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第二章　有理数及其运算
2　有理数的加减运算
第4课时　有理数的加减混合运算
有理数的加减混合运算
一般步骤：(1)将有理数的加减混合运算统一成加法运算，再省略加号和加数前面的括号；
(2)最后按有理数加法法则进行计算，可以利用加法运算律简化计算。
易错点：注意数的符号。
类型之一　有理数的加减混合运算
　计算：
(1)(－7)－(－8)＋(－2)－(－12)＋(＋3)；
(2)(－6.3)－(－7.5)－(－2)＋(－1.2)；
(3)－－。
类型之二　有理数加减法的应用
　近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，小明家购置了一辆续航为500km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“＋”，不足50km的记为“－”，刚好50 km的记为“0”。
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程/km －8 －12 －17 ＋21 ＋19 ＋27 ＋33
（1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶 km。
（2)小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少千米
(3)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，充电指示灯就会发出充电提示。请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，充电指示灯会不会发出充电提示。
1．在每个数前面填上相应的性质符号并求值。
(－5)－(－10)＋(－6)－(＋61)＋(＋5)
＝______5______10______6______61______5
＝__________。
2．[2024·河西区期中]计算：1.5－2＋3－0.28＝____________。
3．[2024·河北区期中]计算：2.5＋－1.75＋＝__________。
4．计算：
(1)(－21.6)＋3－7.4＋；
(2)7－＋1.5；
(3)－7－(－3.2)＋(－1)。
1．下列各式结果等于3的是(　 　)
A．(－2)－(－9)＋(＋3)－(－1)
B．0－1＋2－3＋4－5
C．4.5－2.3＋2.5－3.7＋2
D．－2－(－7)＋(－6)＋0＋(＋3)
2．某地某天早晨的气温是－2 ℃，到中午升高了6 ℃，晚上又降低了7 ℃，那么晚上的温度是________℃。
3．计算：
(1)(＋4.3)－(－4)＋(－2.3)－(＋4)；
(2)(－3.5)＋＋－＋0.75－；
(3)＋＋－－。
4．[2024·沈阳期中]在某次军事演习中，一核潜艇在海下时而上升，时而下降。核潜艇的初始位置在海平面以下200 m，下面是核潜艇在某段时间内的运动情况(把上升记为“＋”，下降记为“－”，单位：m)：
－280，－20，30，20，－50，60，－70。
(1)现在核潜艇处在什么位置？
(2)假如核潜艇每上升或下降1 m，核动力装置所提供的能量相当于20 L汽油燃烧所产生的能量，那么在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？
5．(创新意识)[2025·沈河区期末]幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（图1），把洛书用今天的数学符号译出来，就是一个三阶幻方（图2）。三阶幻方的每行、每列和每条对角线上的三个数之和均相等，如图3所示是另一个三阶幻方，则m－n的值为 。
6．(创新意识)幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一。“洛书”即三阶幻方，它的每行、每列和每条对角线上三个数之和均相等。如图所示的方格中填写了一些数，当x的值为 时，它能构成一个三阶幻方。
参考答案
【归类探究】
【例1】(1)14　(2)2　(3)
【例2】(1)50 (2)小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了413 km。
(3)充电指示灯不会发出充电提示。
【当堂测评】
1．－　＋　－　－　＋　－57　2．2.22
3.－2
4．(1)－26　(2)9　(3)－6
【分层训练】
1．C　2.－3
3．(1)2　(2)－4.25　(3)－
4．(1)现在核潜艇处在海平面下510 m。
(2)在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于10 600 L汽油燃烧所产生的能量。
5．5　6．－5
。第二章　有理数及其运算
2　有理数的加减运算
第1课时　有理数的加法法则
有理数的加法法则
法　　则：(1)同号两数相加，取________的符号，并把绝对值________。
(2)异号两数相加，绝对值相等时和为______；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值______较小的绝对值。
(3)一个数同0相加，______________。
注　　意：有理数加法运算的结果仍为有理数。任何一个有理数都由两部分组成：符号、绝对值。进行有理数加法运算可分两步：
(1)判断和的符号；
(2)确定和的绝对值。
类型之一　有理数的加法法则
　计算：
(1)(＋21)＋(－31)；
(2)(－3.125)＋；
(3)＋；
(4)＋0.3。
类型之二　有理数的加法的应用
　甲地海拔是－63 m，乙地比甲地高24 m，丙地比乙地高72 m，乙、丙两地海拔分别是多少米？
1．计算9＋(－3)的结果是(　 　)
A．6 B．－6
C．3 D．－3
2．[2024·沈阳月考]下列运算结果为1的是(　 　)
A．(＋1)＋(－2) B．(－1)＋2
C．(＋1)＋(－1) D．(－3)＋2
3．下列计算中，错误的是(　 　)
A．3＋(－5)＝－2
B．＋(－0.675)＝0
C．＋(－6.6)＝－7
D．(－1.875)＋＝0
4．比－1大1的数是(　 　)
A．2 B．1
C．0 D．－2
5．[2024·沈阳期中]下列问题情境，不能用加法算式－2＋10表示的是(　 　)
A．水位先下降2 cm，再上升10 cm后的水位变化情况
B．某日最低气温为－2 ℃，温差为10 ℃，该日最高气温
C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱
D．数轴上表示－2与10的两个点之间的距离
1．如果两个数的和是正数，那么(　 　)
A．这两个数都是正数
B．一个加数为正，另一个加数为零
C．一正一负，且正数的绝对值较大
D．以上三种情况都有可能
2．气温由－5 ℃上升了4 ℃，最终的气温是(　 　)
A．－1 ℃ B．1 ℃
C．－9 ℃ D．9 ℃
3．在下列各题的括号里填上适当的数。
(1)(－2)＋(________)＝－8；
(2)－10＋(＋6)＝(________)；
(3)＋＝；
(4)＋(－1)＝－。
4．一个物体在数轴上左右运动，规定向右为正，向左为负，按下列方式运动，列出算式表示其运动后的结果：
(1)先向左运动2个单位长度，再向右运动7个单位长度。列式：__________。
(2)先向左运动5个单位长度，再向左运动7个单位长度。列式：___________。
5．计算：
(1)(－8)＋(－5)；
(2)13＋(－21)；
(3)17＋(－17)；
(4)＋。
6．一个数是25，另一个数比25的相反数小7，则这两个数的和为(　 　)
A．7 B．－7
C．57 D．－57
7．数轴上有两个数a，b，且a＞0，b＜0，a＋b＜0，则四个数a，b，－a，－b的大小关系为______________________(用“＜”连接)。
8．[2024·沈阳月考]已知|a|＝3，|b|＝5，根据下列条件，求a＋b的值：
(1)a为正数，b为负数；
(2)a，b均为负数；
(3)a，b同号。
9．(模型观念)下面列出了国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京早的时数)：
巴黎，－7；东京，＋1；芝加哥，－14。
(1)如果现在的北京时间是11月20日17点，那么现在的芝加哥的时间是多少？东京时间是多少？
(2)冬冬17点想给远在巴黎的父亲打电话，你认为他打电话的时间合适吗(7：00～20：00打电话均为合适时间)
参考答案
【预习导航】
(1)相同　相加　(2)0　减　(3)仍得这个数　
【归类探究】
【例1】(1)－10　(2)0　(3)　(4)－3
【例2】乙地海拔为－39 m，丙地海拔为33 m。
【当堂测评】
1．A　2.B　3.B　4.C　5.D
【分层训练】
1．D　2.A　3.(1)－6　(2)－4　(3)＋　(4)＋　　
4．(1)－2＋7　(2)－5＋(－7)　
5．(1)－13　(2)－8　(3)0　(4)
6．B　7.b<－a8．(1)a＝3，b＝－5，a＋b＝－2。
(2)a＝－3，b＝－5，a＋b＝－8。
(3)a＋b的值为±8。
9．(1)芝加哥的时间是11月20日3点，东京的时间 11月20日18点。
(2)根据巴黎和北京的时差为－7，可得巴黎的时间是10：00，合适。
。第二章　有理数及其运算
2　有理数的加减运算
第5课时　有理数的加减混合运算的实际应用
方　　法：(1)对于几次连续的变化情况可以用有理数的加减法去解决；
(2)很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决，根据需要可以人为地规定零点；
(3)我们可以借助表格和折线统计图形象直观地反应事物的变化情况。
类型　有理数的加减混合运算的应用
　下表记录的是流沙河今年某一周内的水位变化情况(正数表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降)，上周星期六的水位已达到警戒水位33 m。
星期 日 一 二 三 四 五 六
水位变化/m ＋0.2 ＋0.8 －0.4 ＋0.2 ＋0.3 －0.5 －0.2
(1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升了，还是下降了？
(3)以警戒水位作为0点，用折线统计图表示本周的水位情况。
有一位患者每天需要测量一次血压，下表是该患者星期一至星期五收缩压的变化情况(“＋”表示收缩压比前一天上升，“－”表示收缩压比前一天下降)，该患者上周星期日的收缩压为160 mmHg。
星期 一 二 三 四 五
收缩压的变化/mmHg ＋30 －20 ＋15 ＋5 －20
(1)请算出本周星期五该患者的收缩压(要求先列式后计算)；
(2)若收缩压大于或等于180 mmHg为重度高血压，该患者本周哪几天的血压属于这个范围？
1．下表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况(上周日该农产品的批发价格为2.7元/kg)。
星期 一 二 三 四 五 六 日
价格变化/元 ＋0.2 －0.15 ＋0.25 ＋0.1 －0.3 ＋0.2 －0.1
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌。
(1)本周星期______，该农产品的批发价格最高，批发价格是__________元/kg；本周星期______，该农产品的批发价格最低，批发价格是____________元/kg。
(2)与上周日相比，该农产品的批发价格是上涨了，还是下跌了？变化了多少？
2．下表是小明记录的10月份某一周内每天中午12时的气温的变化情况(气温比前一天上升记为正数，下降记为负数)。
(1)若上周六中午12时的气温为10 ℃，则本周每天中午12时的实际气温是多少？请完成下表。
星 期 日 一 二 三 四 五 六
气温变化/℃ ＋3 －2 ＋5 －2 －1 ＋4 －1
实际气温/℃
(2)本周每天中午12时的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？
(3)请你用折线统计图表示该周的气温变化情况。
3．(应用意识)下表是某水库一周内的水位变化情况(单位：m)：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录 ＋2.5 ＋1.2 ＋2.1 －0.3 －0.5 ＋0.2 －0.8
注：该水库的警戒水位是35.5 m，表格中“＋”表示比警戒水位高，“－”表示比警戒水位低。
(1)该水库本周水位最高的一天是星期_____，这一天的实际水位是______m。
(2)若规定水位比前一天上升用“＋”，比前一天下降用“－”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表(单位：m)：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 ＋2.3 －0.2 －1
(3)与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
参考答案
【归类探究】
【例】(1)周四的水位最高，周日的水位最低。
(2)本周末河流的水位是上升了。
(3)略
【当堂测评】
(1)本周星期五该患者的收缩压为170 mmHg。
(2)本周星期一、星期三、星期四这3天的血压属于重度高血压这个范围。
【分层训练】
1．(1)四　3.1　二　2.75
(2)与上周日相比，该农产品的批发价格是上涨了，上涨了0.2元。
2．(1)13　11　16　14　13　17　16　
(2)最高气温与最低气温相差6 ℃。　(3)略
3．(1)一　38　(2)－1.3　＋0.9　－2.4　
＋0.7　(3)与上周末相比，本周末该水库水位是下降了，下降了1 m。
。第二章　有理数及其运算
2　有理数的加减运算
第3课时　有理数的减法
1．有理数减法的意义
意　　义：已知两个数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算。减法是加法的逆运算。
2．有理数的减法法则
法　　则：减一个数，等于加这个数的__________。
表达式：a－b＝a＋____________。
步　　骤：(1)根据法则将减法转化为加法；
(2)根据有理数加法法则，计算出结果。
注　　意：(1)注意“两变”，即改变运算符号，同时改变减数的性质符号(变为减数的相反数)。
(2)有理数的减法没有交换律，被减数和减数不能交换位置，也不能简单应用结合律。当将题中的所有减法都转化成加法后，就能运用加法的交换律和结合律进行简化运算。
类型之一　有理数的减法运算
　计算：
(1)－；　　
(2)(－2)－(＋10)；
(3)－；　
(4)0－(－6.3)。
类型之二　有理数的减法在实际生活中的应用
　[2024·铅山县期中]已知甲地海拔是300 m，乙地海拔是－200 m，丙地比甲地低50 m，丁地比乙地高50 m，试问：
(1)丙地海拔为多少？丁地海拔为多少？
(2)哪个地方最高，哪个地方最低？
(3)最高处比最低处高多少米？
1．[2023·临沂]计算(－7)－(－5)的结果是(　 　)
A．－12 B．12
C．－2 D．2
2．[2024秋·沈阳阶段练习]下列运算正确的是(　 　)
A．(－1)＋(＋3)＝4
B．(－2)＋(－3)＝－5
C．(－2)－(－5)＝－3
D．(－3)－(－5)＝－8
3．圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6 ℃，最高气温为2 ℃，则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)为(　 　)
A．－8 ℃ B．－4 ℃
C．4 ℃ D．8 ℃
4．计算：
(1)[2023·滨州]2－|－3|＝________；
(2)0－(－6)＋(－9)－(－12)＝______。
1．下列说法正确的是(　 　)
A．两数的差一定比被减数小
B．两数的和一定大于其中一个加数
C．减去一个数等于加上这个数的相反数
D．一个正数减去一个负数的差必小于零
2．比－0.5小5的数是____________，比－7.5大10的数是__________。
3．计算：
(1)5.6－(－3.2)；
(2)(－1.24)－(＋4.76)；
(3)－；
(4)1－－－；
(5)(－1.2)－[(－1)－(＋0.3)]。
4．[2024·沈阳期中]已知|x|＝3，|y|＝7。
(1)若x＞0，y＜0，求x＋y的值；
(2)若|x＋y|＝x＋y，求x－y的值。
5．(创新意识)【教材呈现】下面是北师版七年级上册数学教材第48页的第22题内容。
数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b。
(1)当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离。
a＝3，b＝6；a＝－3，b＝6；a＝－3，b＝－6。
※(2)用a，b表示A，B两点间的距离。
【阅读材料】下面是聪聪同学在完成第48页的第22题内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖。
9月20日　星期三　晴 我发现，若数轴上A，B两点分别表示数m，n，那么A，B两点之间的距离与m，n两数有如下关系：AB＝。 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题。我自编了一道数学题： 如图，数轴上的点A，B分别表示有理数3，－9。 ①求A，B两点之间的距离。 ②点C为数轴上一点，且点C到A，B两点的距离相等，请你求出点C所表示的数。
【解答问题】请同学们阅读完日记之后，
(1)帮聪聪同学把被墨迹覆盖的部分补充完成：AB＝______________；
(2)回答聪聪同学自编的两个问题。
参考答案
【预习导航】
2．相反数　(－b)　
【归类探究】
【例1】(1)　(2)－12　(3)－1　(4)6.3
【例2】(1)丙地海拔为250 m，丁地海拔为－150 m。
(2)甲地海拔最高，乙地海拔最低。
(3)最高处比最低处高500 m。
【当堂测评】
1．C　2.B　3..D　4.(1)－1　(2)9
【分层训练】
1．C　2.－5.5　2.5　
3．(1)8.8　(2)－6　(3)2　(4)－　(5)0.1
4．(1)－4　(2)－4或－10
5．(1)
(2)①12　②－3
。第二章　有理数及其运算
2　有理数的加减运算
第2课时　有理数的加法运算律
1．加法交换律
原　　理：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。
字母表达式：a＋b＝__________。
易错点：在运用加法交换律时，应注意加数的符号，交换时要连同加数的符号一起进行交换。
2．加法结合律
原　　理：三个有理数相加，先把前两个相加，或者先把后两个相加，和________。
字母表达式：(a＋b)＋c＝__________________。
原　　则：应用加法结合律时可遵循以下原则：
(1)相加得零的数相结合；
(2)相加得整数的数相结合；
(3)同分母的或容易化为同分母的分数相结合；
(4)符号相同的数相结合。
类型之一　有理数的加法运算律
　计算：
(1)(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－32)；
(2)－(－5)＋＋(＋1.125)＋。
类型之二　有理数的加法在实际生活中的应用
　有8筐杨梅，以每筐5 kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后的记录如图：
回答下列问题：
(1)这8筐杨梅中，最接近5 kg的那筐杨梅为多少千克？
(2)以每筐5 kg为标准，这8筐杨梅总计超过多少千克或者不足多少千克？
(3)若杨梅每千克的售价为25元，则出售这8筐杨梅可得多少元？
1．计算7＋(－3)＋(－4)＋18＋(－11)＝(7＋18)＋[(－3)＋(－4)＋(－11)]时，运用了(　 　)
A．加法交换律
B．加法结合律
C．分配律
D．加法交换律和结合律
2．下列变形，运用加法运算律正确的是(　 　)
A．3＋(－2)＝2＋3
B．4＋(－6)＋3＝(－6)＋(4＋3)
C．[5＋(－2)]＋4＝[5＋(－4)]＋2
D．＋(－1)＋＝＋(＋1)
3．用简便方法计算：
(1)23＋(－17)＋6＋(－22)；
(2)1＋＋＋；
(3)1.125＋＋＋(－0.6)；
(4)(－2.48)＋(＋4.33)＋(－7.52)＋(－4.33)。
1．计算＋(－2.5)＋3.5＋＝＋[(－2.5)＋3.5]时，运用了(　 　)
A．加法交换律
B．加法结合律
C．加法交换律和结合律
D．以上均不对
2．计算：(＋176)＋(－125)＋(＋224)＋(－275)＝[________________＋________________]＋[________________＋________________]＝(＋400)＋(－400)＝______。由此可知，先把______数和______数分别结合在一起相加，计算比较简便。
3．用简便方法计算：
(1)(－83)＋(＋26)＋(－17)＋(－26)；
(2)4.1＋＋＋(－10.1)；
(3)＋。
4．[2024·沈阳期中]王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作＋1，向下一层记作－1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下(单位：层)：＋6，－3，＋10，－8，＋12，－7，－10。
(1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼。
(2)该大楼每层高3 m，若电梯每向上或向下1 m需要耗电0.2千瓦时，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少千瓦时？
5．(创新意识)[2024秋·河南南阳期中]定义“☆”运算，观察下列运算：
（＋3）☆（＋15）＝＋18，
（－14）☆（－7）＝＋21，
（－2）☆（＋14）＝－16,
（＋15）☆（－8）＝23，
0☆（－15）＝＋15，（＋13）☆0＝＋13。
（1)请你认真思考上述运算，归纳“☆”运算的法则：两数进行“☆”运算时，同号 ，异号 ，并把绝对值 。
特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算， 。
（2)计算:（＋11）☆[0☆（－12）]。
（3)试通过计算说明[（＋11）☆0]☆（－12）与（＋11）☆[0☆（－12）]相等吗？“☆”运算 结合律。（填“满足”或“不满足”)
参考答案
【预习导航】
1．b＋a　2.不变　a＋(b＋c)　
【归类探究】
【例1】(1)－17　(2)5
【例2】(1)最接近5 kg的那筐杨梅的质量为4.9 kg。
(2)这8筐杨梅总计超过0.1 kg。
(3)出售这8筐杨梅可得1 002.5元。
【当堂测评】
1．D　2.B
3．(1)－10　(2)　(3)－3　(4)－10
【分层训练】
1．C　2.(＋176)　(＋224)　(－125)　(－275)　0　正　负　
3．(1)－100　(2)－5.5　(3)14.5
4．(1)王先生最后能回到出发点1楼。
(2)他办事时电梯需要耗电33.6千瓦时。
5．（1）得正 得负 相加 都等于这个数的绝对值
（2）23 （3）不满足
。

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