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15.2 线段的垂直平分线
课题1　线段的垂直平分线的性质定理
【学习目标】
1．掌握线段的垂直平分线以及它的逆定理的条件和结论，学会应用到证明中；
2．经历探索线段的垂直平分线定理、逆定理的过程，明确应用方法．
【学习重点】
线段的垂直平分线定理、逆定理的理解．
【学习难点】
线段的垂直平分线定理、逆定理的应用．
旧知回顾：
1．什么是线段的垂直平分线？
答：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线．
2．用折纸的方法你能得到线段的垂直平分线吗？你还可以用什么方法得到线段的垂直平分线？
答：通过折纸可以作出线段的垂直平分线，在半透明纸上画一条线段AA′，折叠使A与A′重合，得到的折痕l所在的直线就是线段AA′的垂直平分线(如图)；用刻度尺量出线段的长，找出线段的中点，再过中点用三角尺画线段的垂线即可得到线段的垂直平分线．
知识模块一　线段垂直平分线的性质定理
阅读教材P132的内容，回答下列问题：
线段垂直平分线的性质是什么？
答：线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
典例：如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B＝30°，求∠C的度数．
解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AE＝BE，∴∠1＝∠B＝30°.
又∵AE平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠BAC＝60°，∴∠C＝90°.
范例1：点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝6，则PB＝__6__．
范例2：如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E两点，若∠BAC＝70°，∠B＝40°，则∠CAE的度数为__30°__．
　　　　
范例3：如图，在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝6 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则△ACD的周长为__16__cm.
知识模块二　线段垂直平分线的判定
阅读教材P133的内容，回答下列问题：
线段垂直平分线的判断是什么？
答：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
典例：到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的 (D)
A．三条角平分线的交点　　　　B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点
仿例1：如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在AC的__垂直平分线__上．
　　
仿例2：如图，O是△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO＋BO＋CO＝__15__cm.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　线段垂直平分线的性质定理
知识模块二　线段垂直平分线的判定
课题2　线段垂直平分线的尺规作图
【学习目标】
1．掌握尺规作图，作出线段垂直平分线；
2．继续巩固应用线段垂直平分线的性质定理及逆定理．
【学习重点】
尺规作一条线段的垂直平分线．
【学习难点】
线段垂直平分线定理及逆定理的应用．
旧知回顾：
如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意他的判断吗？
答：同意．
知识模块一　线段垂直平分线的尺规作图
阅读教材P134，回答下列问题：
1．怎样得到线段的垂直平分线？
答：方法一：用刻度尺测量出线段的中点，再过中点画线段的垂线；
方法二：折纸；
方法三：尺规作图作出线段的垂直平分线．
2．如何用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线？
答：(1)如图，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径(为什么？)画弧，交于点E，F.
(2)过点E，F作直线．则直线EF就是线段AB的垂直平分线．
典例：如图，已知CA＝CB(A，B，C三点不在同一条直线上)．
(1)请分别作出线段CA，CB的垂直平分线；(用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)
(2)设所作两垂直平分线交于点O，连接CO，请问CO平分∠ACB吗？请说明理由．
解：(1)作图如图所示；
(2)CO平分∠ACB.
理由：易证Rt△OCE≌Rt△OCF(HL)，
∴∠OCE＝∠OCF，∴CO平分∠ACB.
知识模块二　线段垂直平分线性质与判定的综合应用
阅读教材P135，回答下列问题：
归纳：线段垂直平分线的性质与判定解决轴对称图形中相等线段和角．
　典例：如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC＝BD.求证：点P在线段CD的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB.
∵PC⊥PA，PD⊥PB，
∴∠APC＝∠BPD＝90°.
在Rt△APC和Rt△BPD中，∵
∴Rt△APC≌Rt△BPD(HL)，
∴PC＝PD，
∴点P在线段CD的垂直平分线上．
仿例1：如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，连接AD.AE＝3 cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差是 (C)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
　　　　
仿例2：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，PC，若AP＝8，则PC＝__8__．
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　线段垂直平分线的尺规作图
知识模块二　线段垂直平分线性质与判定的综合应用
课题3　尺规作图
【学习目标】
1．掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法；
2．通过角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，发展几何空间意识．
【学习重点】
角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法．
【学习难点】
熟记作图的步骤．
情景导入：
教师演示：教师拿出如图的平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，教师指出：“AE是否平分∠BAD，∠BED呢？你能说一说吗？”
学生活动：观察教师的教具演示，发现这个教具中，AD＝AB，DC＝BC，那么只要AE通过点C，则就构成两个三角形：△ADC和△ABC，又因为AC是公共边，很容易证出△ADC≌△ABC(SSS)；再运用全等三角形性质推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，即AE就是角平分线．
知识模块一　作角的平分线
阅读教材P137～P138的内容，回答下列问题：
角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？如何验证？
答：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴．
典例：怎样用直尺和圆规来作角平分线？
下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线(如图).
　　　　
作法：(1)如图①，以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N.
(2)如图②，分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径(为什么？)在角的内部作弧．两弧交于点P.
(3)如图③，作射线OP，则OP为所求作的∠AOB的平分线．
证明该作法的正确性．
证明：连接PN，PM.
∵ON＝OM，PN＝PM，OP＝OP，∴△NOP≌△MOP(SSS)，
∴∠BOP＝∠AOP，∴OP为∠AOB的平分线．
仿例：任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线．
作图略．
知识模块二　过一点作已知直线的垂线
阅读教材P138的内容，回答下列问题：
作一个平角的角平分线，可以看作什么作图？
答：作一个平角的角平分线，可以看作是经过已知直线上的一点作这条直线的垂线(把这一点看成平角的顶点即可).
已知：如图，直线AB和AB上一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：如图，作平角ACB的平分线CF.则直线CF就是所求作的垂线．
典例：上面作图是过直线上一点作已知直线的垂线，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？
已知：如图，直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)如图，任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D，E；
(3)分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F；
(4)作直线CF.则直线CF就是所求作的垂线．
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　作角的平分线
知识模块二　过一点作已知直线的垂线

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