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第四章　基本平面图形
2　角
第1课时　角的概念与度量
1．角的概念
定　　义：(1)角由两条具有____________的射线组成，两条射线的____________叫作角的顶点，两条________叫作角的边。
(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点________而成的。
2．平角与周角的概念
平　　角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作________。
周　　角：终边旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作________。
度　　数：1平角＝180°，1周角＝360°。
3．角的单位及其换算
角的单位：度，分，秒，用符号表示为°，′，″。
单位换算：1°＝60′，1′＝60″。
方　　法：①由度化成度、分、秒的形式，即由高位向低位化，需要乘60；
②由度、分、秒形式化成度的形式，即由低位向高位化，需要除以60。
类型之一　角的概念及表示方法
　如图，能用一个字母表示的角有______个，以A为顶点的角有______个，图中所有小于180°的角有______个。
类型之二　角的单位换算
　填空：
(1)直角＝______________，平角＝__________，周角＝__________；
(2)15°＝_______直角，60°＝_______平角，75°＝_______周角；
(3)0.4°＝________′＝______________″，30′18″＝______________°，29.32°＝________°________′________″。
1．[2024·沈阳铁西区期末]下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是(　 　)
2．如图，下列说法错误的是(　 　)
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
3．计算：
(1)57.56°＝________°________′________″；
(2)27°14′24″＝______________°。
4．如图，射线OA表示的方向是________________；射线OB表示的方向是________________；射线OC表示的方向是________________；射线OE表示的方向是____________。
1．下列关于角的说法，正确的个数是(　 　)
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③平角就是一条直线；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
A．1 B．2
C．3 D．4
2．[2024·沈阳月考]如图，下列说法中错误的是(　 　)
A．OA方向是北偏东30°
B．OB方向是北偏西15°
C．OC方向是南偏西25°
D．OD方向是东南方向
3．如图，所有以点O为顶点的角有______个，以点B为顶点的角为______________________________。
4．计算：
(1)°＝______°________′________″；
(2)18.21°＝________°________′________″；
(3)12°15′36″＝______________°；
(4)4 230″＝____________′＝______________°。
5．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1＋∠2－∠3。
6．(推理能力、类比探究)如图，从点O引出的射线(任两条不共线)条数与角的总个数有如下关系：如图1，从点O引出2条射线形成1个角；如图2，从点O引出3条射线共形成3个角；如图3，从点O引出4条射线共形成6个角；如图4，从点O引出5条射线共形成10个角。
图1　　 图2　 　图3 图4　 　图5
(1)观察操作：当从点O引出6条射线时，共形成________个角。
(2)探索发现：如图5，当从点O引出n条射线时，共形成______个角(用含n的式子表示)。
(3)实践应用：8支篮球队进行单循环比赛(参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛)，总的比赛场数为________场。如果n支篮球队进行主客场制单循环赛(参加的每个队都与其他所有队各赛2场)，那么总的比赛场数是________________场。
参考答案
【预习导航】
1．(1)公共端点　公共端点　射线　(2)旋转
2．平角　周角　
【归类探究】
【例1】2　3　7　
【例2】(1)22.5°　36°　45°　(2)　　　(3)24　1 440　0.505　29　19　12　
【当堂测评】
1．A　2.D　3.(1)57　33　36　(2)27.24
4．北偏西30°　南偏西45°　南偏东15°　正北方向　
【分层训练】
1．A　2.A　3.6　∠ABO，∠DBO，∠ABD
4．(1)3　22　30　(2)18　12　36　(3)12.26　(4)70.5　1.175　
5．∠1＋∠2－∠3＝107°30′
6．(1)15　(2)　(3)28　n(n－1)　
。第四章　基本平面图形
2　角
第2课时　角的比较
1．角的比较方法
叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧就可以比较大小。
度量法：用量角器量出角的度数，再根据角的度数来比较角的大小。
2．角的平分线
定　　义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的__________。
类型之一　角的大小比较
　如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE＝γ，则(　 　)
A．β＜α＜γ
B．β＜γ＜α
C．α＜γ＜β
D．α＜β＜γ
类型之二　角度的运算
　计算：
(1)90°－36°12′15″；
(2)32°17′53″＋42°42′7″；
(3)25°12′35″×5；
(4)53°÷6。
类型之三　与角平分线有关的计算
　已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC。
(1)【初步尝试】如图1，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数为__________；
(2)【类比探究】在图1中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数；
(3)【拓展运用】如图2的位置关系，其余条件不变，探究∠AOC与∠DOE之间的数量关系，直接写出你的结论。
图1 　　图2
1．[2023·长安区期末]用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是(　 　)
2．[2024·沈阳期末]如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COB，∠BOD=20°，则∠AOD的度数为(　 　)
A．40° B．60°
C．80° D．100°
3．如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为________________。
1．如图是一副特制的三角尺，用它们可以画出一些特殊角，下列5个角：9°，18°，55°，63°，117°，能用这副特制的三角尺画出的角有(　 　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
2．[2025·沈阳铁西区期末]如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角满足的关系为 。
3．如图，OC是∠AOB的平分线，∠AOD＝2∠BOD，∠COD＝18°，求∠BOD的度数。
4．[2024·铁西区期末]如图，已知∠ABC＝30°，∠CBD＝70°，BE是∠ABD的平分线，求∠CBE的度数。
5．[2024·沈阳期末]如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC，OP平分∠AOC，ON平分∠POB，∠AOC＝38°，求∠CON的度数。
6．(推理能力、分类讨论)已知∠AOB＝90°。
(1)如图1，若OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠EOD＝60°，则∠DOC的度数是__________；
(2)如图2，若OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠DOC＝30°，求∠EOD的度数；
(3)若OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠DOC＝α(0°＜α＜180°)，则∠EOD的度数是____________________(直接填空)。
图1 　　图2
参考答案
【预习导航】
2．平分线　
【归类探究】
【例1】B
【例2】(1)53°47′45″　(2)75°　(3)126°2′55″　(4)8°50′
【例3】(1)15°　(2)∠DOE＝α
(3)∠AOC＝2∠DOE
【当堂测评】
1．D　2.D　3.150°42′
【分层训练】
1．B　2.α＋γ－β＝90°　3.∠BOD＝36°　4.∠CBE＝50°
5．∠CON＝61.5°
6．(1)15°　(2)∠EOD＝45°　(3)45°或135°
。第四章　基本平面图形
2　角
第3课时　尺规作一个角等于已知角
用尺规作一个角等于已知角
如图，已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB。
作　　法：1.作射线________________(如图)。
2．以点O为________，以__________为半径作弧，交OA于点______，交OB于点______。
3．以点O′为________，以________的长为半径作弧，交O′A′于点_______。
4．以点C′为________，以________的长为半径作弧，交前面的弧于__________。
5．过点D′作射线_____________。
∠A′O′B′就是所要作的角。
类型之一　尺规作图
　已知：线段a，b，∠α，∠β(如图)。
求作：
(1)线段AB＝a＋b；
(2)∠MON＝∠α＋∠β。(要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)
类型之二　钟面角
　(1)若时针由2时30分走到2时55分，分针、时针各转过多大的角度？
(2)钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
如图，已知∠BAD，点C在AD上，用直尺和圆规在射线AD的右侧作∠DCP，使得∠DCP＝∠BAD。(不写作法，只需保留作图痕迹)
1．[2025·沈阳铁西期末]如图，已知与()，分别以点为圆心、以同样长为半径画弧，分别交于点， 交于点,以点为圆心、以长为半径画弧，在的内部交弧于点。下列结论正确的是( )
2．已知：∠A，∠B(∠A＞∠B)(如图)。
求作：∠MON，使∠MON＝∠A＋2∠B。(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
3．如图，已知∠α，∠β，∠γ，求作一个角，使它等于∠α＋∠β－∠γ。(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
4．[2023春·桓台县期末]已知：∠α，∠β(如图)。
求作：∠AOB，使∠AOB＝3∠β－∠α。
要求：保留作图痕迹，不写作法。
5．已知线段a和∠AOB(如图)，小红同学进行了以下作图：①在OA边上截取OD＝a；②在OB边上截取OE＝a；③连接DE交射线OC于点F。
(1)请在∠AOB中完成小红同学的作图(保留作图痕迹，标上字母)；
(2)设∠DFC＝∠1，∠CFE＝∠2，∠BOC＝∠3，∠COA＝∠4，将∠1，∠2，∠3，∠4在图中标记出来。
　　
6．(模型观念)(1)时钟从3时到3时20分，时针转过的角度是多少？分针呢？
(2)2时46分，求时针与分针的较小夹角。
参考答案
【预习导航】
O′A′　圆心　任意长　C　D　圆心　OC　C′　圆心　CD　点D′　O′B′　
【归类探究】
【例1】略
【例2】(1)分针、时针各转过150°，12.5°。
(2)时针与分针所成的锐角的度数是22.5°。
【当堂测评】略
【分层训练】1.D　2.略　3.略　4.略　5.略
6．(1)时钟从3时到3时20分，时针转过的角度为10°，分针转过的角度为120°。
(2)2时46分，时针与分针的较小夹角为167°。
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