资源简介

　　
一、应用正弦、余弦定理解三角形
1.这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决.常见题型有：（1）一边和两角（如a，B，C）；（2）两边和夹角（如a，b，C）；（3）三边（a，b，c）；（4）两边和其中一边的对角（如a，b，A）.
2.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.
【例1】　（2024·徐州月考）在△ABC中，B＝45°，AC＝，cos C＝.
（1）求BC边的长；
（2）求AB边上的中线CD的长.
反思感悟
应用正弦、余弦定理需注意的三个方面
（1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一；
（2）统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形；
（3）求值时注意方程思想的运用.
【跟踪训练】
　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
（1）求B的大小；
（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
二、判断三角形的形状
1.根据已知条件判断三角形的形状时，主要的方法是边角互化，一般有两种途径：（1）将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；（2）将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.
2.边角互化的常见方法有：（1）通过正弦定理进行边角转换；（2）通过余弦定理进行边角转换；（3）通过三角变换找出角之间的关系；（4）b2＋c2－a2＞0 A为锐角，b2＋c2－a2＝0 A为直角，b2＋c2－a2＜0 A为钝角.
【例2】　（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
（2）（2024·无锡堰桥中学期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos A＝bcos B，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为（　　）
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
反思感悟
利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法
（1）通过边之间的关系判断形状；
（2）通过角之间的关系判断形状.
合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系.
【跟踪训练】
　在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状.
三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用
1.正弦定理和余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.
2.在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【例3】　如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是 60 m，则河流的宽度BC是（　　）
A.240（－1）m B.180（－1）m
C.120（－1）m D.30（＋1）m
反思感悟
正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题
（1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
（2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；
（3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；
（4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.
【跟踪训练】
如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？
四、与三角形有关的综合问题
　　该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.
【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3＋，求c.
反思感悟
解三角形综合问题的方法
（1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法进行求解；
（2）解三角形常与平面向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解.
【跟踪训练】
　已知向量a＝（sin x，cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）＝a·b的最小正周期；
（2）在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f（A）＝1，求△ABC的周长.
章末复习与总结
【例1】　解：（1）由cos C＝，得sin C＝，
sin A＝sin（180°－45°－C）＝sin（45°＋C）＝（cos C＋sin C）＝.
由正弦定理，得BC＝·sin A＝×＝3.
（2）由正弦定理，得AB＝·sin∠ACB＝×＝2.BD＝AB＝1.在△BCD中，
由余弦定理，得CD＝＝＝.
跟踪训练
　解：（1）∵bsin A＝acos B，
∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，∴B＝.
（2）∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos ，
解得a＝，∴c＝2a＝2.
【例2】　（1）B　（2）D　解析：（1）法一　由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，即sin（B＋C）＝sin2A，从而sin（B＋C）＝sin A＝sin2A，∵sin A≠0，解得sin A＝1，∴A＝.故选B.
法二　由余弦定理得bcos C＋ccos B＝a，从而a＝asin A，∵a≠0，∴sin A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝.故选B.
（2）∵acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，又A，B∈（0，π），故可得A＝B或A＋B＝；又c2＝a2＋b2－ab，即cos C＝，又C∈（0，π），故可得C＝.综上所述，A＝B＝C＝.故△ABC是等边三角形.故选D.
跟踪训练
　解：由已知得＝＝＝，∴＝，
由正弦定理得＝，
∴＝，
∴sin Ccos C＝sin Bcos B，
即sin 2C＝sin 2B，
∵B，C均为△ABC的内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，
即B＝C或B＋C＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【例3】　C　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60（m），∴AC＝120（m）.在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120（－1）（m）.故选C.
跟踪训练
　解：由题意知AB＝5（3＋）n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
＝，
∴DB＝
＝
＝
＝＝10 n mile，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30 n mile.
∴t＝＝1 h.
∴救援船到达D点需要1 h.
【例4】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈（0，π），所以C＝，
又sin C＝cos B，所以＝cos B，
即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.
（2）由（1）可得A＝，
则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝，
从而a＝·c＝c，
又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），
将a＝c代入，解得c＝2.
跟踪训练
　解：（1）f（x）＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin（2x＋）＋，
所以f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）由f（A）＝1，可得sin（2A＋）＝，
又0＜A＜π，所以＜2A＋＜，
所以2A＋＝，故A＝.
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以a2＝b2＋c2－bc＝7.
又sin B＝3sin C，所以b＝3c.
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.
所以b＝3，△ABC的周长为4＋.
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章末复习与总结
一、应用正弦、余弦定理解三角形
1. 这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应
用哪个定理解决.常见题型有：（1）一边和两角（如a，B，
C）；（2）两边和夹角（如a，b，C）；（3）三边（a，b，
c）；（4）两边和其中一边的对角（如a，b，A）.
2. 已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦
定理解此三角形.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角
形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正
弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助
已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.
【例1】　（2024·徐州月考）在△ABC中，B＝45°，AC＝
， cos C＝ .
（1）求BC边的长；
解： 由 cos C＝ ，得 sin C＝ ，
sin A＝ sin （180°－45°－C）＝ sin （45°＋C）＝
（ cos C＋ sin C）＝ .
由正弦定理，得BC＝ · sin A＝ × ＝3 .
（2）求AB边上的中线CD的长.
解：由正弦定理，得AB＝ · sin ∠ACB＝ × ＝
2.BD＝ AB＝1.在△BCD中，
由余弦定理，得CD＝ ＝
＝ .
反思感悟
应用正弦、余弦定理需注意的三个方面
（1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要
根据题目条件恰当地实现边角的统一；
（2）统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进
行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等
代数变换方法进行变形；
（3）求值时注意方程思想的运用.
【跟踪训练】
　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝
a cos B.
（1）求B的大小；
解： ∵b sin A＝ a cos B，
∴由正弦定理，得 sin B sin A＝ sin A cos B.
在△ABC中， sin A≠0，
即得tan B＝ ，∴B＝ .
（2）若b＝3， sin C＝2 sin A，求a，c的值.
解： ∵ sin C＝2 sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，
解得a＝ ，∴c＝2a＝2 .
二、判断三角形的形状
1. 根据已知条件判断三角形的形状时，主要的方法是边角互化，一般
有两种途径：（1）将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求
解；（2）将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.
2. 边角互化的常见方法有：（1）通过正弦定理进行边角转换；（2）
通过余弦定理进行边角转换；（3）通过三角变换找出角之间的关
系；（4）b2＋c2－a2＞0 A为锐角，b2＋c2－a2＝0 A为直
角，b2＋c2－a2＜0 A为钝角.
【例2】　（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（　B　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不确定
B
解析： 法一　由正弦定理，得 sin B cos C＋ cos B sin
C＝ sin 2A，即 sin （B＋C）＝ sin 2A，从而 sin （B＋
C）＝ sin A＝ sin 2A，∵ sin A≠0，解得 sin A＝1，∴A＝
.故选B.
法二　由余弦定理得b cos C＋c cos B＝a，从而a＝a sin A，
∵a≠0，∴ sin A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝ .故选B.
（2）（2024·无锡堰桥中学期中）在△ABC中，角A，B，C所对
的边分别为a，b，c，已知a cos A＝b cos B，且c2＝a2＋b2
－ab，则△ABC的形状为（　D　）
A. 等腰三角形或直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
D
解析： ∵a cos A＝b cos B，由正弦定理得 sin A cos A＝ sin B cos B，即
sin 2A＝ sin 2B，又A，B∈（0，π），故可得A＝B或A＋B＝ ；
又c2＝a2＋b2－ab，即 cos C＝ ，又C∈（0，π），故可得C＝ .
综上所述，A＝B＝C＝ .故△ABC是等边三角形.故选D.
反思感悟
利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法
（1）通过边之间的关系判断形状；
（2）通过角之间的关系判断形状.
合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件
统一为边的关系或角的关系.
【跟踪训练】
　在△ABC中，若 ＝ ，试判断△ABC的形状.
解：由已知得 ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ sin C cos C＝ sin B cos B，
即 sin 2C＝ sin 2B，
∵B，C均为△ABC的内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，
即B＝C或B＋C＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用
1. 正弦定理和余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的
问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.
2. 在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时，关键是根据题意画出
示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐
含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【例3】　如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的
俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是 60 m，则河流的宽
度BC是（　　）
√
解析： 　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60
（m），∴AC＝120（m）.在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝
45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC
＝ ＝ ＝120（ －1）（m）.故选C.
反思感悟
正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题
（1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
（2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向
角、方位角等；
（3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知
识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，
然后解此三角形；
（4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原
有数据，尽量减少计算中误差的积累.
【跟踪训练】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋ ）n
mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有
一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n
mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援
船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5（3＋ ）n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
＝ ，
∴DB＝ ＝
＝
＝ ＝10 n mile，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝
20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC· cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×10 ×20 × ＝900，
∴CD＝30 n mile.
∴t＝ ＝1 h.
∴救援船到达D点需要1 h.
四、与三角形有关的综合问题
　　该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边
角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等
式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三
角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.
【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ ab，
可得 cos C＝ ＝ ＝ ，
因为C∈（0，π），所以C＝ ，
又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）若△ABC的面积为3＋ ，求c.
解： 由（1）可得A＝ ，
则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，
由正弦定理有 ＝ ，
从而a＝ · c＝ c，
又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1），
将a＝ c代入，解得c＝2 .
反思感悟
解三角形综合问题的方法
（1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形
面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适
的方法进行求解；
（2）解三角形常与平面向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考
查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条
件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解.
【跟踪训练】
　已知向量a＝（ sin x， cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）
＝a·b.
（1）求函数f（x）＝a·b的最小正周期；
解： f（x）＝ sin x cos x＋ cos 2x
＝ sin 2x＋ cos 2x＋
＝ sin （2x＋ ）＋ ，
所以f（x）的最小正周期T＝ ＝π.
（2）在△ABC中，BC＝ ， sin B＝3 sin C，若f（A）＝1，求
△ABC的周长.
解： 由f（A）＝1，可得 sin （2A＋ ）＝ ，
又0＜A＜π，所以 ＜2A＋ ＜ ，
所以2A＋ ＝ ，故A＝ .
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以a2＝b2＋c2－bc＝7.
又 sin B＝3 sin C，所以b＝3c.
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.
所以b＝3，△ABC的周长为4＋ .
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