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2024-2025学年江西省部分学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则( )
A. B. C. D.
2.一个扇形的弧长与面积的数值都是，这个扇形中心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为( )
A. B. C. D.
6.已知，均为锐角，且，，则( )
A. B. C. D.
7.把函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
8.已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的内角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的是( )
A. 外接圆的半径为 B. 外接圆的半径为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
10.已知向量，，，分别表示位移“向东移动”“向北移动”“向西北方向移动”“向西南方向移动”，则( )
A. 向量表示“向东北方向移动”
B. 向量与平行
C. 向量表示“向西南方向移动”
D. 向量与夹角的余弦值为
11.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的值域为
C. 当取得最大值时， D. 当取得最大值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，且，则 ______．
13.已知角的终边经过点，则 ______， ______．
14.八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为______
参考数据：取，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，，设，．
用，表示，．
证明：，，三点共线．
若，，，求．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求周长的最大值．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求，，．
已知函数．
求的分段解析式；
若在上的图象与直线恰有个公共点，求的取值范围．
19.本小题分
若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源和的同源角．
若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由．
如图，同源和的同源角为和，且．
求；
若，求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，
得；
由，
得
．
16.在平行四边形中，，，设，，
则，
；
证明：由题意得，
，
因为，所以，，三点共线；
解：若，，，
．
17.根据题意可知，，
根据正弦定理得，
在中，，则，
则，
得，
在中，，则，所以；
在中，由余弦定理得，
由知，又，
则，
即，
又，则，
得，则，
当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为．
18.由的部分图象知，，，所以．
由的图象过点，所以，解得，
因为，所以．
当时，，
此时，解得．
当时，，
此时，解得．
所以．
由，得．
由，得，
即或，
因为在上的图象与直线恰有个公共点，
所以，
解得，即的取值范围是．
19.和等腰直角三角形为同源三角形，理由如下：
在中，，，
由正弦定理，
得，
因为，所以，
因为在等腰直角三角形中，存在大小为的内角，
所以和等腰直角三角形为同源三角形；
由题意得，，，四点共线，设在边上的高为，
则，，的高均为，
因为，，
则，，，
所以，，
又因为，
同理可得，
两式相乘整理可得：，
所以，
若，因为，则，
由知，设，则，
由，得．
在中，由余弦定理可得，
所以，
则．
由，得，
当时，的面积取得最大值，且最大值为．
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