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2024-2025学年山东省淄博市张店区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等于( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，分别是边，上的点，且若，，，则的长是( )
A. B.
C. D.
3.下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，∽若，则的对应角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
5.如表是代数式的部分值的情况．
根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在的正方形网格中，与两个三角形的顶点都在该网格的格点上是位似三角形若取格点，，，，则其中是这两个三角形的位似中心的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在矩形中，摆放着正方形点在上和正方形点在上，延长交于点若，，则阴影部分矩形的面积等于( )
A. B.
C. D.
8.已知四边形是菱形，其两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
9.我国古代数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程正根的几何解法的构图是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在边长为的正方形中，点在对角线上，连接，过点作的垂线交边于点，交的延长线于点若，则的长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.要使有意义，则的取值应满足的条件是______．
12.设，是方程的两个实数根，则的值是______．
13.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔在屏幕竖直放置上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______．
14.如图，在矩形中，，点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是______．
15.如图，在边长为的菱形中，，，分别是边，上的点，将沿翻折若使得点的对应点恰好落在该菱形的一条边上，且，则 ______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：；
已知，，求的值．
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
如图，在中，，于点．
求证：∽；
若，，求．
19.本小题分
阅读下列材料：
；
；
；
以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
回答下列问题：
将分母有理化后的结果为______；
当为正整数时， ______；
计算的值．
20.本小题分
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元．
连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？
21.本小题分
如图，在中，，为边上一点，过点作于点，过点作，交延长线于点．
求证：；
如图，当为边中点时，连接，．
求证：四边形是菱形；
当为多少度时，四边形是正方形？并请说明理由．
22.本小题分
下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务．
【阅读材料】
解方程：．
小颖同学的解法：将原方程变形，得，
再变形，得，
所以，，
所以，，
所以，，
直接开平方并整理，得．
所以，原方程的解为．
【用以致学】
请运用小颖同学的解法解下列方程：
；
．
【总结感悟】
若在用小颖的方法解关于的方程是常数时，可将其变形为也是常数，则______，______用含，的式子表示，
23.本小题分
【问题情境】
小明学习了正方形的相关知识之后，在一次“综合与实践”课上对正方形进行了更加深入的探究性学习如图，是边长为的正方形的边上的一个动点点不与顶点，重合，连接设，将线段绕点顺时针旋转角，得到线段，连接并延长交射线于点，连接．
【初步探究】
若，则______度；
在的条件下，连接，请直接写出线段与线段之间的数量关系和位置关系；
【深入探究】
如图，随着点的运动，旋转角度的大小也在发生变化，小明发现：在点运动的过程中，始终存在请证明；
【拓展延伸】
如图，连接，取的中点，连接，，小明又发现：在点运动的过程中，存在最小值请直接写出的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.原式
；
，
，，
．
17.，
配方得，，
解得，，
所以，原方程的解为，；
，
因式分解得，，
解得，或，
所以，原方程的解为．
18.证明：于点，
，
，
，
，
∽．
解：∽，
，
，，
，
的长是．
19.；
故答案为：；
当为正整数时，；
故答案为：；
原式
．
20.解：设每次下降的百分率为
根据题意得：
解得：，不合题意舍去
答：每次下降
设涨价元
解得：，不合题意舍去
答：每千克应涨价元．
21.证明：，
，
，
，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
．
证明：为的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形是菱形．
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
，，
，
，
为的中点，
，
，
又四边形是菱形，
四边形是正方形．
22.将原方程变形，得，
，
，
，
直接开平方并整理，得，，
原方程的解为，；
将原方程变形，得，
，
，
，
直接开平方并整理，得，，
原方程的解为，；
可将其变形为，
，
，
故答案为：，．
23.解：四边形是正方形，
，，
，线段绕点顺时针旋转角，得到线段，
，，，
，，
，
故答案为：；
解：，，理由如下：
如图所示，连接，
由得，，，，，
，
在与中，
，
≌，
，，
在中，，
，
，即；
证明：如图所示，连接，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，即，
由旋转知，，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，即，
；
解：连接，，交于点，连接，
四边形是正方形，
，，，
，，，
为的中点，，
，
如图，在上取一点，使，
，
又，
∽，
，
，
，
点，是定点，点是动点，
，当且仅当、、共线时，取最小值．
过点作于点，
正方形中，，
，
，
，
，
，
即的最小值为．
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