资源简介

15.3 角的平分线
课题1　角平分线的性质与判定
【学习目标】
1．探索角平分线的性质定理和它的逆定理；
2．通过探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，增强几何空间意识．
【学习重点】
掌握角平分线的性质定理和逆定理．
【学习难点】
运用角平分线定理简化证明线段相等．
问题导入：
如图，OE是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点C，D为垂足．PC，PD的长有什么关系吗？证明你的猜想．
解：PC＝PD.证明如下：
∵OP平分∠AOB，(已知)
∴∠AOP＝∠BOP.(角平分线的定义)
又∵PC⊥OA，PD⊥OB，(已知)
∴∠PCO＝∠PDO＝90°.(垂直的定义)
在△PCO和△PDO中，∵
∴△PCO≌△PDO.(AAS)∴PC＝PD.
知识模块一　角平分线的性质
阅读教材P139～P140的内容，回答下列问题：
从问题导入的证明中，你发现角平分线上的点有什么规律？
答：角平分线上的点到角两边的距离相等，这就是角平分线的性质．
典例：如图，OP平分∠AOB，C为OB上一点，OC＝4，过点P作PD⊥OA.若△OCP的面积为4，则PD的长为 (C)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．4 B．3 C．2 D．1
　　　　
仿例：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝∠BAD＝30°，DE⊥AB，若CD＝2，则DE＝__2__．
　知识模块二　角平分线的判定
阅读教材P140的内容，回答下列问题：
角平分线的性质定理的逆定理是什么？
答：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
典例：到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 (D)
A．三条中线的交点　　　　　　　B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
仿例：如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，
∴DF＝DE，
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　角平分线的性质
知识模块二　角平分线的判定
课题2　角平分线性质与判定的综合应用
【学习目标】
1．使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力；
2．使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等．
【学习重点】
掌握角平分线的性质定理及判定．
【学习难点】
角平分线性质和判定定理的综合应用．
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从点P建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
学生活动：1.过点P分别作公路、铁路的垂线段PM，PN，交公路、铁路于点M，点N.
2．PM＝PN.
知识模块　角平分线性质与判定的综合应用
阅读教材P141的内容，回答下列问题．
1．角的平分线性质定理与判定定理是什么？
答：性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
2．三角形三条角平分线交点的性质是什么？
答：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
典例：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF相交于点P.
求证：AP平分∠BAC.
证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为点M，N，Q.
∵BE是∠ABC的平分线，点P在BE上，(已知)
∴PQ＝PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
同理，PN＝PM.
∴PN＝PQ.(等量代换)
∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
仿例1：如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC于点E.若AD＝DE，且∠C＝50°，则∠ABD＝__20°__．
仿例2：如图，△ABC的外角∠DAC，∠ACE的平分线AF，CF相交于点F.下列结论：①AF＝CF；②点F到BD，AC，BE的距离相等；③点F在∠ABC的平分线上．其中结论一定正确的是__②③__(填序号)，请说明理由．
解析：如图，过点F分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点G，M，N.
∵∠DAC，∠ACE的平分线相交于点F，
∴FG＝FN，FM＝FN，
∴FG＝FM＝FN，即点F到BD，AC，BE的距离相等，
∴BF平分∠ABC，即点F在∠ABC的平分线上，
∴结论②和③是正确的．
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块　角平分线性质与判定的综合应用
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________

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