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第二章　有理数及其运算
4　有理数的乘方
第1课时　有理数的乘方
1．有理数乘方的概念
定　　义：求n个相同因数a的积的运算叫作________，乘方的结果叫作______，a叫作________，n叫作________。
表示方法：＝an。an读作“a的n次幂”(或“a的 n次方”)。
注　　意：(1)当底数是负数或分数时，必须用小括号将底数括起来；(2)一个数可以看作这个数本身的一次方。
2．幂的符号规律
规　　律：(1)正数的任何次幂都是________；
(2)负数的偶次幂都是________，负数的奇次幂都是________；
(3)0的任何正整数次幂都是______。
3．乘方的有关性质
性　　质：(1)有理数a的偶次幂是__________，即a2n≥0(n为正整数)。
(2)互为相反数的两个数，偶次幂相等，奇次幂互为相反数，即a2n＝(－a)2n，(－a)2n＋1＝－a2n＋1(n为正整数)。
类型之一　有理数的乘方
　计算：
(1)(－4)3；　
(2)(－2)4；　
(3)3。
类型之二　乘方的运算
　计算：
(1)－(－3)2；　
(2)－(－2)3；
(3)－。
类型之三　乘方在实际生活中的应用
　[2024·沈阳期末]细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂，例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20 min就能分裂一次，1个这种细菌经过2 h可以分裂成多少个细菌？
1．(－2)4表示(　 　)
A．2乘－4 B．2个－4相加
C．4个－2相加 D．4个－2相乘
2.计算的结果是(　 　)
A． B．
C． D．
3．填表：
乘方 65 (－5)4 3 －27
底数
指数
4.计算：
(1)2＝______；
(2)－(－6)3＝__________；
(3)－＝________。
5．《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格中放4粒米……依次类推，每一格均是前一格的2倍，那么他在第20格中所放的米粒数是_________。
1．下列各组数中，互为相反数的一组是(　 　)
A．(－5)2与－52 B．|－4|2与42
C．(－3)2与32 D．－|－2|2与－22
2．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即，请你推算的个位数字是(　 　)
A．6 B．4
C．2 D．8
3．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示。这样捏合到第8次后可拉出__________根细面条。
4．计算：
(1)(－2)2×(－3)2；
(2)－32×；
(3)2÷3；
(4)(－3)2×2×2。
5．《九章算术》中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；蒲生日自半。”其意思是：有蒲这种植物，第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长长度的一半。则第二十日蒲生长的长度为______尺。
6．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”。如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为______________个。
7. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法。如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推。
(1)阴影部分的面积是________；
(2)受（1）的启发，试求出的值；
(3)进而计算：________。
8．（创新意识、推理能力）[2023·沈阳期中] 给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二数记为，第三个数记为，依次类推，第n个数记为（n为正整数）。规定运算：，即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数。
（1）已知一列数－1，2，－3，4，－5，6，－7，8，﹣9，10，则 。
（2）已知一列有规律的数：，，，，…按照这种规律，这列数可以无限的写下去。
①直接写出的值为 ；
②若正整数满足等式，请直接写出 。
参考答案
【预习导航】
1．乘方　幂　底数　指数　2.(1)正数　(2)正数　负数　(3)0　3.(1)非负数　
【归类探究】
【例1】(1)－64　(2)16　(3)－
【例2】(1)－9　(2)8　(3)－
【例3】1个这种细菌经过2 h可以分裂成64个细菌。
【当堂测评】
1．D　2.A　3.6　－5　－　2　5　4　3　7
4．(1)　(2)216　(3)－　5.219
【分层训练】
1．A　2.A　3.256　4．(1)36　(2)3　(3)10　(4)9　
5. 　6.1 838 7.(1) (2) (3)
8．(1)5 (2)－50 (3)367
。第二章　有理数及其运算
4　有理数的乘方
第2课时　科学记数法
科学记数法
定　　义：一般地，一个大于10的数可以表示成____________的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫作______________。
n的确定：用科学记数法表示一个大于10的数时，10的指数(即n的值)比原数的整数位数少1。
注　　意：(1)用科学记数法表示时应特别注意a，n与原数之间的关系；
(2)用科学记数法表示时不改变这个数的符号；
(3)注意单位的变化；
(4)小于－10的数也可以用类似的方法表示，如－9000可以表示为－9×103。
类型之一　用科学记数法表示大数
　用科学记数法表示横线上的数：
(1)我国陆地面积大约为9 600 000 km2；
(2)当地球与火星两颗行星都位于距离太阳最远点，且位于太阳的两边时，两者之间的距离最远，大约为401 000 000 km;
(3)1光年大约等于9.46万亿km。
类型之二　把科学记数法表示的数转换成原数
　把下列用科学记数法表示的数写成原来的数：
(1)3.73×107＝________________________；
(2)－5.01×105＝____________________；
(3)2.51×104＝________________；
(4)1.001×102＝______________。
类型之三　与科学记数法有关的计算
　计算机存储容量的基本单元是字节，用B表示，计算机中一般用KB(千字节)，MB(兆字节)或GB(吉字节)作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1 KB＝210 B，1 MB＝210 KB，1 GB＝210 MB。一款电脑的硬盘存储容量为500 GB，它相当于多少千字节？(结果用科学记数法表示为a×10n，其中a精确到0.01)
1．长白山天池是由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达2 040 000 000 m3。将数据2 040 000 000用科学记数法表示为(　 　)
A．2.04×1010 B．2.04×109
C．2.04×108 D．0.204×1010
2．2024年第一季度，某公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达9.4%。将数据62万用科学记数法表示为(　 　)
A．0.62×106 B．6.2×106
C．6.2×105 D．62×105
3．用科学记数法表示下列各数：
(1)30 000＝______________；
(2)－863 000＝______________________；
(3)－80 800＝______________________；
(4)7 006＝______________________。
1．“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60 000吨。将60000用科学记数法表示为(　 　)
A．6×103 B．60×103
C．0.6×105 D．6×104
2．某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有69 610人，将69 610用科学记数法可以表示为(　 　)
A．6.961×104 B．6.961×105
C．696.1×102 D．6 961×10
3．在某省高品质文体旅融合发展大型产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元。将532亿用科学记数法表示为(　 　)
A．532×108 B．53.2×109
C．5.32×1010 D．5.32×1011
4．用科学记数法表示下列横线上的数：
(1)地球的直径约为12 800 km；
(2)人体大约有100万亿个细胞；
(3)太阳离地球约有150 000 000 km；
(4)一双没洗过的手上各种细菌约有80 000万个。
5．如图，数轴上有O，A，B三点，O为原点，OA，OB分别表示仙女座星系、M87中心黑洞与地球的距离(单位：光年)。下列选项中，与点B表示的数最为接近的是(　 　)
A．5×106 B．107
C．5×107 D．108
6．我国约有9.6×106 km2的土地，平均1 km2的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.5×105 t煤所产生的能量。
(1)一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量(用科学记数法表示)
(2)若1 t煤大约可以发出8×103千瓦时的电能，则(1)中的煤大约可发出多少电能(用科学记数法表示)
7．(模型观念)某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元。
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值。
参考答案
【预习导航】
a×10n　科学记数法
【归类探究】
【例1】(1)9.6×106 　(2)4.01×108 　(3)9.46×1012
【例2】(1)37 300 000　(2)－501 000　(3)25 100　(4)100.1　
【例3】500 GB＝500×210×210 KB＝500×1 024×1 024 KB≈5.24×108 KB。
【当堂测评】
1．B　2.C　3.(1)3×104　(2)－8.63×105　(3)－8.08×104　(4)7.006×103　
【分层训练】
1．D　2.A　3.C　4.(1)1.28×104　(2)1×1014　(3)1.5×108　(4)8×108
5．C
6．(1)一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012 t煤所产生的能量。
(2)(1)中的煤大约可发出1.152×1016千瓦时的电能。
7．(1)Q＝4m＋10n　(2)2.3×105
。

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