资源简介 三角形中的最值（范围）问题题型一 与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题【例1】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.（1）求A的大小；（2）若a＝6，求b＋c的取值范围.【母题探究】 （变条件，变设问）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围.通性通法 解决与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题的方法（1）化边为角：利用三角函数的单调性与有界性求最值（范围）；（2）化角为边：利用基本不等式或二次函数性质求最值（范围）.【跟踪训练】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B.（1）求cos B的值；（2）若a＋c＝2，求b的取值范围.题型二 与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题【例2】 若△ABC的内角A，B，C满足：sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是 .通性通法 解决与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题的方法 求角或角的三角函数有关的最值（范围）一般是用边表示角（三角函数式），利用基本不等式求最值（范围）.【跟踪训练】 （2024·徐州月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，则A的取值范围是 .题型三 与三角形的面积有关的最值（范围）问题【例3】 （2024·南通质检）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝.若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是（ ）A. B. C.3 D.通性通法 求解与平面图形有关的面积最值（范围）问题可以先转化为三角形的面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性求解.【跟踪训练】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝.（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值.1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B＝60°，b＝2.若这个三角形有两解，则a的取值范围是（ ）A.（2，） B.（2，］C.（2，＋∞） D.（－∞，2）2.（2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则cos C的最小值等于（ ）A. B.C. D.－3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，则△ABC面积的最大值为 .培优课 三角形中的最值（范围）问题【典型例题·精研析】【例1】 解：（1）由＝及已知，得cos A＝sin A，∴tan A＝，又A∈（0，π），∴A＝.（2）由a＝6及（1）知＝＝＝4，∴b＝4sin B，c＝4sin C.∵A＝，∴B＋C＝π，∴C＝π－B，∴b＋c＝4sin B＋4sin＝4［sin B＋sin（π－B）］＝12sin.∵0＜B＜π，∴＜B＋＜π.∴＜sin≤1（当且仅当B＝时，等号成立），∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范围为（6，12].母题探究 解：由正弦定理得＝＝＝2，∴a＝2sin A，b＝2sin B，则△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝2（sin A＋sin B）＋＝2［sin A＋sin（－A）］＋＝2＋＝2（sin A＋cos A）＋＝2sin＋.∵0＜A＜，∴＜A＋＜，∴＜sin（A＋）≤1，∴2＜2sin＋≤2＋，∴△ABC周长的取值范围是（2，2＋].跟踪训练 解：（1）因为cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B，所以－cos（A＋B）＋cos Acos B＝2sin Acos B，即sin Asin B＝2sin Acos B，因为sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0，又因为sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝.（2）由a＋c＝2，可得c＝2－a，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝a2＋（2－a）2－a（2－a）＝（a－1）2＋，因为0＜a＜2，所以≤b2＜4，所以≤b＜2，所以b的取值范围为.【例2】 解析：由sin A＋sin B＝2sin C，得a＋b＝2c，∴c＝，∴cos C＝＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝即a＝b时等号成立.∴cos C的最小值为.跟踪训练 （0，］ 解析：由正弦定理知＋＝＝＝，∵sin A＝sin[π－（B＋C）]＝sin（B＋C），∴sin2A＝sin Csin B，即a2＝bc，又由余弦定理知cos A＝≥＝，当且仅当b＝c时等号成立，∵A∈（0，π），∴cos A∈，则A∈（0，］.【例3】 A 如图，在△ABC中，∵b＝c，＝，∴sin Bcos A＋cosB·sin A＝sin A，即sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C＝sin A，∴A＝C，又b＝c，故△ABC为等边三角形.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝·OA·OB·sin θ＋·AB2·sin＝×2×1×sin θ＋（OA2＋OB2－2OA·OB·cos θ）＝sin θ－cos θ＋＝2sin＋.∵0＜θ＜π，∴－＜θ－＜，故当θ－＝，即θ＝时，sin（θ－）取得最大值1，故S四边形OACB的最大值为2＋＝.故选A.跟踪训练 解：（1）由＝，结合正弦定理＝，得＝＝，所以tan A＝，又因为A∈（0，π），所以A＝.（2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.即bc≤4（当且仅当b＝c＝2时，等号成立），所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为.随堂检测1.A 由题意得asin B＜b＜a，即asin 60°＜2＜a，解得2＜a＜，故选A.2.C 由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以cos C＝＝，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥，故cos C的最小值等于.故选C.3.4 解析：由a2＋b2＝c2＋ab及余弦定理，得cos C＝＝＝，∴sin C＝.由△ABC的外接圆半径为，得c＝2Rsin C＝4，∴a2＋b2＝16＋ab≥2ab，∴ab≤12，当且仅当a＝b时等号成立.∴S△ABC＝absin C≤×12×＝4.即△ABC面积的最大值为4.2 / 2培优课 三角形中的最值（范围）问题1.在△ABC中，BC＝3，AC＝5，＜B＜π，则边AB的取值范围是（ ）A.（2，8） B.（1，4）C.（4，＋∞） D.（2，4）2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的最大值为（ ）A. B.C. D.13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccos A＋acos C＝2，AC边上的高为，则角B的最大值为 （ ）A. B.C. D.4.在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.若BC＝3，求△ABC周长的最大值为（ ）A.2 B.3C.3＋2 D.3＋35.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是（ ）A.3 B.4C.5 D.66.（多选）（2024·江阴长泾中学期中）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝2S，下列选项正确的是（ ）A.A＝B.若b＝3，则△ABC只有一解C.若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是（2，4）D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2＋7.（2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝ ，角C的最大值为 .8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B，若c＝2，则a2＋b2的取值范围是 .9.（2024·无锡市北高中期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4cos A＝sin B＋sin C.若△ABC的面积S＝，则边a的最小值为 .10.如图所示，有两条经过村庄A且夹角为60°的公路，根据规划，拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？11.已知a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b.（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝且b＝，求a＋c的取值范围.12.（2024·盐城响水中学期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos＝asin B.（1）求角A的大小；（2）D是边BC上一点，且BD＝2DC，AD＝2，求△ABC面积的最大值.培优课 三角形中的最值（范围）问题1.D 令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D.2.D ∵C＝，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3，]，∴由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈［，1］，故sin A的最大值为1.3.B 由ccos A＋acos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为，所以×2×＝acsin B，即ac＝，又cos B＝≥＝1－，当且仅当a＝c时取等号，所以cos B≥1－sin B，即sin B＋3cos B≥3，即sin≥.因为B∈（0，π），所以B＋∈，则B＋∈（，］，所以B∈（0，］，故角B的最大值为.故选B.4.C 由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB ①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A ②.由①②得cos A＝－.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin（π－A－B）＝3cos B－sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.故选C.5.B 设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ ①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ ②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2 ③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2 ④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故选B.6.CD 对于A，根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由·＝2S bccos A＝2×bcsin A tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝，故A错误；对于B，b＝3＞a＝2＞bsin A＝，故△ABC有两解，故B错误；对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈（0，），且A＋B＝π－C＞ ＋B＞ B∈（，），即sin B∈（，1），由正弦定理可知：b＝＝4sin B∈（2，4），故C正确；对于D，若D为BC边上的中点，则＝（＋） ＝（＋2·＋）＝（b2＋c2＋bc），由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝4 b2＋c2＝bc＋4，根据基本不等式有b2＋c2＝bc＋4≥2bc bc≤，当且仅当b＝c＝时取得等号，所以（b2＋c2＋bc）＝（4＋2bc）≤1＋×＝7＋4，即AD≤＝2＋，故D正确.故选C、D.7.2 解析：∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，∴cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值为.8.（4，16＋8] 解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝tan Atan B，且tan Atan B≠0，得tan C＝，∵0＜C＜π，∴C＝.∵c2＝a2＋b2－2abcos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥a2＋b2－，∴a2＋b2≤16＋8，当且仅当a＝b时取等号.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范围是（4，16＋8]. 9.2 解析：由正弦定理＝＝可得，bsin C＝csin B，asin B＝bsin A.由已知可得，4bc·cos A＝acsin B＋absin C＝2acsin B＝2bcsin A，所以sin A＝2cos A.又0＜A＜π，所以0＜A＜，所以cos A＞0，因为sin2A＋cos2A＝25cos2A＝1，所以cos A＝，sin A＝.因为△ABC的面积S＝bcsin A＝bc＝，所以bc＝.由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2××≥2bc－1＝4，当且仅当b＝c＝时，等号成立.所以a2≥4，a的最小值为2.10.解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝，又MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ），在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ），AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2（120°－θ）＋4－2×sin（120°－θ）×2×cos（60°＋θ）＝sin2θ＋sin θcos θ＋4＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin（2θ－30°）＋.因为0°＜θ＜120°，则－30°＜2θ－30°＜210°，当且仅当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以∠AMN＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小.11.解：（1）因为a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），所以f（x）＝a·b＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－，由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.（2）由f（B）＝，得sin（2B－）＝1，又2B－∈（－，），即2B－＝.所以B＝，又b＝，由正弦定理＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C，即a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin A＋2sin（－A）＝2cos（A－），又0＜A＜，所以－＜A－＜，所以2cos（A－）∈（，2].即a＋c的取值范围为（，2].12.解：（1）因为bcos＝asin B，由正弦定理可得sin Bcos＝sin Asin B，又sin B≠0，所以cos＝sin A，因为A＋B＋C＝π，所以cos＝cos＝sin，则sin＝sin A＝2sincos，又sin≠0，所以cos＝，因为∈（0，），所以＝ A＝.（2）根据题意可得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以＝（＋）2＝＋·＋，即36＝c2＋4bc（－）＋4b2≥2－2bc＝2bc，所以bc≤18，当且仅当b＝3，c＝6时等号成立，所以S△ABC＝bcsin≤×18×＝，故△ABC面积的最大值为.2 / 2(共48张PPT)培优课 三角形中的最值（范围）问题目录典型例题·精研析01知能演练·扣课标02典型例题·精研析01课堂互动 关键能力提升题型一 与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题【例1】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝ .（1）求A的大小；解： 由 ＝ 及已知，得 cos A＝ sin A，∴tan A＝ ，又A∈（0，π），∴A＝ .（2）若a＝6，求b＋c的取值范围.解： 由a＝6及（1）知 ＝ ＝ ＝4 ，∴b＝4 sin B，c＝4 sin C.∵A＝ ，∴B＋C＝ π，∴C＝ π－B，∴b＋c＝4 sin B＋4 sin ＝4 ［ sin B＋ sin （π－B）］＝12 sin .∵0＜B＜ π，∴ ＜B＋ ＜ π.∴ ＜ sin ≤1（当且仅当B＝ 时，等号成立），∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范围为（6，12].【母题探究】 （变条件，变设问）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝ ，c＝ ，求△ABC周长的取值范围.解：由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2，∴a＝2 sin A，b＝2 sin B，则△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝2（ sin A＋ sin B）＋ ＝2 ＋ ＝2 ＋ ＝2（ sin A＋ cos A）＋ ＝2 sin ＋ .∵0＜A＜ ，∴ ＜A＋ ＜ ，∴ ＜ sin （A＋ ）≤1，∴2 ＜2 sin ＋ ≤2＋ ，∴△ABC周长的取值范围是（2 ，2＋ ].通性通法 解决与三角形的边（周长）有关的最值（范围）问题的方法（1）化边为角：利用三角函数的单调性与有界性求最值（范围）；（2）化角为边：利用基本不等式或二次函数性质求最值（范围）.【跟踪训练】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 cos C＋ cos A cos B＝2 sin A cos B.（1）求 cos B的值；解： 因为 cos C＋ cos A cos B＝2 sin A cos B，所以－ cos （A＋B）＋ cos A cos B＝2 sin A cos B，即 sin A sin B＝2 sin A cos B，因为 sin A≠0，所以 sin B＝2 cos B＞0，又因为 sin 2B＋ cos 2B＝1，解得 cos B＝ .（2）若a＋c＝2，求b的取值范围.解： 由a＋c＝2，可得c＝2－a，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ ac＝a2＋（2－a）2－ a（2－a）＝ （a－1）2＋ ，因为0＜a＜2，所以 ≤b2＜4，所以 ≤b＜2，所以b的取值范围为 .题型二 与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题【例2】 若△ABC的内角A，B，C满足： sin A＋ sin B＝2 sinC，则 cos C的最小值是 . 解析：由 sin A＋ sin B＝2 sin C，得a＋ b＝2c，∴c＝，∴ cos C＝ ＝ ＝ ＝＋ － ≥2 － ＝ ，当且仅当 ＝ 即 a＝ b时等号成立.∴ cos C的最小值为 .通性通法 解决与三角形的角或角的三角函数有关的最值（范围）问题的方法 求角或角的三角函数有关的最值（范围）一般是用边表示角（三角函数式），利用基本不等式求最值（范围）.【跟踪训练】 （2024·徐州月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ＋ ＝ ，则A的取值范围是 （0， ］ .（0， ］ 解析：由正弦定理知 ＋ ＝ ＝ ＝，∵ sin A＝ sin [π－（B＋C）]＝ sin （B＋C），∴ sin 2A＝sin C sin B，即a2＝bc，又由余弦定理知 cos A＝ ≥ ＝，当且仅当b＝c时等号成立，∵A∈（0，π），∴ cosA∈ ，则A∈（0， ］.题型三 与三角形的面积有关的最值（范围）问题【例3】 （2024·南通质检）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足 ＝ .若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是（ ）C. 3√解析： 如图，在△ABC中，∵b＝c， ＝ ，∴ sin B cos A＋ cos B sin A＝ sin A，即 sin （A＋B）＝sin （π－C）＝ sin C＝ sin A，∴A＝C，又b＝c，故△ABC为等边三角形.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝ ·OA·OB· sin θ＋ ·AB2· sin ＝ ×2×1× sin θ＋ （OA2＋OB2－2OA·OB· cos θ）＝ sin θ－ cos θ＋ ＝2 sin ＋ .∵0＜θ＜π，∴－ ＜θ－ ＜ ，故当θ－ ＝ ，即θ＝ 时， sin 取得最大值1，故S四边形OACB的最大值为2＋ ＝ .故选A.通性通法 求解与平面图形有关的面积最值（范围）问题可以先转化为三角形的面积，用三角形的面积公式表示，进而利用三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性求解.【跟踪训练】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ＝.（1）求角A；解： 由 ＝ ，结合正弦定理 ＝ ，得 ＝＝ ，所以tan A＝ ，又因为A∈（0，π），所以A＝ .（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值.解： 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.即bc≤4（当且仅当b＝c＝2时，等号成立），所以S△ABC＝ bc sin A≤ ×4× ＝ ，即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为 .1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B＝60°，b＝2.若这个三角形有两解，则a的取值范围是（ ）C. （2，＋∞） D. （－∞，2）解析： 由题意得a sin B＜b＜a，即a sin 60°＜2＜a，解得2＜a＜ ，故选A.√2. （2024·无锡江阴高中期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 sin 2A＋ sin 2B＝2 sin 2C，则 cos C的最小值等于（ ）√解析： 由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以 cos C＝ ＝，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以 ≥ ，故 cos C的最小值等于 .故选C.3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ ab，若△ABC的外接圆半径为 ，则△ABC面积的最大值为 .4 解析：由a2＋b2＝c2＋ ab及余弦定理，得 cos C＝ ＝＝ ，∴ sin C＝ .由△ABC的外接圆半径为 ，得c＝2R sin C＝4，∴a2＋b2＝16＋ ab≥2ab，∴ab≤12，当且仅当a＝b时等号成立.∴S△ABC＝ ab sin C≤ ×12× ＝4 .即△ABC面积的最大值为4 .知能演练·扣课标02课后巩固 核心素养落地1. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，则边AB的取值范围是（ ）A. （2，8） B. （1，4）C. （4，＋∞） D. （2，4）解析： 令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以 cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D.123456789101112√2. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a＝6，1≤b≤4，则 sin A的最大值为（ ）D. 1√123456789101112解析： ∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝，可得 sin A＝ ＝ ＝ ∈［ ，1］，故 sin A的最大值为1.1234567891011123. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c cos A＋a cos C＝2，AC边上的高为 ，则角B的最大值为 （ ）√123456789101112解析： 由c cos A＋a cos C＝b得b＝2.因为AC边上的高为 ，所以 ×2× ＝ ac sin B，即ac＝ ，又 cos B＝≥ ＝1－ ，当且仅当a＝c时取等号，所以 cos B≥1－sin B，即 sin B＋3 cos B≥3，即 sin ≥ .因为B∈（0，π），所以B＋ ∈ ，则B＋ ∈（ ， ］，所以B∈（0， ］，故角B的最大值为 .故选B.1234567891011124. 在△ABC中， sin 2A－ sin 2B－ sin 2C＝ sin B sin C. 若BC＝3，求△ABC周长的最大值为（ ）√123456789101112解析： 由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB ①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A ②.由①②得cos A＝－ .因为0＜A＜π，所以A＝ .由正弦定理得 ＝＝ ＝2 ，从而AC＝2 sin B，AB＝2 sin （π－A－B）＝3 cos B－ sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋ sin B＋3 cos B＝3＋2 sin .又0＜B＜ ，所以当B＝ 时，△ABC周长取得最大值3＋2 .故选C.1234567891011125. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是（ ）√123456789101112解析： 设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6x cos θ ①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18x cos θ ②，联立①②，消去 cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2 ③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2 ④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝ bc sin≤ ×16× ＝4 .故选B.1234567891011126. （多选）（2024·江阴长泾中学期中）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2， · ＝2 S，下列选项正确的是（ ）B. 若b＝3，则△ABC只有一解√√123456789101112解析： 对于A，根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由 · ＝2 S bc cos A＝2 × bc sin A tan A＝ ，因为A∈（0，π），所以A＝ ，故A错误；对于B，b＝3＞a＝2＞bsin A＝ ，故△ABC有两解，故B错误；对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈（0， ），且A＋B＝π－C＞ ＋B＞ B∈（ ， ），即 sin B∈（ ，1），由正弦定理可知：b＝ ＝4sin B∈（2 ，4），故C正确；123456789101112对于D，若D为BC边上的中点，则 ＝ （ ＋ ） ＝（ ＋2 · ＋ ）＝ （b2＋c2＋ bc），由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－ bc＝4 b2＋c2＝ bc＋4，根据基本不等式有b2＋c2＝ bc＋4≥2bc bc≤ ，当且仅当b＝c＝ 时取得等号，所以 （b2＋c2＋ bc）＝ （4＋2 bc）≤1＋ × ＝7＋4 ，即AD≤ ＝2＋ ，故D正确.故选C、D.1234567891011127. （2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，则 ＝ ，角C的最大值为 .解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，当且仅当a＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值为 .2 123456789101112解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝ tan Atan B，且tan Atan B≠0，得tan C＝ ，∵0＜C＜π，∴C＝ .∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥a2＋b2－ ，∴a2＋b2≤16＋8 ，当且仅当a＝b时取等号.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范围是（4，16＋8 ].8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足tan A＋tan B＋tan C＝ tan Atan B，若c＝2，则a2＋b2的取值范围是 .（4，16＋8 ] 1234567891011129. （2024·无锡市北高中期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4 cos A＝ sin B＋ sin C. 若△ABC的面积S＝ ，则边a的最小值为 .解析：由正弦定理 ＝ ＝ 可得，b sin C＝c sin B，a sin B＝b sin A. 由已知可得，4 bc· cos A＝ac sin B＋ab sin C＝2ac sinB＝2bc sin A，所以 sin A＝2 cos A.2 123456789101112又0＜A＜π，所以0＜A＜ ，所以 cos A＞0，因为 sin 2A＋ cos 2A＝25 cos 2A＝1，所以 cos A＝ ， sin A＝ .因为△ABC的面积S＝bc sin A＝ bc＝ ，所以bc＝ .由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2× × ≥2bc－1＝4，当且仅当b＝c＝ 时，等号成立.所以a2≥4，a的最小值为2.12345678910111210. 如图所示，有两条经过村庄A且夹角为60°的公路，根据规划，拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？123456789101112解：设∠AMN＝θ，在△AMN中， ＝ ，又MN＝2，所以AM＝ sin （120°－θ），在△APM中， cos ∠AMP＝ cos （60°＋θ），AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP· cos ∠AMP＝ sin 2（120°－θ）＋4－2× sin （120°－θ）×2× cos（60°＋θ）＝ sin 2θ＋ sin θ cos θ＋4123456789101112＝ sin 2θ－ cos 2θ＋＝ sin （2θ－30°）＋ .因为0°＜θ＜120°，则－30°＜2θ－30°＜210°，当且仅当2θ－30°＝90°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2 .所以∠AMN＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小.12345678910111211. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）＝a·b.（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；解： 因为a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x，cos x），所以f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos2x－ ＝ sin （2x－ ）－ ，由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）.123456789101112（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝ 且b＝ ，求a＋c的取值范围.解： 由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－∈（－ ， ），即2B－ ＝ .所以B＝ ，又b＝ ，由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C，123456789101112即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2cos （A－ ），又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ，所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ].即a＋c的取值范围为（ ，2 ].12345678910111212. （2024·盐城响水中学期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos ＝a sin B.（1）求角A的大小；123456789101112解： 因为b cos ＝a sin B，由正弦定理可得 sin Bcos ＝ sin A sin B，又 sin B≠0，所以 cos ＝ sin A，因为A＋B＋C＝π，所以 cos ＝ cos ＝ sin ，则 sin ＝ sin A＝2 sin cos ，又 sin ≠0，所以 cos ＝ ，因为 ∈（0， ），所以 ＝ A＝ .123456789101112（2）D是边BC上一点，且BD＝2DC，AD＝2，求△ABC面积的最大值.解： 根据题意可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝＋ （ － ）＝ ＋ ，所以 ＝（ ＋ ）2＝ ＋ · ＋ ，即36＝c2＋4bc（－ ）＋4b2≥2 －2bc＝2bc，所以bc≤18，当且仅当b＝3，c＝6时等号成立，所以S△ABC＝ bc sin ≤ ×18× ＝ ，故△ABC面积的最大值为 .123456789101112谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 培优课 三角形中的最值（范围）问题.docx 培优课 三角形中的最值（范围）问题.pptx 培优课 三角形中的最值（范围）问题（练习，含解析）.docx
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