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2024-2025学年山东省济南市槐萌区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.量角器每条刻度线上都标记着两个角度，如和标记在同一刻度线上，那么如图所示同一刻度上的两个角度表示的和是一对( )
A. 对顶角 B. 余角 C. 同位角 D. 补角
3.下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.小强同学将一副三角板按如图所示的方式放置，图中，，点是公共顶点，边，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.某科研小组通过实验获取的声音在空气中传播的速度与空气温度之间的一组数据如表：
空气温度
声速
根据表格中的数据，判定下列说法不正确的是( )
A. 在这个变化中，自变量是空气温度，因变量是声速
B. 空气温度越高，声速越快
C. 当空气温度为时，声音可以传播
D. 当空气温度每升高，声速相应增加
6.“天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程下列哪组解是这个二元一次方程的解( )
A. B. C. D.
7.如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为( )
A. B.
C. D.
8.月日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动活动中，小阳和小光展开了如下对话：
小阳说：“我比你多解了道题”
小光回应：“如果你给我道题，我的解题数量就是你的两倍啦”
若两人的陈述均为真，设小阳解了道题，小光解了道题，则可列方程组( )
A. B.
C. D.
9.如图，等边三角形的边长为，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点若，则长为( )
A.
B.
C.
D.
10.仔细观察，探索规律：
；；则的个位数字是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不懂做的情况时，如果你随便选一个答案假设每个题目有个备选答案，那么你答对的可能性为______．
12.如图，将一个长方形沿着直线折叠，顶点刚好落在边上的点处，若，则的度数为______度
13.如图，为等腰直角三角形，，直线经过点，作于点，作于点，若，，则 ______．
14.计算： ______．
15.如图，在中，，取边上一点，将沿折叠，若点恰好落在的中点上，则的度数是______．
16.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度米与火车行驶时间秒之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：火车的长度为米；火车的速度为米秒；火车整体都在隧道内的时间为秒；隧道长度为米其中正确的结论______填序号
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19.本小题分
解方程组：．
20.本小题分
如图所示，、相交于点，是上一点，是上一点，且．
试说明：；
若，，求的度数．
21.本小题分
如图所示，由每一个边长均为的小正方形构成的正方形网格中，点，，，，均在格点上小正方形的顶点为格点，利用网格画图．
画出关于直线对称的；
的面积为______；
在线段上找一点，使得保留必要的画图痕迹，并标出点位置
22.本小题分
某校为促进学生的体能发展，培养学生的运动习惯，特开展“运动悦生活”主题活动同学们可以选择不同的体育运动进行每日打卡，当运动量累计达到一定标准，即可领取相应的奖励下面是针对跳绳运动的两种打卡方式：
方式一：每天跳绳个；
方式二：第一天跳绳个，之后每天跳绳数量是前一天的倍．
表一每天跳绳个数
天数
方式一
方式二
表二累计跳绳个数
天数
方式一
方式二
根据上述两种打卡方式补全表二；
根据表二，以天数为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势其中表示方式二变化趋势的图象是______填或，根据趋势判断，从第______天完成打卡时开始，选择方式二累计跳绳的个数超过方式一．
23.本小题分
根据以下素材，探索完成任务．
素材 某体育用品商场销售、两款足球，款、款足球的进价分别为元、元，售价分别为元、元若该商场在月份购进款、款两种足球共个，进货共用元．
素材 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场月份推出以下两种促销方案两种方案不可叠加使用；
“买五赠一”：即购买个款足球赠送个款足球；
款、款足球均打九折销售．
问题解决
任务 求月份该商场购进款、款足球各多少个？
任务 某校月份打算在该商场购买个款足球和个款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？
24.本小题分
如图，是的平分线，点在射线上，、是直线上的两动点，点在点的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交直线、于点、点，连接、．
如图，当、两点都在射线上时，猜想线段与数量关系是______．
小明想运用添加辅助线、构造全等三角形的方法，证明中的数量关系，如图请你帮助小明完善说理过程．
理由如下：连接，
垂直平分已知，
______，
是等腰三角形等腰三角形定义，
______等腰三角形的两个底角相等，
是的平分线已知，
角平分线的定义，
______等量代换，
请你填空并完成剩下的说理过程
如图，当、两点都在射线的反向延长线上时，中的结论是否仍然成立，并说明理由．
25.本小题分
问题：
有一个正方形的边长为，面积为，一个长方形的长和宽分别为和，面积为，试比较和的大小．
尝试思考：
甲组认为是一个变量，可以取几个特殊值验证：
填空：当时，______；当时，______；
乙组提出质疑：以上结论是否具有一般性？大家开始了探究
思考交流：
丙组提出比较两个整式的大小可采用“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
据此得到： ______用含的代数式表示．
为了比较与的大小关系，丁老师给出了问题解决策略：
对于形如的二次三项式，可以写成的形式但对于二次三项式，就不能直接写成完全平方的形式了对此，我们可以这样解决：
像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
如果是完全平方式，则 ______．
二次三项式配方后可变形为______，该式子的值______填“”“”或“”．
问题解决：根据你学到的解题策略写出本题完整的解答过程．
有一个正方形的边长为，面积为，一个长方形的长和宽分别为和，面积为，试比较和的大小．
回顾反思：
回顾解决本题的过程，你得到了哪些解决此类问题的策略？字以内
26.本小题分
【教材呈现】如图为北师大版七年级下册数学教材第页的部分内容：
尝试交流
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢？
如图，已知的边和边长为的边，以及边的对角，你能用尺规确定顶点的位置吗？把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么？与同伴进行交流．
【操作发现】如图，通过作图我们可以发现，此时即“边边角”对应相等两个三角形______全等填“一定”或“不一定”；
【探究说理】如图，在和中，，，说明：．
小明的做法是，在上取一点，使通过证明≌，最终得到其中，小明证明≌的依据是______；
A.
B.
C.
D.
【拓展应用】已知在中，，点在的延长线上，点在射线上，，连接交直线于点．
当点在线段上时，如图所示，求证：；
过点作交直线于点，若，，直接写出线段的长．
本题的解答过程无需书写证明部分的理由
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：原式
．
18.解：原式
．
当，时，
原式．
19.解：，
，得，
解得，
把代入，得，
解得，
所以方程组的解为．
20.，
，
，
，
；
由可知，，
，
，
．
21.解：如图所示，即为所求．
的面积．
故答案为：；
如图所示，点即为所求．
22.结合表二数据，
方式一：
得天数为，则累计跳绳个数为，
天数为，则累计跳绳个数为，
天数为，则累计跳绳个数为，
天数为，则累计跳绳个数为，
，
以此类推：天数为，则累计跳绳个数为；
方式二：
得天数为，则累计跳绳个数为，
天数为，则累计跳绳个数为，
天数为，则累计跳绳个数为，
天数为，则累计跳绳个数为，
，
以此类推：天数为，则累计跳绳个数为，
故答案为：，；
根据表二，以天数为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势．
其中表示方式二变化趋势的图象是，根据趋势判断，
依题意，当时，则，，
当时，则，，
，
从第天完成打卡时开始，选择方式二累计跳绳的个数超过方式一；
故答案为：，
23.解：任务设月份该商场购进款足球个，款足球个，
根据题意得：，
解得：．
答：月份该商场购进款足球个，款足球个；
任务选择促销方案所需费用为元；
选择促销方案所需费用为元，
，
选择促销方案更合适．
24.猜想线段与数量关系是：，
故答案为：；
理由如下：连接，如图所示：
垂直平分已知，
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
是等腰三角形等腰三角形定义，
等腰三角形的两个底角相等，
是的平分线已知，
角平分线的定义，
等量代换，
在和中，
，
≌，
全等三角形对应边相等．
故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；；；
仍然成立，理由如下：
连接，如图所示：
垂直平分，
，
是等腰三角形，
，
是的平分线，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
25.解：尝试思考：由题意，当时，，，
；
当时，，，
；
故答案为：，；
思考交流：由题意，，，
．
故答案为：；
由题意，是完全平方式，且，
．
故答案为：．
由题意得，．
又对于任意实数都有，
．
故答案为：；．
问题解决：由题意，，
．
．
26.解：通过作图我们可以发现，此时即“边边角”对应相等两个三角形不一定全等．
故答案为：不一定；
证明：在上取一点，使，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；
证明：如图，在上取一点，使，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
；
解：线段的长为或；理由如下：
如图，当点在线段上时，
≌，
，
．
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
同可证，≌，
，
．
，，
，
综上可知，线段的长为或．
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