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第十八章综合素质评价
[时间:60分钟 分值: 100分]
一、选择题(每题3分，共24分)
1.下列各式：其中分式共有( )
A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个
2.下列分式中，是最简分式的是( )
3.若 则下列各式的值与的值一定相等的是( )
4.计算 的结果等于 ( )
5.2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展.已知8纳米=0.000000008米,0.000000008用科学记数法可表示为( )
6.如果分式方程 的解为x=5，那么a的值为( )
A. B.6 C. D.-6
7.若关于x的方程 没有增根，则k的值满足( )
8.设 则 的关系是( )
二、填空题(每题5分，共20分)
9.计算:
10.若分式 的值为零，则a的值是______________.
11.随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知 B 型充电桩比 A 型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A 型充电桩与用12万元购买 B 型充电桩的数量相等.设A 型充电桩的单价是x 万元，那么根据题意可列方程为 .
12.若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为____________.
三、解答题(共56分)
13.(10分)(1)化简:
(2)解方程:
14.(10 分)先化简再从中选取一个适合的数代入求值.
15.(12 分)2024 年 11月 4 日,神舟十八号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.某航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比购进“神舟”模型的数量多4个，且每个“天宫”模型的成本比每个“神舟”模型的成本少 20%.“神舟”和“天宫”模型的成本各为多少元
16.(12 分)若
(1)当时,计算 的值;
(2)猜想 M与N 的大小关系，并证明你的猜想.
17.(12 分)《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据.在意大利数学家斐波那契编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法.例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程.
例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同.求第一次分硬币的人数.设第一次分硬币的人数为x，则可列方程为
解:构造如图所示的图形,,矩形 ABCD 的面积为 90,矩形 ABEF 的面积为120,则 显然CD=EF.根据图形可知(将分式方程转化成了整式方程)，解得x=18.
∴第一次分硬币的人数为18.请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程 的解.
参考答案
一、1. B 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C 7. D 8. C
二、9. 10.2
12.16【点拨】 解不等式①，得x<4,解不等式②,得该不等式组的解集为 ∵该不等式组至少有2个整数解， 2，解得a≤8.解分式方程 得 ∵关于 y的分式方程的解为非负整数， 且 是偶数,解得a≥2 且a≠4,a 是偶数.
∴2≤a≤8且a≠4,a 是偶数,∴符合条件的a 的值为2，6，8.∴所有满足条件的整数a的值之和是2+6+8=16.
三、13.【解】(1)原式
(2)方程两边同乘,得,解得.
经检验，x=1是原方程的解.所以原分式方程的解是x=1.
14.【解】
∵a≠1且a≠-2,∴当a=0时,原式=-1.(所选数不唯一)
15.【解】设“神舟”模型的成本为每个x元，则“天宫”模型的成本为每个(1-20%)x元,
根据题意，得 解得x=20,经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，∴(1-20%)x=16.
答：“神舟”模型的成本为每个20元，“天宫”模型的成本为每个16元.
16.【解】(1)当a=4时,
(2)猜想:.证明如下:
即，.
17.【解】构造如图所示的图形,
,矩形 ABGH 的面积为1,矩形 ABEF 的面积为2,
则显然EF=GH.
根据图形可知，解得.
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