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第2课时　正弦定理的应用
1.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为（　　）
A.3 B.3
C.6 D.6
2.（2024·扬州月考）在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，A是锐角，则△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
3.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（　　）
A.5海里/时 B.5海里/时
C.10海里/时 D.10海里/时
4.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD＝（　　）
A.2 B.2或4
C.1或2 D.5
5.（多选）（2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（　　）
A.若A＜B，则sin A＜sin B
B.若sin A＜sin B，则A＜B
C.若A＞B，则＞
D.若A＜B，则cos2A＞cos2B
6.（多选）若a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知bsin A＝（3b－c）sin B，且cos A＝，则下列说法正确的是（　　）
A.a＋c＝3b
B.tan A＝2
C.△ABC的周长为4c
D.△ABC的面积为c2
7.如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于　　　　.
8.（2024·镇江月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔高度为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度约为　　　　km.（精确到0.1 km，参考数据：≈1.732）
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sin B－sin C）2＝sin2A－sin Bsin C，则角A的大小为　　　　.
10.在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D.求证：＝.
11.（2024·宿迁月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A.16π B.8π
C.2π D.4π
12.（多选）下列命题中，正确的是（　　）
A.在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B
B.在锐角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立
C.在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝　　　　，cos C＝　　　　.
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
（1）求B的大小；
（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
15.（2024·苏州月考）如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC＝2，求AB的长.
第2课时　正弦定理的应用
1.B　S＝absin C＝×4×3×＝3.故选B.
2.D　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C，故△ABC为等边三角形.
3.D　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时.故选D.
4.A　设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴×3×6×＝×3x×＋×6x×，解得x＝2.故选A.
5.ABD　由大角对大边知，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得2Rsin A＜2Rsin B，所以sin A＜sin B，故A正确；同理B正确；当A＝120°，B＝30°时，＜0，＞0，故C错误；若A＜B，则sin A＜sin B，sin2 A＜sin2 B，即1－cos2A＜1－cos2B，所以cos2A＞cos2B，故D正确.故选A、B、D.
6.ABD　对于A，由bsin A＝（3b－c）sin B角化边可得ba＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正确；对于B，因为cos A＝，所以sin A＝＝.所以tan A＝＝2，故B正确；对于C，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b，故C错误；对于D，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝b2＋c2－bc，将a＝3b－c代入上式可得b＝c，所以△ABC的面积为bcsin A＝c2，故D正确.故选A、B、D.
7.5　解析：连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 .
8.6.6　解析：因为AB＝1 000×＝（km），所以BC＝·sin 30°＝（km），航线离山顶的高度h＝×sin 75°＝×sin（45°＋30°）≈11.4（km），所以山顶的海拔高度约为18－11.4＝6.6（km）.
9.60°　解析：由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
10.证明：在△ABD中利用正弦定理得＝，
在△CBD中利用正弦定理得＝.
因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠CBD，
又因为∠ADB＋∠CDB＝180°，
所以sin∠ADB＝sin∠CDB，
所以＝，
即＝成立.
11.D　因为acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos A＝，化简得，sin（A＋B）＝，在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.故选D.
12.ABD　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以A＞B a＞b sin A＞sin B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选A、B、D.
13.4　－　解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则a＋b＝，且△ABC的周长为9，则c＋＝9，解得c＝4.又△ABC的面积等于3sin C，则absin C＝3sin C，整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，故解得或所以cos C＝＝－.
14.解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
（2）sin A＝sin（30°＋45°）＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b·＝2×＝.
15.解：（1）因为D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.
因为D∈（0，π），
所以sin D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
（2）在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AC＝2.
在△ABC中，因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝，
所以AB＝4.
2 / 2第2课时　正弦定理的应用
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小.
【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　仰角与俯角
　与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.
知识点二　三角形面积公式
1.S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B.
3.S△ABC＝r（a＋b＋c）＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.
1.（2024·南通如东期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝，则△ABC的面积为（　　）
A.3　 　B. C.　 　D.
2.已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一个内角是30°的直角三角形
3.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为　　　　m.
题型一 正弦定理在实际问题中的应用
【例1】　（链接教科书第99页例3）要测量河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为（参考数据：≈2.45，sin 75°≈0.97）（　　）
A.170 m B.98 m
C.95 m D.86 m
通性通法
　　在运用正弦定理解决实际问题时，通常根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.
【跟踪训练】
　一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20 n mile处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔S在货轮的北偏东45°方向上，求货轮的航行速度.
题型二 判断三角形形状
【例2】　（链接教科书第101页练习5题）在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin B·sin C，则△ABC的形状为　　　　三角形.
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的常用方法
（1）化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角（若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝），再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
（2）化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2等），进而确定三角形的形状.
【跟踪训练】
1.（2024·南京月考）在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为（　　）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
题型三 三角形面积公式及其应用
【例3】　（1）（多选）在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积可能为（　　）
A. B.2
C.2 D.4
（2）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则sin B∶sin C＝　　　　.
通性通法
　　对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半.求三角形面积时，一般已知哪个角就使用哪个公式.反之，给出了三角形的面积，也可求相应边或角.
【跟踪训练】
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝2，B＝，C＝，则c＝　　　　，△ABC的面积为　　　　.
2.（2024·常州月考）在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝　　　　.
题型四 求解平面几何问题
【例4】　（链接教科书第100页例5）如图，已知四边形ABCD为平行四边形.求证：AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
通性通法
　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
【跟踪训练】
（2024·淮安月考）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD.
（1）若sin∠BAC＝，求sin∠BCA；
（2）若AD＝3AC，求AC.
1.在△ABC中，若a＝bsin A，则△ABC一定是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，sin2A＝sin Bsin C，若A＝，则B＝（　　）
A. B.
C. D.
3.已知锐角△ABC的面积为3，AB＝2，BC＝6，则角B的大小为　　　　.
4.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为　　　　m.
第2课时　正弦定理的应用
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.B　由题意可得△ABC的面积为S＝absin C＝×2×3×＝.故选B.
2.C　已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝45°，C＝90°，则△ABC是等腰直角三角形.故选C.
3.4　解析：由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，＝，即AB＝＝＝4（m）.
【典型例题·精研析】
【例1】　C　在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝×120＝40（m）.设△ABC中AB边上的高为h，则h＝BC×sin∠CBA＝40×sin 75°≈95（m），即河宽约为95 m.故选C.
跟踪训练
解：设货轮的航行速度为v n mile/h，如图，在△MNS中，MS＝20 n mile，MN＝v，
∠NMS＝30°＋15°＝45°，∠MNS＝180°－30°－45°＝105°，从而∠MSN＝30°.
由正弦定理得＝，即＝，
所以v＝20（－）（n mile/h）.
【例2】　等边　解析：由正弦定理可知＝＝，由sin2A＝sin Bsin C，可得a2＝bc，又2a＝b＋c，将此式两边平方即4a2＝b2＋c2＋2bc＝b2＋c2＋2a2，即b2＋c2＝2a2＝2bc，因此b2＋c2－2bc＝（b－c）2＝0，即b＝c，又2a＝b＋c，可得a＝b＝c，故此三角形为等边三角形.
跟踪训练
1.C　在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B以及正弦定理可知，sin Acos C＋sin Ccos A＝sin2B，即sin（A＋C）＝sin B＝sin2B，∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴sin B＝1，B＝，∴三角形为直角三角形.故选C.
2.解：法一　根据正弦定理＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos（90°－B）＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.
∵0°＜B＜90°，
∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二　根据正弦定理＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角.
∵A＝180°－（B＋C），sin A＝2sin Bcos C，
∴sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，∴sin（B－C）＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
【例3】　（1）AC　（2）1∶4　解析：（1）由正弦定理，得sin C＝＝，又AB·sin B＜AC＜AB，故该三角形有两解，所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝.所以△ABC的面积为2或.故选A、C.
（2）因为S△ABC＝bcsin A，所以c＝＝＝4，由正弦定理＝，得sin B∶sin C＝b∶c＝1∶4.
跟踪训练
1.2　＋1　解析：由正弦定理得，c＝＝2.又sin A＝sin（π－B－C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝＋1.
2.2　解析：∵cos C＝，∴0°＜C＜90°，∴sin C＝＝，又S△ABC＝absin C＝×3b×＝4，∴b＝2.
【例4】　证明：在△BAD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC.
因为∠ABC＋∠BAD＝180°，
所以cos∠ABC＋cos∠BAD＝0，
所以BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，
即AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
跟踪训练
　解：（1）在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCA＝.
（2）设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝.
在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝＝.
又∠BAC＋∠CAD＝，
所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－（舍去），即AC＝3.
随堂检测
1.B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形.故选B.
2.C　因为sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝.故选C.
3.45°　解析：∵S＝BC·AB·sin B＝×6×2×sin B＝3，∴sin B＝，∵△ABC为锐角三角形.∴B＝45°.
4.5（＋1）　解析：法一　∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin 30°＝＝5（＋1）m.∴AB＝ACsin 45°＝5（＋1）m.∴A点离地面的高AB为5（＋1）m.
法二　设AB＝x（m），则BC＝x（m）.∴BD＝（10＋x）m.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5（＋1）.∴A点离地面的高AB为5（＋1）m.
3 / 3(共61张PPT)
第2课时　
正弦定理的应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且
已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小.
【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
知识点一　仰角与俯角
　与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标
视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，
如图所示.
知识点二　三角形面积公式
1. S△ABC＝ ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC
的面积S△ABC＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ca sin B.
3. S△ABC＝ r（a＋b＋c）＝ rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆
半径及△ABC的周长.
1. （2024·南通如东期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝ ，则△ABC的面积为
（　　）
解析： 　由题意可得△ABC的面积为S＝ ab sin C＝
×2×3× ＝ .故选B.
√
2. 已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝
＝ ，则△ABC是（　　）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 有一个内角是30°的直角三角形
√
解析： 　已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A，
cos B＝ sin B，故A＝B＝45°，C＝90°，则△ABC是等腰直角
三角形.故选C.

解析：由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝
120°，由正弦定理得， ＝ ，即AB＝ ＝ ＝
4 （m）.
4 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正弦定理在实际问题中的应用
【例1】　（链接教科书第99页例3）要测量河岸之间的距离（河的两
岸可视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办
法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测
得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为
（参考数据： ≈2.45， sin 75°≈0.97）（　　）
A. 170 m B. 98 m
C. 95 m D. 86 m
√
解析： 　在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝
75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝ ×120＝40
（m）.设△ABC中AB边上的高为h，则h＝BC× sin ∠CBA＝40
× sin 75°≈95（m），即河宽约为95 m.故选C.
通性通法
　　在运用正弦定理解决实际问题时，通常根据题意，从实际问题中
抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的
解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.
【跟踪训练】
　一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20 n mile
处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔S在
货轮的北偏东45°方向上，求货轮的航行速度.
解：设货轮的航行速度为v n mile/h，如图，在△MNS中，MS＝20 n
mile，MN＝ v，
∠NMS＝30°＋15°＝45°，∠MNS＝180°－30°－45°＝
105°，从而∠MSN＝30°.
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
所以v＝20（ － ）（n mile/h）.
题型二 判断三角形形状
【例2】　（链接教科书第101页练习5题）在△ABC中，已知2a＝b
＋c， sin 2A＝ sin B· sin C，则△ABC的形状为 三角形.
解析：由正弦定理可知 ＝ ＝ ，由 sin 2A＝ sin B sin C，
可得a2＝bc，又2a＝b＋c，将此式两边平方即4a2＝b2＋c2＋2bc＝
b2＋c2＋2a2，即b2＋c2＝2a2＝2bc，因此b2＋c2－2bc＝（b－c）2
＝0，即b＝c，又2a＝b＋c，可得a＝b＝c，故此三角形为等边三
角形.
等边　
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的常用方法
（1）化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角（若 sin
2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ ），再根据三角函数的有关
知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
（2）化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据
代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2等），进而
确定三角形的形状.
【跟踪训练】
1. （2024·南京月考）在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则
此三角形为（　　）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　在△ABC中，由a cos C＋c cos A＝b sin B以及正弦定理
可知， sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin 2B，即 sin （A＋C）＝ sin B
＝ sin 2B，∵0＜B＜π，∴ sin B≠0，∴ sin B＝1，B＝ ，∴三角
形为直角三角形.故选C.
√
2. 在△ABC中， sin A＝2 sin B cos C，且 sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，试
判断△ABC的形状.
解：法一　根据正弦定理 ＝ ＝ ，
∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2 sin B cos C＝2 sin B cos （90°－B）＝2 sin 2B＝ sin A＝1，
∴ sin B＝ .
∵0°＜B＜90°，
∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二　根据正弦定理 ＝ ＝ ，
∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角.
∵A＝180°－（B＋C）， sin A＝2 sin B cos C，
∴ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝2 sin B cos C，∴ sin （B
－C）＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
题型三 三角形面积公式及其应用
【例3】　（1）（多选）在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2 ，
AC＝2，则△ABC的面积可能为（　AC　）
B. 2
D. 4
AC
解析： 由正弦定理，得 sin C＝ ＝ ，又AB· sin B
＜AC＜AB，故该三角形有两解，所以C＝60°或120°.当C
＝60°时，A＝90°，S△ABC＝ AB·AC＝2 ；当C＝120°
时，A＝30°，S△ABC＝ AB·AC· sin A＝ .所以△ABC的面
积为2 或 .故选A、C.
（2）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ ，则 sin B∶ sin C
＝ .
解析： 因为S△ABC＝ bc sin A，所以c＝ ＝ ＝
4，由正弦定理 ＝ ，得 sin B∶ sin C＝b∶c＝1∶4.
1∶4　
通性通法
　　对于面积公式S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，总的概括为两
边与夹角正弦乘积的一半.求三角形面积时，一般已知哪个角就使用
哪个公式.反之，给出了三角形的面积，也可求相应边或角.
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝
2，B＝ ，C＝ ，则c＝ 　2 　，△ABC的面积为 　 ＋1　.
解析：由正弦定理得，c＝ ＝2 .又 sin A＝ sin （π－B－
C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝ ，所以△ABC的面积为S＝
bc sin A＝ ＋1.
2 　
＋1　
2. （2024·常州月考）在△ABC中，若a＝3 ， cos C＝ ，S△ABC
＝4 ，则b＝ 　2 　.
解析：∵ cos C＝ ，∴0°＜C＜90°，∴ sin C＝ ＝
，又S△ABC＝ ab sin C＝ ×3 b× ＝4 ，∴b＝2 .
2 　
题型四 求解平面几何问题
【例4】　（链接教科书第100页例5）如图，已知四边形ABCD为平
行四边形.求证：AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
证明：在△BAD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC.
因为∠ABC＋∠BAD＝180°，
所以 cos ∠ABC＋ cos ∠BAD＝0，
所以BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，
即AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
通性通法
　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何
图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定
理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边
创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
【跟踪训练】
　（2024·淮安月考）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝ ，
BC＝ ，AB⊥AD，AC⊥CD.
（1）若 sin ∠BAC＝ ，求 sin ∠BCA；
解： 在△ABC中，由正弦定理得
＝ ，即 ＝ ，解得 sin ∠BCA＝ .
（2）若AD＝3AC，求AC.
解： 设AC＝x，则AD＝3x，在
Rt△ACD中，CD＝ ＝2 x，
sin ∠CAD＝ ＝ .
在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC
＝ ＝ .
又∠BAC＋∠CAD＝ ，
所以 cos ∠BAC＝ sin ∠CAD，即 ＝ ，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－ （舍去），即AC＝3.
1. 在△ABC中，若a＝b sin A，则△ABC一定是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析： 　由题意有 ＝b＝ ，则 sin B＝1，即角B为直角，
故△ABC是直角三角形.故选B.
√
2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，则B＝（　　）
解析： 　因为 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可
知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，
得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝ .故选C.
√
3. 已知锐角△ABC的面积为3 ，AB＝2，BC＝6，则角B的大小
为 .
解析：∵S＝ BC·AB· sin B＝ ×6×2× sin B＝3 ，∴ sin B＝
，∵△ABC为锐角三角形.∴B＝45°.
45°　

5（ ＋1）　
解析：法一　∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝15°.由正弦定理，得
AC＝ · sin ∠ADC＝ · sin 30°＝ ＝5 （ ＋
1）m.∴AB＝AC sin 45°＝5（ ＋1）m.∴A点离地面的高AB
为5（ ＋1）m.
法二　设AB＝x（m），则BC＝x（m）.∴BD＝（10＋x）
m.∴tan∠ADB＝ ＝ ＝ .解得x＝5（ ＋1）.∴A点离地面的高AB为5（ ＋1）m.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b
＝3，C＝60°，则△ABC的面积为（　　）
A. 3
C. 6
解析： 　S＝ ab sin C＝ ×4×3× ＝3 .故选B.
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2. （2024·扬州月考）在△ABC中，已知3b＝2 a sin B，且 cos B＝
cos C，A是锐角，则△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
解析： 由3b＝2 a sin B，得 ＝ ，根据正弦定理，得
＝ ，所以 ＝ ，即 sin A＝ .又A是锐角，所以A＝
60°.又 cos B＝ cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C，
故△ABC为等边三角形.
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3. 一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰
好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏
西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速
度是（　　）
B. 5海里/时
D. 10海里/时
解析： 　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时.故选D.
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4. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，
AB＝6，则AD＝（　　）
A. 2 B. 2或4
C. 1或2 D. 5
解析： 　设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB
＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋
S△ABD，∴ ×3×6× ＝ ×3x× ＋ ×6x× ，解得x＝2.故选A.
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5. （多选）（2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，给出下列4个命
题，其中正确的命题是（　　）
A. 若A＜B，则 sin A＜ sin B
B. 若 sin A＜ sin B，则A＜B
D. 若A＜B，则 cos 2A＞ cos 2B
√
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解析： 　由大角对大边知，若A＜B，则a＜b，由正弦定理
得2R sin A＜2R sin B，所以 sin A＜ sin B，故A正确；同理B正确；
当A＝120°，B＝30°时， ＜0， ＞0，故C错误；若A
＜B，则 sin A＜ sin B， sin 2 A＜ sin 2 B，即1－ cos 2A＜1－ cos
2B，所以 cos 2A＞ cos 2B，故D正确.故选A、B、D.
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6. （多选）若a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知b
sin A＝（3b－c） sin B，且 cos A＝ ，则下列说法正确的是
（　　）
A. a＋c＝3b
C. △ABC的周长为4c
√
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解析： 　对于A，由b sin A＝（3b－c） sin B角化边可得ba
＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正确；对于B，因为 cos A
＝ ，所以 sin A＝ ＝ .所以tan A＝ ＝2 ，故B
正确；对于C，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b，故C错误；对于
D，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2＋c2－ bc，
将a＝3b－c代入上式可得b＝ c，所以△ABC的面积为 bc sin A
＝ c2，故D正确.故选A、B、D.
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7. 如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，
AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面
积等于 .
5 　
解析：连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝
＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定
理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2
cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝ ×4×2 ＋ ×2×2× sin 120°＝5 .
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8. （2024·镇江月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，
若飞机的海拔高度为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山
顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶
的海拔高度约为 km.（精确到0.1 km，参考数据：
≈1.732）
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解析：因为AB＝1 000× ＝ （km），所以BC＝ · sin
30°＝ （km），航线离山顶的高度h＝ × sin 75°＝ ×
sin （45°＋30°）≈11.4（km），所以山顶的海拔高度约为18－
11.4＝6.6（km）.
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9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（ sin B－ sin
C）2＝ sin 2A－ sin B sin C，则角A的大小为 .
解析：由已知得 sin 2B＋ sin 2C－ sin 2A＝ sin B sin C，故由正弦定
理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得 cos A＝ ＝ .因为0°
＜A＜180°，所以A＝60°.
60°　
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证明：在△ABD中利用正弦定理得 ＝ ，
在△CBD中利用正弦定理得 ＝ .
因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠CBD，
又因为∠ADB＋∠CDB＝180°，
所以 sin ∠ADB＝ sin ∠CDB，
所以 ＝ ，
即 ＝ 成立.
10. 在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D. 求证： ＝ .
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11. （2024·宿迁月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，若a cos B＋b cos A＝4 sin C，则△ABC外接圆的面积
为（　　）
A. 16π B. 8π
解析： 　因为a cos B＋b cos A＝4 sin C，所以由正弦定理可得，
sin A cos B＋ sin B cos A＝ ，化简得， sin （A＋B）＝ ，
在△ABC中， sin （A＋B）＝ sin C，解得R＝2，所以△ABC外
接圆的面积为S＝πR2＝4π.故选D.
C. 2π D. 4π
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12. （多选）下列命题中，正确的是（　　）
A. 在△ABC中，若A＞B，则 sin A＞ sin B
B. 在锐角△ABC中，不等式 sin A＞ cos B恒成立
C. 在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
√
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解析： 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得 ＝
，所以A＞B a＞b sin A＞ sin B，故A正确；对于B，在
锐角△ABC中，A，B∈ ，且A＋B＞ ，则 ＞A＞ －
B＞0，所以 sin A＞ sin ＝ cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得 sin 2A＝ sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝ －B，即
△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选A、B、D.
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13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin A
＋ sin B＝ sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3 sin
C，则c＝ ， cos C＝ .
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解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
sin A＋ sin B＝ sin C，则a＋b＝ ，且△ABC的周长为9，则c
＋ ＝9，解得c＝4.又△ABC的面积等于3 sin C，则 ab sin C＝
3 sin C，
整理得ab＝6，由于a＋b＝ ＝5，故解得
或所以 cos C＝ ＝－ .
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14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C
－ a sin C＝b sin B.
（1）求B的大小；
解： 由正弦定理，得a2＋c2－ ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
故 cos B＝ ，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
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（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解： sin A＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋
cos 30° sin 45°＝ .
故由正弦定理，得a＝b· ＝1＋ .
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b· ＝2× ＝ .
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15. （2024·苏州月考）如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且
AD＝1，CD＝3， cos B＝ .
（1）求△ACD的面积；
解： 因为D＝2B， cos B＝ ，
所以 cos D＝ cos 2B＝2 cos 2B－1＝－ .
因为D∈（0，π），
所以 sin D＝ ＝ .因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积S＝ AD·CD· sin D＝ ×1×3× ＝ .
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（2）若BC＝2 ，求AB的长.
解： 在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC· cos D＝12，
所以AC＝2 .
在△ABC中，因为BC＝2 ， ＝ ，
所以 ＝ ＝ ＝ ，
所以AB＝4.
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