资源简介

12.1　复数的概念
1.（2024·扬州新华中学期中）复数z＝cos＋isin，则复数z的虚部是（　　）
A.－ B.－
C. D.
2.已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝（　　）
A.－3 B.3
C.－1 D.1
3.如果z＝m（m＋1）＋（m2－1）i为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A.1 B.0
C.－1 D.－1或1
4.已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，则a＝（　　）
A.2 B.3
C.－3 D.9
5.（多选）下列命题正确的是（　　）
A.（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数
B.－i2＝1
C.1＋4i＞3i
D.若z∈C，则z2≥0
6.（多选）下列命题为真命题的是（　　）
A.复数集是实数集与纯虚数集的并集
B.x＝i是方程x2＋2＝0的解
C.已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0
D.i是－1的一个平方根
7.（2024·徐州月考）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝　　　　.
8.已知z1＝－4a＋1＋（2a2＋3a）i，z2＝2a＋（a2＋a）i，其中a∈R，若z1为纯虚数，则a＝　　　　.若z1＞z2，则a＝　　　　.
9.定义：复数b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的转置复数，已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数是　　　　.
10.当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－8）i是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.
11.已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　）
A.3＋i B.3－i
C.－3－i D.－3＋i
12.（2024·泰州月考）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m的取值集合是　　　　.
13.（2024·镇江月考）定义运算＝ad－bc，若（x＋y）＋（x＋3）i＝（i为虚数单位），则实数x＝　　　　，实数y＝　　　　.
14.分别求满足下列条件的实数x，y的值.
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
（2）＋（x2－2x－3）i＝0.
15.已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
12.1　复数的概念
1.C　因为z＝cos＋isin＝＋i，所以虚部为.故选C.
2.C　易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.故选C.
3.B　由题意知∴m＝0.故选B.
4.B　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B.
5.AB　对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数，故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正确；对于C：复数不能比较大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1＜0，故错误.故选A、B.
6.BCD　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题.故选B、C、D.
7.2＋i　解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则所以x＋yi＝2＋i.
8.　0　解析：由z1为纯虚数，则∴a＝.由z1＞z2，得解得a＝0.
9.－2＋i　解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2.所以复数z＝a＋bi＝1－2i，故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i.
10.解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2.
（1）当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，∴m＝4或m＝－2.
（2）当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，∴m≠4且m≠－2.
（3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－3.
（4）当时，复数z＝0，∴m＝－2.
11.B　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i.
12.{3}　解析：由已知，得解得m＝3，所以所求实数m的取值集合是{3}.
13.－1　2　解析：由题意＝3x＋2y＋yi，则∴
14.解：（1）因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得解得
（2）因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得
即
所以x＝3.
15.解：（1）∵z1为纯虚数，
∴∴m＝－2.
（2）由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2.
又∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6.
∴2≤λ≤6，
即λ的取值范围为[2，6].
2 / 212.1　复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 逻辑推理
　　随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充，它的每一次扩充，解决了某些运算在原有数集中不能实施的矛盾，数集的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
　　在自然数集中，方程x＋4＝3无解，为此引入负数，数集扩充到整数集；
　　在整数集中，方程2x＝5无解，为此引入分数，数集扩充到有理数集；
　　在有理数集中，方程x2＝7无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集.
【问题】　在实数集中，类似x2＝－1的方程无解，能否引入一种新数，使得方程有解并将实数集进行扩充呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的概念及分类
1.虚数单位：引入一个新数i，叫作　　　　　，并规定：
（1）i2＝　　；
（2）　　　　可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2.复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数.　　　　　　所组成的集合叫作复数集，记作C.
3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫作复数z的　　　　与　　　　.
4.复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）集合表示
知识点二　复数相等
　如果两个复数的　　　　与　　　　分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即a＋bi＝c＋di 这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的　　　　和　　　　分别相等.
提醒　在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.
1.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解
B.复数z＝a＋bi（a，b∈R）中，实部为a，虚部为b
C.任意两个复数不能比较大小
D.若a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi为纯虚数
2.（2024·淮安马坝高中期中）已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（　　）
A.1　　　　 　　　 B.－1
C.2 D.－2
3.已知x－3i＝（8x－y）i（x，y∈R），则x＝　　　　，y＝　　　　.
题型一 复数的概念
【例1】　（1）（链接教科书第120页例1）写出下列复数的实部和虚部：－2＋i，＋i，，－i，i，0；
（2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系.
通性通法
复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
（3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小.
【跟踪训练】
1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　）
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
2.若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等，则a＝　　　　.
题型二 复数的分类
【例2】　（链接教科书第120页例2）当m取何值时，复数z＝＋（m2－2m－15）i是：
（1）虚数；（2）纯虚数；（3）实数.
【母题探究】
1.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.
2.（变条件，变设问）已知z＝log2（1＋m）＋[lo（3－m）]i（m∈R），若z是虚数，求m的取值范围.
通性通法
复数分类问题的求解方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【跟踪训练】
1.（2024·江苏新海高中月考）若复数z＝（a2＋2a－3）＋（a＋3）i是纯虚数，则实数a的值是（　　）
A.1 B.3
C.－3 D.－1
2.若复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则（　　）
A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2
C.a≠－1 D.a≠2
题型三 复数相等
【例3】　（1）（链接教科书第121页例3）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值；
（2）关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值.
通性通法
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
【跟踪训练】
1.已知x，y∈R，若（x－3y）＋（2x＋y）i＝－i＋1，则x＝　　　　，y＝　　　　.
2.已知（a2＋am）＋2ai＝－2－mi（a，m∈R），求实数a的值.
1.已知复数z＝1＋i，则下列结论正确的是（　　）
A.z的实部为1 B.z的虚部为i
C.z＞0 D.z是纯虚数
2.（多选）对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（　　）
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
3.若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值为　　　　.
4.已知复数z＝k2－3k＋（k2－5k＋6）i（k∈R），且z＜0，求实数k的值.
12.1　复数的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.虚数单位　（1）－1　（2）实数　2.全体复数　3.实部　虚部
知识点二
　实部　虚部　实部　虚部
自我诊断
1.AB　对于A，i2＝－1，则i2＋1＝0，故A正确；由复数的代数形式知B正确；对于C，若两个复数是实数，则两个实数能比较大小，故C错误；对于D，当a＝0，b＝0时，复数a＋bi＝0，故D错误.故选A、B.
2.C　依题意得a－2＝0，∴a＝2.故选C.
3.0　3　解析：依题意得即
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）－2＋i，＋i，，－i，i，0的实部分别为－2，，，0，0，0；虚部分别为，1，0，－，1，0.
（2）根据各数集的含义可知，N* N Z Q R C.
跟踪训练
1.B　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.
2.4　解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
【例2】　解：（1）当即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
（2）当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
（3）当即m＝5时，z是实数.
母题探究
1.解：因为z＞0，所以z为实数，需满足
解得m＝5.
2.解：∵z是虚数，∴lo（3－m）≠0，且1＋m＞0，
即∴－1＜m＜2或2＜m＜3.
∴m的取值范围为（－1，2）∪（2，3）.
跟踪训练
1.A　根据纯虚数的概念知，解得a＝1，所以实数a的值是1.故选A.
2.C　复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.故选C.
【例3】　解：（1）由复数相等的充要条件，
得解得
（2）设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i，
所以
由②解得m＝2或m＝－，
分别代入①式，得a＝11或a＝－.
跟踪训练
1.－　－　解析：由题意得解得
2.解：因为a，m∈R，所以由复数相等的充要条件，
可得
解得或
所以a＝±.
随堂检测
1.A　复数z＝1＋i的实部为1，虚部为1，复数z＝1＋i不能与0 比较大小，且不是纯虚数.故选A.
2.BC　对于A，当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A错误；对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正确；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；对于D，i的平方为－1，故D错误.故选B、C.
3.1　解析：由题意得即m＝1.
4.解：因为z＜0， 所以z∈R，所以所以k＝2.
3 / 3(共53张PPT)
12.1　复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　
　　随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充，它的每一次扩充，解
决了某些运算在原有数集中不能实施的矛盾，数集的扩充过程，也可
以从方程是否有解的角度来理解：
　　在自然数集中，方程x＋4＝3无解，为此引入负数，数集扩充到
整数集；
　　在整数集中，方程2x＝5无解，为此引入分数，数集扩充到有理
数集；
　　在有理数集中，方程x2＝7无解，为此引入无理数，数集扩充到
实数集.
【问题】　在实数集中，类似x2＝－1的方程无解，能否引入一种新
数，使得方程有解并将实数集进行扩充呢？
知识点一　复数的概念及分类
1. 虚数单位：引入一个新数i，叫作 ，并规定：
（1）i2＝ ；
（2） 可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加
法、乘法运算律仍然成立.
2. 复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数.
所组成的集合叫作复数集，记作C.
虚数单位　
－1　
实数　
全体复
数　
3. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，
b∈R），其中a与b分别叫作复数z的 与 .
4. 复数的分类
实部　
虚部　
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）集合表示
知识点二　复数相等
　如果两个复数的 与 分别相等，那么我们就说这两
个复数相等，即a＋bi＝c＋di 这就是说，两个复数相等的
充要条件是它们的 和 分别相等.
提醒　在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，
d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若
忽略前提条件，则结论不能成立.
实部　
虚部　
实部　
虚部　
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解
B. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）中，实部为a，虚部为b
C. 任意两个复数不能比较大小
D. 若a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi为纯虚数
解析： 　对于A，i2＝－1，则i2＋1＝0，故A正确；由复数的代
数形式知B正确；对于C，若两个复数是实数，则两个实数能比较
大小，故C错误；对于D，当a＝0，b＝0时，复数a＋bi＝0，故D
错误.故选A、B.
√
√
2. （2024·淮安马坝高中期中）已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为
虚数单位）是实数，则a＝（　　）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
解析： 　依题意得a－2＝0，∴a＝2.故选C.
√
3. 已知x－3i＝（8x－y）i（x，y∈R），则x＝ ，y＝ .
解析：依题意得即
0　
3　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的概念
【例1】　（1）（链接教科书第120页例1）写出下列复数的实部和虚
部：－2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0；
解： －2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0的实部分别为－
2， ， ，0，0，0；虚部分别为 ，1，0，－ ，1，0.
（2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系.
解： 根据各数集的含义可知，N* N Z Q R C.
通性通法
复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z
的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是
复数的两大构成部分；
（3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小.
【跟踪训练】
1. 设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间
的关系为（　　）
A. A B C B. B A C
C. B C A D. A C B
解析： 　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚
数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.
√
2. 若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等，
则a＝ .
解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
4　
题型二 复数的分类
【例2】　（链接教科书第120页例2）当m取何值时，复数z＝
＋（m2－2m－15）i是：
（1）虚数；
解：当即m≠5且m≠－3时，z是
虚数.
解：当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
解：当即m＝5时，z是实数.
（2）纯虚数；
（3）实数.
【母题探究】
1. （变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.
解：因为z＞0，所以z为实数，需满足
解得m＝5.
2. （变条件，变设问）已知z＝log2（1＋m）＋[lo （3－m）]i
（m∈R），若z是虚数，求m的取值范围.
解：∵z是虚数，∴lo （3－m）≠0，且1＋m＞0，
即∴－1＜m＜2或2＜m＜3.
∴m的取值范围为（－1，2）∪（2，3）.
通性通法
复数分类问题的求解方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）
的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满
足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满
足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【跟踪训练】
1. （2024·江苏新海高中月考）若复数z＝（a2＋2a－3）＋（a＋3）
i是纯虚数，则实数a的值是（　　）
A. 1 B. 3
C. －3 D. －1
解析： 　根据纯虚数的概念知，解得a＝1，
所以实数a的值是1.故选A.
√
2. 若复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则
（　　）
A. a＝－1 B. a≠－1且a≠2
C. a≠－1 D. a≠2
解析： 　复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚
数，则有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.故选C.
√
题型三 复数相等
【例3】　（1）（链接教科书第121页例3）若（x＋y）＋yi＝（x＋
1）i，求实数x，y的值；
解： 由复数相等的充要条件，
得解得
（2）关于x的方程3x2－ x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a
的值.
解： 设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－ m－1＝（10－m－2m2）i，
所以
由②解得m＝2或m＝－ ，
分别代入①式，得a＝11或a＝－ .
通性通法
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚
部相等列方程组求解；
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方
程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
【跟踪训练】
1. 已知x，y∈R，若（x－3y）＋（2x＋y）i＝－i＋1，则x＝
　，y＝ 　－ 　.
解析：由题意得解得
－
　
－ 　
2. 已知（a2＋am）＋2ai＝－2－mi（a，m∈R），求实数a的值.
解：因为a，m∈R，所以由复数相等的充要条件，
可得
解得或
所以a＝± .
1. 已知复数z＝1＋i，则下列结论正确的是（　　）
A. z的实部为1 B. z的虚部为i
C. z＞0 D. z是纯虚数
解析： 　复数z＝1＋i的实部为1，虚部为1，复数z＝1＋i不能与0
比较大小，且不是纯虚数.故选A.
√
2. （多选）对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是
（　　）
A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B. 若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1
C. 若b＝0，则a＋bi为实数
D. i的平方等于1
√
√
解析： 　对于A，当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A错
误；对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正
确；对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；对于D，i
的平方为－1，故D错误.故选B、C.
3. 若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值
为 .
解析：由题意得即m＝1.
4. 已知复数z＝k2－3k＋（k2－5k＋6）i（k∈R），且z＜0，求实
数k的值.
解：因为z＜0， 所以z∈R，所以所以k＝2.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·扬州新华中学期中）复数z＝ cos ＋i sin ，则复数z的虚
部是（　　）
解析： 　因为z＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，所以虚部为 .故选C.
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2. 已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数
a＝（　　）
A. －3 B. 3
C. －1 D. 1
解析： 　易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－
1.故选C.
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3. 如果z＝m（m＋1）＋（m2－1）i为纯虚数，则实数m的值为
（　　）
A. 1 B. 0
C. －1 D. －1或1
解析： 　由题意知∴m＝0.故选B.
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4. 已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，则a
＝（　　）
A. 2 B. 3
C. －3 D. 9
解析： 　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有
解得a＝3.故选B.
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5. （多选）下列命题正确的是（　　）
A. （a2＋1）i（a∈R）是纯虚数
B. －i2＝1
C. 1＋4i＞3i
D. 若z∈C，则z2≥0
解析： 　对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是
纯虚数，故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正确；对于
C：复数不能比较大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1
＜0，故错误.故选A、B.
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6. （多选）下列命题为真命题的是（　　）
A. 复数集是实数集与纯虚数集的并集
C. 已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0
D. i是－1的一个平方根
解析： 　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x
＝ i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说
明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i
的定义，D为真命题.故选B、C、D.
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7. （2024·徐州月考）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi
＝ .
解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则所以x＋yi
＝2＋i.
2＋i　
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解析：由z1为纯虚数，则∴a＝ .由z1＞z2，得
解得a＝0.
　
0　
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9. 定义：复数b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的转置复数，已知
a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转
置复数是 .
解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2.所以复数z＝a＋bi＝1
－2i，故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i.
－2＋i　
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10. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－
8）i是下列数？
（1）实数；
解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m
－8＝0，得m＝4或m＝－2.
（1）当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，∴m＝4或m＝
－2.
解：当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，∴m≠4且m≠
－2.
（2）虚数；
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解：当时，复数z是纯虚数，∴m＝
－3.
解：当时，复数z＝0，∴m＝－2.
（3）纯虚数；
（4）0.
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11. 已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根
n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　）
A. 3＋i B. 3－i
C. －3－i D. －3＋i
解析： 　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即
解得∴z＝3－i.
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12. （2024·泰州月考）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋
3）i＋10成立的实数m的取值集合是 .
解析：由已知，得解得m＝3，所以所求实
数m的取值集合是{3}.
{3}　
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13. （2024·镇江月考）定义运算 ＝ad－bc，若（x＋y）＋
（x＋3）i＝ （i为虚数单位），则实数x＝
，实数y＝ .
－
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解析：由题意 ＝3x＋2y＋yi，则
∴
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14. 分别求满足下列条件的实数x，y的值.
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
解： 因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得
解得
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（2） ＋（x2－2x－3）i＝0.
解： 因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得
即所以x
＝3.
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15. 已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2 sin θ＋（ cos θ－
2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；
解： ∵z1为纯虚数，
∴
∴m＝－2.
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（2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
解： 由z1＝z2，得
∴λ＝4－ cos 2θ－2 sin θ＝ sin 2θ－2 sin θ＋3＝（ sin
θ－1）2＋2.
又∵－1≤ sin θ≤1，
∴当 sin θ＝1时，λmin＝2，
当 sin θ＝－1时，λmax＝6.
∴2≤λ≤6，
即λ的取值范围为[2，6].
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