资源简介 11.3 余弦定理、正弦定理的应用1.已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距（ ）A.10 km B.10 kmC.10 km D.10 km2.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为（ ）A. n mile/h B.34 n mile/hC. n mile/h D.34 n mile/h3.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据：≈1.732）（ ）A.49米 B.51米 C.54米 D.57米4.（2024·南京月考）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的视角为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得建筑物CD的视角为45°，若CD＝50米，山坡对于水平面的坡角为θ，则cos θ＝（ ）A. B.2－C.－1 D.5.（多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离的方案为（ ）A.测量A，B，b B.测量a，b，CC.测量A，B，a D.测量A，B，C6.（多选）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（ ）A.A处与D处之间的距离是24 n mileB.灯塔C与D处之间的距离是16 n mileC.灯塔C在D处的西偏南60°D.D在灯塔B的北偏西30°7.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m.8.（2024·苏州质检）如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m，AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处 m的点.9.一缉私艇在A处发现在其北偏东45°方向，距离12 n mile的海面C处有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h.若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东（45°＋α）的方向去追，求追上走私船所需的时间和角α的正弦值.10.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝（ ）A.a m B. mC.a m D.a m11.（多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos∠AOB＝－，则（ ）A.此山的高PO＝ kmB.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°C.PA＝2 kmD.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为12.（2024·无锡月考）如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D两点，已知∠ADC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，CD＝4，则BC的长为 .13.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin A＝ .14.如图，A，B两地之间有建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现，北面有大山，而南面在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试设计A，B之间距离的测量、计算方案.11.3 余弦定理、正弦定理的应用1.D ∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700，∴AC＝10 km.故选D.2.A 如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝ （n mile/h）.故选A.3.D 设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝＝＝，可得h＝≈57米.故选D.4.C 在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50（－）（米）.在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.故选C.5.ABC 对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c.6.AC 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝＝＝8（n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，所以D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C.7. 解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m.8.5 解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，所以在△ABD中，cos A＝＝，整理可得15x2＋52x－164＝（15x＋82）（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－（舍去）.故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点.9.解：设经过x h后缉私艇在B处追上走私船，如图.依题意得AB＝14x n mile，BC＝10x n mile，∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－2×12×10x·cos 120°，解得x＝2，∴AB＝28 n mile，BC＝20 n mile.由正弦定理得sin α＝＝.∴所需时间为2 h，角α的正弦值为.10.A 由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a（m），故选A.11.BCD 由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝x km，OB＝x km.因为AB＝7.5××20＝（km），所以cos∠AOB＝＝＝－，解得x＝1，从而PA＝2 km.易知sin∠AOB＝，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为＝.又AO＞BO，所以最小仰角为30°.故选B、C、D.12.4 解析：在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB＝＝＝，∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝，在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝24＋48－4×4×＝48，∴BC＝4（负值舍去）.13. 解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以＝，解得AC＝1 260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos A＝＝＝，所以sin A＝＝＝.14.解：此题答案不唯一，下面举出三种方案.（方案一）在以P，Q，R为顶点的三角形区域内选一点C（可同时看见A，B两地），测出BC，AC的长及∠ACB.由余弦定理，得AB＝.（方案二）解四边形ABNM.如图①，测出AM，MN，NB的长，∠AMN，∠MNB的度数.在△AMN中，由余弦定理，得AN＝，sin∠ANM＝，在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM.由余弦定理，得AB＝.（方案三）在线段AB上选一点C，布设三角形网，如图②，使建筑物R的底部在△MCN的内部，不影响视线.在△AMC中，测出AM，CM的长及∠AMC，则AC＝.在△BNC中，测出BN，CN的长及∠BNC，则BC＝.于是AB＝AC＋BC.3 / 311.3 余弦定理、正弦定理的应用新课程标准解读 核心素养1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和物理有关的实际问题 逻辑推理、数学运算2.通过解决实际问题，掌握数学建模的基本步骤 数学建模在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.【问题】 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 知识点 实际应用问题中的有关名词、术语1.方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线的角，如图中B点的方位角为α.2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°.3.坡角与坡比：坡面与水平面所成的二面角的度数叫作坡角，如图所示，坡角为θ；坡面的垂直高度与水平长度之比叫作坡比，i为坡比.提醒 应用正、余弦定理解决实际问题的思路1.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（ ）A.东偏北45°10'方向上B.东偏北44°50'方向上C.南偏西44°50'方向上D.西偏南44°50'方向上2.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为（ ）A.2 km B.3 kmC.4 km D.5 km3.（2024·苏州月考）如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（－1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为 米.题型一 测量距离问题【例1】 （链接教科书第104页例1）（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m；（2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是 .通性通法测量距离的基本类型及方案类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达图形方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB【跟踪训练】在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为a的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离.题型二 测量高度问题【例2】 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.通性通法测量高度的基本类型及方案类型 简图 计算方法底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值【跟踪训练】（2024·南通月考）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2024年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（sin 70°≈0.94）（ ）A.10米 B.9.72米C.9.40米 D.8.62米题型三 测量角度问题【例3】 （链接教科书第105页例2）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（－1） n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？通性通法测量角度问题画示意图的基本步骤【跟踪训练】某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（＋1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时.求台风移动的方向.题型四 物理问题【例4】 （链接教科书第105页例3）如图，某大桥主孔采用独塔双索面斜拉悬臂组合结构体系，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）通性通法 物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形.解决此类问题的办法是结合物理知识把涉及的量用图形表示出来，转化为解三角形的问题.【跟踪训练】如图所示，某同学沿平直路面由A点出发前进了100 m到达斜坡底端的B点，又沿倾斜角为60°的斜面前进了100 m达到C点，求此同学的位移和路程.1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（ ）A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上2.（2024·淮安月考）作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知｜F1｜＝30 N，｜F2｜＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为（ ）A. B.－ C. D.－3.（多选）甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（ ）A.甲楼的高度为20 mB.甲楼的高度为10 mC.乙楼的高度为 mD.乙楼的高度为10 m4.已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距（ 3－）km，求A，B两景点间的距离.11.3 余弦定理、正弦定理的应用【基础知识·重落实】自我诊断1.C 如图所示.2.A 作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2（km）.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，即AB＝2（km）.所以A，B之间的距离为2 km.故选A.3.20 解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（－1），∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20米.【典型例题·精研析】【例1】 （1）60 （2）20 m 解析：（1）tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60，故CD＝60（m）.（2）在△BCD中，∵∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝＋（40）2－2×20×40cos 60°＝2 400，∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m.跟踪训练 解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∵＝，∴BC＝a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2.∴AB＝a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.【例2】 解：在△BCD中，∠CBD＝π－（α＋β），由正弦定理得＝，∴BC＝＝，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.跟踪训练 C 根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.40（米）.【例3】 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile.∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝（－1）2＋22－2（－1）×2cos 120°＝6，∴BC＝，∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∵＝，∴sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°.故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.跟踪训练 解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20（＋1），DC＝20，BC＝（＋1）×10.在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝.所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，D位于A的正北方向，∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.【例4】 解：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形OACB，其对角线的长度就表示它们的合力的大小.由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下，且这个平行四边形是一个菱形.法一 如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB⊥OC，且AD＝DB，OD＝OC.在Rt△AOD中，∠AOD＝53°，而OD＝OC，则合力｜F｜＝2｜F1｜cos 53°＝2×5×104×0.6＝6×104（N）.即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下.法二 在△OAC中，cos∠OAC＝cos（180°－2×53°）＝－（2cos253°－1）＝1－2×0.62＝0.28，由余弦定理，得OC＝＝×104＝6×104（N）.即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下.跟踪训练 解：如图所示，画出该同学的位移矢量图，为该同学的位移，方向由A→C.法一 过点C作CD⊥AB，垂足为D，则BD＝BCcos 60°＝100×＝50（m），CD＝BCsin 60°＝100×＝50（m）.∴AC＝＝＝100（m），路程s＝AB＋BC＝200（m）.∴如图为该同学的位移，大小为100 m，方向由A→C，路程为200 m.法二 在△ABC中，AB＝BC＝100 m，∠ABC＝120°.由余弦定理，得AC＝＝＝100（m）.路程s＝AB＋BC＝200（m）.∴如图为该同学的位移，大小为100 m，方向由A→C，路程为200 m.随堂检测1.D 由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D.2.C 由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡.设F3与F1之间的夹角为θ，作图（如图），可知当三力平衡时，由余弦定理得｜F3｜＝＝70（N），再由正弦定理得＝，即sin θ＝＝.故选C.3.AC 如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝20 m，∴AD＝BDtan 60°＝20，∴甲楼的高度为20 m.在△ABC中，设AC＝BC＝x，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝ ，则乙楼的高度为 m.故选A、C.4.解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得＝，即BD＝＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2.所以A，B两景点间的距离为2 km.5 / 5(共73张PPT)11.3 余弦定理、正弦定理的应用新课程标准解读 核心素养1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和物理有关的实际问题 逻辑推理、数学运算2.通过解决实际问题，掌握数学建模的基本步骤 数学建模目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.【问题】 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？知识点 实际应用问题中的有关名词、术语1. 方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线的角，如图中B点的方位角为α.2. 方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°.3. 坡角与坡比：坡面与水平面所成的二面角的度数叫作坡角，如图所示，坡角为θ；坡面的垂直高度与水平长度之比叫作坡比，i为坡比.提醒 应用正、余弦定理解决实际问题的思路1. 若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（ ）A. 东偏北45°10'方向上 B. 东偏北44°50'方向上C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上解析： 如图所示.√2. 两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为（ ）解析： 作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2（km）.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2 cos120°＝12，即AB＝2 （km）.所以A，B之间的距离为2 km.故选A.√3. （2024·苏州月考）如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（ －1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为 米.20 解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，所以 ＝tan 30°， ＝ ，解得x＝20.则塔高为20米.典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 测量距离问题【例1】 （链接教科书第104页例1）（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是 m；60 解析： tan 30°＝ ，tan 75°＝ ，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60 ，故CD＝60（m）. 20 m 解析： 在△BCD中，∵∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40 .在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝ ＝20 .在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos ∠BCA＝ ＋（40 ）2－2×20×40 cos 60°＝2 400，∴AB＝20 ，故A，B两点之间的距离为20 m.通性通法测量距离的基本类型及方案类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达图形方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB【跟踪训练】 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为a的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离.解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝ a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∵ ＝ ，∴BC＝ a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 45°＝a2＋ a2－2× a× a× ＝ a2.∴AB＝ a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为 a.题型二 测量高度问题【例2】 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D. 现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解：在△BCD中，∠CBD＝π－（α＋β），由正弦定理得 ＝ ，∴BC＝ ＝ ，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝ .通性通法测量高度的基本类型及方案类型 简图 计算方法底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值【跟踪训练】（2024·南通月考）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2024年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（ sin 70°≈0.94）（ ）A. 10米 B. 9.72米C. 9.40米 D. 8.62米√解析： 根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10 sin70°≈9.40（米）.题型三 测量角度问题【例3】 （链接教科书第105页例2）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（ －1） n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10 t n mile，BD＝10t n mile.∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠CAB＝（ －1）2＋22－2（－1）×2 cos 120°＝6，∴BC＝ ，∵ ＝ ，∴ sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∵ ＝ ，∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ ，∴∠BCD＝30°.故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.通性通法测量角度问题画示意图的基本步骤【跟踪训练】某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（ ＋1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且 ＋1小时后开始持续影响基地2小时.求台风移动的方向.解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20（ ＋1），DC＝20 ，BC＝（＋1）×10 .在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos ∠BAC＝ ＝ .所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，D位于A的正北方向，∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.题型四 物理问题【例4】 （链接教科书第105页例3）如图，某大桥主孔采用独塔双索面斜拉悬臂组合结构体系，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？（ sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6）解：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形OACB，其对角线的长度就表示它们的合力的大小.由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下，且这个平行四边形是一个菱形.法一 如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB⊥OC，且AD＝DB，OD＝ OC.在Rt△AOD中，∠AOD＝53°，而OD＝ OC，则合力｜F｜＝2｜F1｜ cos 53°＝2×5×104×0.6＝6×104（N）.即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下.法二 在△OAC中， cos ∠OAC＝ cos （180°－2×53°）＝－（2cos 253°－1）＝1－2×0.62＝0.28，由余弦定理，得OC＝＝ ×104＝6×104（N）.即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下.通性通法 物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形.解决此类问题的办法是结合物理知识把涉及的量用图形表示出来，转化为解三角形的问题.【跟踪训练】如图所示，某同学沿平直路面由A点出发前进了100 m到达斜坡底端的B点，又沿倾斜角为60°的斜面前进了100 m达到C点，求此同学的位移和路程.解：如图所示，画出该同学的位移矢量图， 为该同学的位移，方向由A→C.法一 过点C作CD⊥AB，垂足为D，则BD＝BC cos 60°＝100× ＝50（m），CD＝BC sin 60°＝100× ＝50 （m）.∴AC＝ ＝ ＝100 （m），路程s＝AB＋BC＝200（m）.∴如图 为该同学的位移，大小为100 m，方向由A→C，路程为200 m.法二 在△ABC中，AB＝BC＝100 m，∠ABC＝120°.由余弦定理，得AC＝ ＝＝100 （m）.路程s＝AB＋BC＝200（m）.∴如图 为该同学的位移，大小为100 m，方向由A→C，路程为200 m.1. 如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（ ）A. 北偏东10°方向上B. 北偏西10°方向上C. 南偏东80°方向上D. 南偏西80°方向上√解析： 由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D.2. （2024·淮安月考）作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知｜F1｜＝30 N，｜F2｜＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为（ ）√解析： 由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡.设F3与F1之间的夹角为θ，作图（如图），可知当三力平衡时，由余弦定理得｜F3｜＝＝70（N），再由正弦定理得 ＝ ，即 sin θ＝ ＝ .故选C.3. （多选）甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（ ）√√解析： 如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝20 m，∴AD＝BDtan 60°＝20 ，∴甲楼的高度为20 m.在△ABC中，设AC＝BC＝x，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos ∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝ ，则乙楼的高度为 m.故选A、C.4. 已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距km，求A，B两景点间的距离.解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得 ＝ ，即BD＝ ＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2.所以A，B两景点间的距离为2 km.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距（ ）A. 10 km解析： ∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝102＋202－2×10×20× ＝700，∴AC＝10 km.故选D.1234567891011121314√2. 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为（ ）解析： 如图所示，在△PMN中，＝ ，∴MN＝ ＝34 ，∴v＝ ＝ （n mile/h）.故选A.√12345678910111213143. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据： ≈1.732）（ ）A. 49米 B. 51米C. 54米 D. 57米√1234567891011121314解析： 设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝ ＝ ＝ ，可得h＝ ≈57米.故选D.12345678910111213144. （2024·南京月考）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的视角为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得建筑物CD的视角为45°，若CD＝50米，山坡对于水平面的坡角为θ，则 cos θ＝（ ）√1234567891011121314解析： 在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝ ＝＝50（ － ）（米）.在△BCD中， sin ∠BDC＝ ＝ ＝－1.由题图，知 cos θ＝ sin ∠ADE＝ sin ∠BDC＝ －1.故选C.12345678910111213145. （多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离的方案为（ ）A. 测量A，B，b B. 测量a，b，CC. 测量A，B，a D. 测量A，B，C√√√1234567891011121314解析： 对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理 ＝ 解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理 ＝ 解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c.12345678910111213146. （多选）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（ ）A. A处与D处之间的距离是24 n mileB. 灯塔C与D处之间的距离是16 n mileC. 灯塔C在D处的西偏南60°D. D在灯塔B的北偏西30°√√1234567891011121314解析： 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12 ，AC＝8 ，在△ABD中，由正弦定理得 ＝ ，所以AD＝ ＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ＝ ＝8 （n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，所以D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C.1234567891011121314 解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m. 12345678910111213148. （2024·苏州质检）如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的 向A做匀速直线运动，已知 cos ∠BAC＝ ，AB＝3 m，AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处 m的点.5 1234567891011121314解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，所以在△ABD中， cos A＝ ＝ ，整理可得15x2＋52x－164＝（15x＋82）（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－ （舍去）.故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点.12345678910111213149. 一缉私艇在A处发现在其北偏东45°方向，距离12 n mile的海面C处有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h.若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东（45°＋α）的方向去追，求追上走私船所需的时间和角α的正弦值.解：设经过x h后缉私艇在B处追上走私船，如图.依题意得AB＝14x n mile，BC＝10x nmile，∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－2×12×10x· cos 120°，1234567891011121314解得x＝2 ，∴AB＝28 n mile，BC＝20 n mile.由正弦定理得 sin α＝ ＝ .∴所需时间为2 h，角α的正弦值为 .123456789101112131410. 如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝（ ）D. a m√1234567891011121314解析： 由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴ ＝ ，∴PB＝ a m，∴h＝PC＋CQ＝a× sin 60°＋a sin 15°＝ a（m），故选A.123456789101112131411. （多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos ∠AOB＝－ ，则（ ）B. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°C. PA＝2 km√√√1234567891011121314解析： 由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝ x km，OB＝x km.因为AB＝7.5× ×20＝ （km），所以 cos ∠AOB＝＝ ＝－ ，解得x＝1，从而PA＝2 km.易知sin ∠AOB＝ ，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝km，则最大仰角的正切值为 ＝ .又AO＞BO，所以最小仰角为30°.故选B、C、D.123456789101112131412. （2024·无锡月考）如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D两点，已知∠ADC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2 ，CD＝4 ，则BC的长为 4 .4 1234567891011121314解析：在△ABD中，由正弦定理得 sin ∠ADB＝ ＝＝ ，∵∠ADC＝90°，∴ cos ∠BDC＝ ，在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD· cos ∠BDC＝24＋48－4 ×4 × ＝48，∴BC＝4 （负值舍去）.123456789101112131413. 游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则 sin A＝ . 1234567891011121314解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为 x m/s，因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以 ＝ ，解得AC＝1260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推论得， cos A＝＝ ＝ ，所以 sin A＝＝ ＝ .123456789101112131414. 如图，A，B两地之间有建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现，北面有大山，而南面在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试设计A，B之间距离的测量、计算方案.1234567891011121314解：此题答案不唯一，下面举出三种方案.（方案一）在以P，Q，R为顶点的三角形区域内选一点C（可同时看见A，B两地），测出BC，AC的长及∠ACB.由余弦定理，得AB＝ .1234567891011121314（方案二）解四边形ABNM. 如图①，测出AM，MN，NB的长，∠AMN，∠MNB的度数.在△AMN中，由余弦定理，得AN＝，sin ∠ANM＝ ，在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM. 由余弦定理，得AB＝ .（方案三）在线段AB上选一点C，1234567891011121314布设三角形网，如图②，使建筑物R的底部在△MCN的内部，不影响视线.在△AMC中，测出AM，CM的长及∠AMC，则AC＝ .在△BNC中，测出BN，CN的长及∠BNC，则BC＝ .于是AB＝AC＋BC.1234567891011121314谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 11.3 余弦定理、正弦定理的应用.docx 11.3 余弦定理、正弦定理的应用.pptx 11.3 余弦定理、正弦定理的应用（练习，含解析）.docx
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