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2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是四边形构成平行四边形的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.对于非零向量，，下列命题中正确的是( )
A.
B. 在上的投影向量为是与方向相同的单位向量
C.
D.
3.已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
4.若的角，，所对的边分别为，，，，，则一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
5.下列说法错误的是( )
A. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱 B. 任意面体都可以分割成个棱锥
C. 棱台的侧棱的延长线必交于一点 D. 一个八棱柱有个面
6.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，，，则这个三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.设，，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.设是原点，，对应的复数分别为，，那么对应的复数是( )
A. B. C. D.
9.若，是虚数单位，则，的值分别等于( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
10.若的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的解的个数是( )
A. B. C. D. 不确定
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.复数的共轭复数是______．
12.正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是______．
13.若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是，，，则这个球面的面积为______．
14.若向量，则与平行的单位向量是______．
15.已知向量，，且，则的坐标是______．
16.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则边长 或 ．
三、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知过点的任意两个不共线的非零向量，若．
请你猜想，，三点的位置关系．
证明你的猜想．
18.本小题分
已知，其中，求：
；；
与的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知三个内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
求角；
若，，求的面积．
20.本小题分
已知函数．
化简函数为的形式，并求的值．
在中，若，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.或
16.
17.由．
猜想，，三点共线．
证明：因为，
，
所以．
又均过点，因此，，三点共线．
18.解：，
，又，
；
，
；
，，
与的夹角的余弦值为．
19.解：因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，即：，
又因为，所以；
由余弦定理可得：，
代入可得关于的方程：，解得：或舍，
由三角形面积公式．
20.因为
，
即，
所以．
因为，因为，所以
所以，解得，
故
，
因为，，所以，，
所以，
所以时，取得最大值，且最大值为．
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