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14.2 三角形全等的判定
课题1　两边及其夹角分别相等的两个三角形
【学习目标】
1．理解判定两个三角形全等的方法之一——“边角边”定理，深化证明思维．
2．经历探究“边角边”判定两个三角形全等的定理的过程，能进行有条理的思索．【学习重点】
运用“边角边”的判定定理解决实际问题．
【学习难点】
寻找适合利用“边角边”的判定定理证明全等的两个三角形．
旧知回顾：
1．什么是全等三角形？全等三角形的性质是什么？
答：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．
全等三角形对应边相等，对应角相等．
2．如图，如果△ABC≌△FED，请说出对应边、对应顶点、对应角．
答：对应边：AC和FD，BC和ED，AB和FE；对应顶点：点A与点F，点C与点D，点B与点E；对应角：∠A和∠F，∠B和∠E，∠ACB和∠FDE.
知识模块一　“SAS”的判定方法
阅读教材P94～P95的内容，回答下列问题：
1．三角形有六个基本元素，只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？
答：不能．通过画图可知，只给定一个或两个元素，不能完全确定一个三角形的形状、大小．
2．两边及其夹角分别相等的两个三角形相关基本事实是什么？如何作图验证？
答：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS”．
已知△ABC，求作：△A1B1C1，A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC.
作法：①作∠MB1N＝∠B；②在B1M上截取B1A1＝BA，在B1N上截取B1C1＝BC；③连接A1C1，则△A1B1C1(如图②)就是所求作的三角形．△ABC和△A1B1C1能够完全重合，说明SAS的正确性．
典例：如图，AC和BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需 (B)
A.AB＝DC
B．OB＝OC　　
C．∠C＝∠D 　　　　
D．∠AOB＝∠DOC
仿例1：如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件__AB＝DE__，便可根据“SAS”使△ABC≌△DEF.
　　　
仿例2：如图，已知AB＝DB，CB＝EB，∠1＝∠2，则∠A＝__∠D__．
知识模块二　“SAS”的判定与全等三角形性质的综合运用
典例：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE.
求证：AD＝CE.
证明：∵C是AB的中点(已知)，
∴AC＝CB(线段中点的定义).
∵CD∥BE(已知)，
∴∠ACD＝∠B(两直线平行，同位角相等).
在△ACD和△CBE中，
∵
∴△ACD≌△CBE(SAS).
∴AD＝CE(全等三角形的对应边相等).
仿例：
如图，C为BE上一点，点A，D分别在BC两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.若∠ACB＝30°，∠E＝45°，则∠ACD＝__105°__.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　SAS的判定方法
知识模块二　SAS的判定与全等三角形性质的综合运用
课题2　两角及其夹边分别相等的两个三角形
【学习目标】
1．理解“角边角”判定两个三角形全等的方法．
2．经历探究“角边角”判定两个三角形全等的过程，能进行有条理的思索．
【学习重点】
学会运用“角边角”判定两个三角形全等的方法．
【学习难点】
如何进行推理分析．
旧知回顾：
1．什么是边角边定理？
答：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”．
2．由两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等吗？为什么？
答：不一定全等．如右图：AB＝AB，∠B＝∠B，AB1＝AC.
但△ABB1与△ABC不全等．
知识模块一　“ASA”的判定方法
阅读教材P98～P99的内容，回答下列问题：
两角及其夹边分别相等的两个三角形的相关基本事实是什么？如何作图验证？
答：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．
已知△ABC，作图验证如下：
求作：△A1B1C1，使∠B1＝∠B，B1C1＝BC，∠C1＝∠C.
作法：①作线段B1C1＝BC；
②在B1C1的同侧，分别以B1，C1为顶点作∠MB1C1＝∠B，∠NC1B1＝∠C，B1M与C1N交于点A1.则△A1B1C1就是所求作的三角形(学生用剪刀剪下拼凑看能否重合).
典例：
如图，若已知∠A＝∠C，OA＝OC，就可以证明△AOB≌△COD，那么判断的理论根据是“__ASA__”，其中一个隐含的条件是__∠AOB＝∠COD__．
变例：
如图，有一块三角形玻璃裂成两块，现需要做一块一样大小的玻璃，只需带第__②__块玻璃碎片就可配制，其理由是__两角及其夹边分别相等的两个三角形全等__．
知识模块二　“ASA”的判定与全等三角形性质的综合运用
典例：如图，已知AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.求证：BC＝ED.
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC.
在△EAD和△BAC中，
∵
∴△EAD≌△BAC(ASA)，
∴BC＝ED.
仿例：如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB.求证：OA＝OD.
证明：在△ABC和△DCB中，∵
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC.
∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB，即∠ABO＝∠DCO.
在△AOB和△DOC中，∵
∴△AOB≌△DOC(ASA)，
∴OA＝OD.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　“ASA”的判定方法
知识模块二　“ASA”的判定与全等三角形性质的综合运用
课题3　三边分别相等的两个三角形
【学习目标】
1．理解应用“边边边”来判定两个三角形全等的方法，拓展推理证明能力．
2．经历探索用“边边边”判定两个三角形全等的过程，认识三角形的稳定性，进一步提高思维能力．
【学习重点】
掌握用“边边边”判定两个三角形全等的方法．
【学习难点】
学会根据实际选择已学过的判定三角形全等的方法来解决问题．
旧知回顾：
1．已经学过的两个判定三角形全等的基本事实分别是什么？
答：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
2．一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如右图所示的残片，你对图中的残片作哪些测量就可以割取符合原规格的三角形玻璃，你能否利用你所学的知识来加以说明？
【分析】方法1：量出AB边和∠A，∠B的度数，可以割取与原来相同的玻璃；
方法2：把玻璃片放在纸板上，然后用直尺画出一块完整的玻璃图形，再剪下来去玻璃店配．
问题：方法1利用了什么定理？(角边角)
方法2利用了什么定理？(边边边)
知识模块一　“SSS”的判定方法
阅读教材P100～P101的内容，回答下列问题：
1．三边分别相等的两个三角形的相关基本事实是什么？如何作图验证？
答：三边分别相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”．
已知△ABC，求作：△A1B1C1，使A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1A1＝CA.
作法：①作线段B1C1＝BC；
②分别以点B1，C1为圆心，BA，CA的长为半径画弧，两弧相交于点A1；
③连接A1B1，A1C1；
则△A1B1C1就是所求作的三角形．(将所求作的△A1B1C1与△ABC重叠，看能否重合).
2．什么是三角形的稳定性？举例说明．
答：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性．如斜拉桥上三角形，自行车上三角形支架．
典例1：如图，已知AB＝AC，要根据“SSS”判定△ABO与△ACO全等，还需要添加的条件是 (C)
A．AO＝OC B．BO＝AC
C．OB＝OC D．∠BAO＝∠CAO
　　　　　
典例2：如图，点B是AC的中点，BE＝CF，AE＝BF，那么△ABE≌__△BCF__，(依据是“__SSS__”)，∠A＝∠__FBC__．
知识模块二　三角形全等的判定方法的综合运用
典例：如图，AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF.求证：BE＝DF.
证明：连接BD.在△ABD和△CDB中，∵
∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.
又∵DE＝BF，AD＝BC，∴AD＋DE＝CB＋BF，即AE＝CF.
在△DCF和△BAE中，∵
∴△DCF≌△BAE(SAS)，∴BE＝DF.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　“SSS”的判定方法
知识模块二　三角形全等的判定方法的综合运用
课题4　其他判定两个三角形全等的条件
【学习目标】
1．理解用“角角边”来判定两个三角形全等的方法，增强推理意识．
2．通过探索判定两个三角形全等的方法，挖掘思维潜能．
【学习重点】
运用“角角边”判定两个三角形全等．
【学习难点】
运用已学过的判定三角形全等的方法解决实际问题．
旧知回顾：
我们学过的三角形全等的判定方法有哪几种？如何叙述？
答：SAS，ASA，SSS共三种．分别是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”)；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”)；三边分别相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”).
知识模块一　“AAS”的判定方法
阅读教材P103～P104的内容，回答下列问题：
1．“AAA”与“SSA”能否判定两个三角形全等？如果不能，请举出反例．
答：“AAA”与“SSA”不能判定两个三角形全等．
对于“AAA”，如边长不等的两个等边三角形的三个角都是60°，但这两个三角形不全等．
对于“SSA”，如图△ABC与△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，但它们也不全等．
2．“AAS”能否判定三角形全等？为什么？
答：“AAS”能判定三角形全等．由三角形内角和为180°，可以推出这两个三角形的第三个角也分别相等，这样“AAS”就可以转化为“ASA”，从而可以判定这样的两个三角形全等．
典例：如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，推出△ABE≌△ACF最直接的依据是__AAS__．
仿例：如图，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.
求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∵
∴△ABD≌△ACE(AAS).
知识模块二　“AAS”的判定与全等三角形性质的综合运用
范例：如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC.求证：AD＝BC.
证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝EC.
∵AD∥BC，∴∠A＝∠C.
在△ADF和△CBE中，∵
∴△ADF≌△CBE(AAS)，∴AD＝BC.
仿例：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，问：BD，DE，CE有怎样的数量关系？说出理由．
解：BD＝DE＋CE.
理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.在△ABD和△CAE中，∵
∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD＋DE，∴BD＝DE＋CE.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　“AAS”的判定方法
知识模块二　“AAS”的判定与全等三角形性质的综合运用
课题5　两个直角三角形全等的判定
【学习目标】
1．学会判定直角三角形全等的特殊方法，提升推理能力．
2．用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法．
【学习重点】
掌握判定直角三角形全等的特殊方法．
【学习难点】
应用“HL”解决直角三角形全等的问题；三角形全等判定方法的运用．
旧知回顾：
1．我们学过的证明一般三角形全等的方法有哪几种？
答：共四种：SAS，ASA，SSS，AAS.
2．如图，BC＝EF，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AB＝DE.
求证：AC＝DF.
证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABC＝∠DEF＝90°.
在△ABC和△DEF中，∵
∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC＝DF.
将上题中AB＝DE改成AC＝DF，这两个三角形全等吗？
知识模块一　直角三角形全等的判定
阅读教材P105～P106的内容，回答下列问题：
用“HL”判定两个直角三角形全等的内容是什么？如何作图证明？
答：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．
已知：Rt△ABC，∠C为直角．
求作：Rt△A1B1C1，使∠C1为直角，A1C1＝AC，A1B1＝AB.
作法：①作∠MC1N＝∠C＝90°；
②在C1M上截取C1A1＝CA；
③以A1为圆心，AB长为半径画弧，交C1N于点B1；
④连接A1B1.则Rt△A1B1C1就是所求作的直角三角形．
范例：如图，AD＝BC，AE＝CF，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
求证：BE＝DF.
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°.
在Rt△AED和Rt△CFB中，∵
∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL)，∴DE＝BF，
∴DE＋EF＝BF＋EF，即DF＝BE.
知识模块二　“HL”的判定与全等三角形性质的综合运用
典例：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE＝DF吗？
解：CE＝DF.
∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴∠CAE＝∠DBF，AC＝BD.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°，
在△AEC和△BFD中，∵
∴△AEC≌△BFD(AAS)，∴CE＝DF.
仿例：如图，点A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB＝CD.求证：BD平分EF.
证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠DEC＝90°.
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.
在△BFG和△DEG中，∵
∴△BFG≌△DEG(AAS)，∴FG＝EG，∴BD平分EF.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　直角三角形全等的判定
知识模块二　“HL”的判定与全等三角形性质的综合运用
课题6　全等三角形判定方法的综合运用
【学习目标】
1．综合运用全等三角形各种判定方法解决问题．
2．理解两次全等证明的一般方法．
【学习重点】
根据题目条件，灵活运用各种判定方法．
【学习难点】
两次全等的思考方法．
旧知回顾：
1．三角形全等的判定方法一共有几种？分别是什么？
答：SAS，ASA，AAS，SSS，HL共五种．
2．如图，(1)CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，
①若AC∥DB，且AC＝DB，则△ACE≌△BDF，根据“__AAS__”；
②若AC∥DB，AE＝BF，则△ACE≌△BDF，根据“__ASA__”；
③若AE＝BF，且CE＝DF，则△ACE≌△BDF，根据“__SAS__”；
④若AC＝BD，CE＝DF(或AE＝BF)，则△ACE≌△BDF，根据“__HL__”；
(2)若AC＝BD，AE＝BF，CE＝DF，则△ACE≌△BDF，根据“__SSS__”．
知识模块一　运用两次全等证明边或角相等
阅读教材P107～P108的内容，回答下列问题：
运用两次全等证明边或角相等应注意什么问题？
答：所要证明的边或角所在的两个三角形不能直接证明全等，需要先根据条件证明另外两个三角形全等后，得出条件再证它们全等．
典例：在△ABC中，AB＝AC，AE交BC于点E，D是AE上一点，BD＝CD.
求证：AE⊥BC.
证明：在△ABD和△ACD中，∵∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD.在△ABE和△ACE中，∵，
∴△ABE≌△ACE(SAS)，∴∠AEB＝∠AEC.
∵∠AEB＋∠AEC＝180°，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC.
仿例1：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD＝AB.
证明：在△DEC和△BEC中，∵∴△DEC≌△BEC(ASA)，∴DE＝BE.∵∠3＝∠4，∴180°－∠3＝180°－∠4，即∠AED＝∠AEB.在△AED和△AEB中，∵
∴△AED≌△AEB(SAS).∴AD＝AB.
仿例2：如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF，点E，A，O，D，F在同一条直线上．求证：EB∥CF.
证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠ODC＝∠OAB.
在△DCO和△ABO中，∵
∴△DCO≌△ABO(ASA)，∴OC＝OB.
又∵AE＝DF，∴OD＋DF＝OA＋AE，即OF＝OE.
在△COF和△BOE中，∵
∴△COF≌△BOE(SAS)，∴∠F＝∠E，∴EB∥CF.
知识模块二　旋转90°型三角形全等的证明
典例1：
△ABC和△EAD都是等腰直角三角形，且B，C，D在同一直线上．求证：EC⊥BD.
证明：∵△ABC和△EAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠AEC＝∠ADB.又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠HCD＝90°，∴EC⊥BD.
典例2：△ABC为等腰直角三角形，CD⊥AB于点D，点E，F分别在AC，BC上，DE⊥DF.求证：AE＝CF.
分析：由图观察，△ADE与△CDF为旋转90°关系．
证明：∵△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°.
又∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝45°，
∴DA＝DC，∠DCF＝∠ACB－∠ACD＝90°－45°＝45°.
∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝90°.
又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.
在△ADE和△CDF中，∵
∴△ADE≌△CDF(ASA).∴AE＝CF.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　运用两次全等证明边或角相等
知识模块二　旋转90°型三角形全等的证明

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