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第一章《三角形》复习题--三角形的折叠求角
【类型1 不压边求角】
1．如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，再将沿翻折，点落在点处．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处，连接，，设，．变化长方形的大小如图2所示，若的值增大了，且保持不变，则的值（ ）
A．增大了 B．减小了 C．增大了 D．减小了
5．如图，沿向下翻折得到，若，，则的度数是 ．

6．如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则 ．
7．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式．
8．数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在的内部有一点，分别连接和．”所形成的图形展开研究．
(1)如图1，若，，，求的度数；
(2)如图2，和分别平分和．
①若，求的度数；
②若，请直接写出的度数（用含的式子表示）；
(3)如图3，和分别平分和，将沿折叠，点恰好落在点处，若，请直接写出的度数．
9．已知，在中，点E在边上，点D是上一个动点，将沿E、D所在直线进行翻折得到．
(1)如图，若，则______；
(2)在图中细心的小明发现了，，之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．
10．如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点处，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【类型2 压一边求角】
1．如图，在四边形纸片中，，将纸片折叠，使点C,D落在边上的点处，折痕为,若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，点E，F分别是边上的点，沿着直线将折叠得到．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若，则（ ）

A． B． C． D．
5．如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点，分别是，上两点，将沿折叠，使点落在点处，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为（）
A． B． C．或 D．或
8．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ．
9．如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为 °．
10．如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点，若．则 度．
11．如图，在长方形中，点E、F分别是上的点，将长方形沿所在直线折叠，使点C、D分别落在点、处，交边于点G．若，则的度数为 ．
12．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为 ．
13．如图，将沿它的中位线折叠后，点A落在点处，若，，则 度．
14．如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则 ．
15．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ．
16．如图，把延翻折得到，若，则 ．
17．如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上．
(1)若则 ．
(2)若，求的度数．
18．在中，，点D，E分别在边上，将沿翻折．
(1)如图1，点A的对应点为，若，求的度数．
(2)如图2，点B，C的对应点分别为，，若，求的度数（用含的式子表示）．
19．在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．

(1)如图1，当时，求证：
(2)若，（）
①如图2，当时，求的值．
②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，在中，点D为BC上一点，将沿AD翻折得到，AE与BC相交于点F，若AE平分，，，求的度数．
【类型3 压两边求角】
1．将按如图所示沿进行翻折，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．如图所示，将沿翻折，点落到了点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点为边上一点，点为边上的点，将、分别沿着翻折，得到和，若，设，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB， BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为（ ）．
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．如图将一张长方形纸条沿翻折，点C、D分别折叠至点、，交于点G，若，则的度数为 ．

7．如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G，若，则的度数为 ．

8．如图，在四边形中，，E、F分别是、上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点G，若有两个相等的角，则 ．
9．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E．
(1)若折痕角，求帽子顶角的度数；
(2)设度，度．
①请用含的代数式表示，则________；
②当时，帽子比较美观，求此时的值．
10．如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上．
(1)若则 ．
(2)若，求的度数．
参考答案
【类型1 不压边求角】
1．A
【分析】本题考查三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．
根据翻折的性质得出，，进而得出，利用三角形内角和解答即可．
【详解】解：将沿，翻折，
，，
，
，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余得到，根据折叠得到，，由三角形的外角的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，
∴，，
∵将沿翻折，点落在点处，
∴，
∵，
∴，
故选：B ．
3．A
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质，三角形内角和性质，先根据长方形和折叠性质，得出，因为，所以，结合的值增大了，即可作答．
【详解】解：∵将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的值增大了，
∴，
∴的值增大了，
故选：C．
5．
【分析】本题考查了三角形内角和，折叠的性质，先由三角形内角和求出，然后再根据折叠的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵沿向下翻折得到，
∴．
故答案为：．
6．
【分析】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理．根据两直线平行，同位角相等求出，，再根据翻折的性质求出和，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵沿翻折得，
∴，，
在中，
．
故答案为：．
7．（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：∵将沿着折叠压平，与重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵将沿着折叠压平，与重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．（1）解：，
，
，，
，
，
；
（2）解：①，
，
和分别平分和，
，
；
②，
，
和分别平分和，
，
；
（3）解：，
，
和分别平分和，
，
，
，
沿折叠，点恰好落在点处，
，
，
.
9．（1）在中，，
∴．
由折叠的性质，可知：，，
∴．
又∵∠，
∴
．
故答案为：；
（2）．
证明：在中，，
∴．
由折叠的性质，可知：，
∴．
又∵，
∴
，
即．
10．B
【分析】本题是折叠问题，考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后的两个角相等，结合三角形的内角和求出角的度数．先根据折叠性质得：，，，根据三角形内角和为和周角求出结论．
【详解】解：由折叠得：，，，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【类型2 压一边求角】
1．C
【分析】本题考查折叠的性质，补角及三角形外角的定义．利用三角形外角求解是解题的关键．
根据折叠的性质可求得：，，利用三角形外角即可求解．
【详解】解：由折叠可知：，
∴，
∵，
∴
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、折叠的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理和外角的性质是解答本题的关键．根据三角形外角的性质可得，再根据翻折的性质可得，运用三角形内角和定理可得，进而由即可解答．
【详解】解：，
，
根据翻折的性质，，
∵在中，，
∴．
故选：B
3．A
【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形的内角和定理，根据可得，由翻折可得，由三角形的内角和可求得，即可求解．
【详解】解：，，
，
由翻折可得：，
，，
，
，
由翻折可得：．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．由折叠可知，，由平行线的性质可得，进而可得，，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”，“四边形的内角和是”，“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出．
【详解】解：由折叠知．
，
，
，
，
，
，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，由折叠的性质可得，，再由邻补角的定义可得，从而可求得，由三角形的内角和可求，从而可求得，再由邻补角的定义即可求的度数．解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查折叠性质，平行线性质，三角形的内角和定理等知识，分时和时两种情况计算即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当时，如图，则，
由折叠性质得：，，
当时，如图，则，
，
当时，如图，则，
由折叠性质得：，
，
综上，的度数为或或，
故选：D．
8．
【分析】本题主要考查了折叠的性质的运用，三角形内角和定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
折叠得到，再根据，可得．
【详解】解：∵把一张矩形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．或°
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键．
分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：当点在上时，
由折叠得， ，
那么此时，记与交于点G，
∴，
∵，
∴；
当点在上时，
由折叠知，
当点在上时，则，
∴，
∴，
综上：当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或，
故答案为：或．
10．71
【分析】本题考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质 折叠性质，平行线的性质，直角三角形角性质，是解决本题的重点．
首先根据平行线的性质得到的度数，再根据对折的性质求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：∵长方形中，
∴，
由折叠知，，
∵，
∴．
故答案为：71．
11．48
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．先根据折叠的性质得到，，再根据折叠的性质得到，则利用平角的定义可计算出，所以，接着计算出，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数．
【详解】解：∵长方形沿所在直线折叠，使点C、D分别落在点、处，
∴，，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
故答案为：48．
12．
【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出的度数，然后即可计算出的度数．
【详解】解：如图所示，
．
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
由图可得，，
∵比大，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
13．116
【分析】本题考查了三角形中位线定理，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握中位线定理，折叠性质是解题的关键．
由折叠以及三角形中位线定理得到，，根据三角形内角和定理得到，再由平行线得到，再由平角的意义即可求解．
【详解】解：补全折叠前图形为：
∵沿它的中位线折叠后，点A落在点处，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：116．
14．
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数．
由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解．
【详解】解：∵线段为折痕，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案．
【详解】解：设，
∵将沿翻折， 使得点B落在 处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折，使得点C 落在处．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．60
【分析】本题考查翻折的性质，三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和得到，然后得到、的度数，根据解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由翻折可得，
∴，
故答案为：60．
17．（1）解：四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，
，
设，则可得，
根据可得，
解得，
故答案为：；
（2）解：在中，
∵，，
，
∵点恰好落在边 BC上，
．
，
，
，
由折叠的性质，知
．
18．（1）解：如图，
由翻折得，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，
由翻折得：，
∵，
∴，
在四边形中，由，，
∴，
∵，
∴．
19．（1），
．
翻折，
，
，
，
即
（2）①，，
，
，，
．
，
，
由翻折可知，；
②，则，
当时，，解得，，
当，，解得，，
当时，，解得，，，
不合题意，舍去，
综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，且或30．
20．解：，，，
．
又平分，
．
由翻折得：，，
，
．
又，
．
【类型3 压两边求角】
1．C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质．由折叠的性质得，，结合平角的性质求得，，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，

∵，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
由折叠的性质可知，，再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求的度数．
【详解】由折叠的性质可知，，
∵，
∴
∴．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，翻折的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
过点A作，由平行线的性质及翻折的性质得，
，设，
由三角形内角和定理及平角的意义即可求解．
【详解】解：过点A作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将、分别沿着翻折，得到和，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】根据△DEB′是△BDE沿直线DE翻折得到的，得到∠B=∠B′，根据等边三角形的性质可得∠A=∠C=∠B=60°，根据三角形内角和定理可求得∠AFD=40°，继而可求得∠∠B′GF=80°，再根据对顶角的性质即可求得答案.
【详解】∵△DEB′是△BDE沿直线DE翻折得到的，
∴∠B=∠B′，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=∠B=60°，
∵∠A+∠ADF+∠AFD=180°，∠ADF=80°，
∴∠AFD=180°-60°-80°=40°，
∵∠B′FG+∠B′GF+∠B′=180°，∠B′FG=∠AFD，
∴∠B′GF=180°-60°-40°=80°，
∴∠EGC=∠B′GF=80°，
故选C．
6．
【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据折叠可知：，，求出，根据平行线的性质求出，再根据折叠的性质得出，即可得结论．
【详解】解：根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
7．
【分析】由折叠的性质及等边三角形的性质可知，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可知，，
在，，中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴;
故答案为．
8．或
【分析】根据题意有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，利用折叠的性质和四边形的内角和列方程，最后综合得出答案．
【详解】解：分三种情况：
（1）当时，
设，则，，
在四边形中，由内角和为得：
，
∵，
∴，
解得：；
（2）当时，，
在四边形中，由内角和为得：，
得，显然不成立，
即此种情况不存在；
（3）当时，
同理有：，
∵，
∴，
解得：；
综上分析可知，的度数为：或．
故答案为：或．
9．（1）解：由题意得，，
，
，
，
由折叠的性质得，，
，
由轴对称的性质得，，
，
帽子顶角的度数为．
（2）解：①，
，
，
，
，
由轴对称的性质得，，
设度，度，
度，
在中，，
，
故答案为：；
②由（1）得，，
由①得，度，
度，
，
，
解得：，
，
的值为108．
10．（1）解：四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，
，
设，则可得，
根据可得，
解得，
故答案为：；
（2）解：在中，
∵，，
，
∵点恰好落在边 BC上，
．
，
，
，
由折叠的性质，知
．

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