大边长为（　　）
解析： 根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形
的最大边是b，由正弦定理 ＝ ，得b＝ ＝ ＝
5 .故选C.
√
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】　（链接教科书第98页例2）在△ABC中，角A，B，C的对
边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形.
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ ；当A＝120°时，C＝180°－A－B
＝15°，
∴c＝ ＝ ＝ .
故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ；
当A＝120°时，C＝15°，c＝ .
【母题探究】
　（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不
变，解此三角形.
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin B＝ ＝ ，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ .
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
1. （2024·常州月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，
b，c，若a＝4，b＝3， sin A＝ ，则B＝（　　）
解析： 　由题意可得 sin B＝ ＝ ＝ ，则B＝ 或B＝ .
因为b＜a，所以B＜A，所以B＝ .故选A.
√
2. 在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝（　　）
A. 60° B. 60°或120°
C. 60°或150° D. 120°
解析： 　a＜b A＜B B＞30°，由正弦定理可知 ＝
，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，∵B∈（30°，180°），∴B
＝60°或120°.故选B.
√
题型三 已知两边及一边对角判断三角形解的个数
【例3】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角
A，B，C的对边分别为a，b，c）：
（1）a＝5，b＝4，A＝120°；
解： sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解.
（2）a＝9，b＝10，A＝60°；
解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ，
而 ＜ ＜1.
所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是60°＜
B＜90°，满足A＋B＜180°；
当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B＜
120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解.
（3）b＝72，c＝50，C＝135°.
解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ .
所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.
通性通法
1. 在△ABC中，0＜ sin B≤1，故 ≥1.∵ ＝ ，∴a＝
，∴a≥b sin A. 这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形
解的个数（1或2）的前提.
2. 解三角形时，可以先求出 sin B的值并与1进行比较，再结合已知条
件判断三角形解的个数.
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，已知a＝30，b＝50，A＝30°，则满足条件的三角
形有（　　）
A. 1个 B. 2个
C. 0个 D. 无法确定
解析： 　∵b sin A＝50× ＝25，∴b sin A＜a＜b.∴满足条件的
三角形有2个.故选B.
√
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b
＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　）
A. x＞2 B. x＜2
解析： 由题意知a＞b，则x＞2，又由 sin A＝ ＝ ＜1，
可得x＜2 ，∴x的取值范围是2＜x＜2 .故选C.
√
1. 在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则 ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　 ＝ ＝ ＝4.
√
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4 ，
c＝2，C＝30°，那么此三角形（　　）
A. 有一解 B. 有两解
C. 无解 D. 解的个数不确定
解析： 　法一　由正弦定理和已知条件，得 ＝ ，∴ sin
B＝ .∵ ＞1，∴此三角形无解.
√
法二　∵c＝2，b sin C＝2 ，∴c＜b sin C，故此三角形无解.
法三　作∠ACD＝30°，AC＝b＝4 ，以A为圆心，AB＝c＝2为
半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解.
3. （2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，
若45°角所对的边长是4 ，那么120°角所对的边长等于 .
解析：设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得 ＝
，得x＝ ＝ ＝12.
12　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2 ，则c＝（　　）
A. 1 B. 2
解析： 　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c
＝ ＝ ＝2.故选B.
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2. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 sin B＝（　　）
解析： 　由 ＝ ，故 ＝ ，解得 sin B＝ .故选A.
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3. （2024·扬州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知a＝2， sin （A＋B）＝ ， sin A＝ ，则c＝
（　　）
A. 4 B. 3
解析： 　 sin C＝ sin （A＋B）＝ .由正弦定理得c＝ · sin C
＝ × ＝ .故选C.
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4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C
＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（　　）
A. 1∶2∶3 B. 3∶2∶1
解析： 　在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝
2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，
C＝90°，所以a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C＝ sin 30°∶ sin
60°∶ sin 90°＝1∶ ∶2.故选D.
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5. （多选）（2024·盐城联盟校期中）在△ABC中，角A，B，C所
对的边长分别为a，b，c，若a＝2 ，c＝2 ，A＝ ，则C
的值可以是（　　）
解析： 　由正弦定理，有 ＝ ，得 sin C＝ ＝
＝ ，由C∈（0，π）且c＞a，得C＝ 或C＝ .故选B、D.
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6. （多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是
（　　）
A. a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B. b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
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解析： 　A中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝1，∴B
＝90°，即只有一解；B中，∵ ＝ ，∴ sin C＝ ＝
＝ ，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝
90°，a＝5，c＝2，∴b＝ ＝ ，有解；D中，∵
＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，又b＜a，∴只有一解.
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7. （2024·无锡锡南实验中学期中）在△ABC中，AB＝ ，∠BAC
＝60°，∠ABC＝75°，则BC＝ .
解析：因为∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝180°－
60°－75°＝45°，由正弦定理 ＝ ，即 ＝ ，解
得BC＝ .
　
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8. 在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径
为 .
解析：△ABC的外接圆的直径为2R＝ ＝ ＝ .
　
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解析：∵ cos A＝ ， cos C＝ ，∴ sin A＝ ＝ ， sin
C＝ ＝ ，∴ sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos
A sin C＝ × ＋ × ＝ .在△ABC中由正弦定理得 ＝
＝ ＝ ＝ ，∴b＝ sin B＝ × ＝ ，c＝ sin C＝ × ＝
.
9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A＝ ，
cos C＝ ，a＝1，则b＝ 　 　，c＝ 　 　.
　
　
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10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条
件解三角形：
（1）A＝30°，C＝105°，a＝2；
解： ∵A＝30°，C＝105°，
∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵ ＝ ＝ ，
∴b＝ ＝ ＝2 ，
c＝ ＝ ＝ ＋ .
∴B＝45°，b＝2 ，c＝ ＋ .
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（2）b＝3，c＝3 ，B＝30°.
解： 由正弦定理，得 ＝ ，
即 ＝ ，解得 sin C＝ .
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC
为直角三角形，此时a＝ ＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，
∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
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11. 在△ABC中，若 sin C＝2 sin B cos B，且B∈（ ， ），则 的取
值范围为（　　）
C. （0，2）
解析： 　由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos B. 又 ＜B
＜ ，余弦函数在此范围内单调递减，故 ＜ cos B＜ ，∴ ∈
（ ， ）.
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12. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 在△ABC中，a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C
B. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B
C. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B；若A＞B，则 sin A＞ sin B
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解析： 　对于A，由 ＝ ＝ ＝2R，可得a∶b∶c
＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝ sin A∶ sin B∶ sin C，故A正
确；对于B，由 sin 2A＝ sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A
＝B或A＋B＝ ，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理
可得， sin A＞ sin B a＞b A＞B，故C正确；对于D，由
＝ ＝ ＝2R，可得 ＝ ＝2R＝ ，
故D正确.
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解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理 ＝ ，
得c＝ .若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞c
sin B，即 ＜b＜2.
（ ，
2）　
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14. （2023·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别
是a，b，c.已知a＝ ，b＝2，A＝120°.
（1）求 sin B的值；
解： 在△ABC中，由正弦定理，得 ＝ ，则 sin
B＝ ＝ ＝ .
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（2）求c的值；
解： 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc
cos A，即（ ）2＝22＋c2－2×2×c× cos 120°，
解得c＝－7或c＝5.
又∵c＞0，∴c＝5.
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（3）求 sin （B－C）的值.
解： 由（1）（2）知 sin B＝ ， cos B＝ ， sin
C＝ .
∵A为钝角，∴C为锐角，∴ cos C＝ .
∴ sin （B－C）＝ sin B cos C－ cos B sin C＝ × －
× ＝－ .
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15. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方
图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小
三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF＝2， sin ∠ACF＝
，试求边AC的长.
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解：在△ACF中，∠AFC＝180°－60°＝120°，设AF＝CE＝
t，则CF＝2＋t，
由正弦定理可知， ＝ ，即 ＝ ，则AC＝ t，
在△ACF中，AC2＝AF2＋CF2－2AF·CF cos ∠AFC，
即 t2＝t2＋（2＋t）2－2t（t＋2）×（－ ），又t＞0，则t＝
3，故AC＝ t＝7.
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