资源简介

15.4 等腰三角形
课题1　等腰三角形的性质
【学习目标】
1．进一步认识等腰三角形的定义和性质；
2．通过观察、操作、想象、推理和交流活动，理解等腰三角形“三线合一”等有关性质，提高几何推理意识．
【学习重点】
掌握等腰三角形的性质．
【学习难点】
对等腰三角形“三线合一”的理解．
旧知回顾：
1．什么是等腰三角形？指出等腰三角形边、角的名称．
答：有两边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形边、角名称如右图所示，相等的两边叫作腰，两腰夹角为顶角，腰和底的夹角为底角．
2．等边三角形与等腰三角形有何关系？
答：等边三角形是等腰三角形的特例，是腰和底边相等的等腰三角形．
知识模块一　等腰三角形性质定理1
阅读教材P144的内容，回答下列问题：
等腰三角形性质定理1的内容是什么？如何证明？
答：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”．
证明如下：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.
证明：取BC的中点D，连接AD.在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD.(SSS)∴∠B＝∠C.(全等三角形的对应角相等)
典例：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∵AD＝BD＝BC，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C.
设∠A＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠C＝∠BDC＝2x.
∴∠ABC＝2x.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°.
即∠A＝36°.
仿例：如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为 (B)
A．30°　　　　　　B．40°　　　　　　C．45°　　　　　　D．60°
变例：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是__50°__．
知识模块二　等边三角形的性质
阅读教材P145的内容，回答下列问题：
等边三角形的性质是什么？
答：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
典例：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，E是底边上两点，且BD＝AD，CE＝AE，求∠DAE的度数．
解：∵AB＝AC，(已知)∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝×(180°－120°)＝30°.(等边对等角)
又∵BD＝AD，(已知)∴∠BAD＝∠B＝30°.(等边对等角)
同理，∠CAE＝∠C＝30°.
∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠CAE＝120°－30°－30°＝60°.
仿例1：如图，等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC＝__120°__．
　　　　
仿例2：如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__15°__．
解析：根据等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，根据CG＝CD可得出∠CDF的度数是30°，再根据DF＝DE可得∠E＝15°.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　等腰三角形性质定理1
知识模块二　等边三角形的性质
课题2　等腰三角形性质的应用
【学习目标】
1．复习巩固等腰三角形相关性质；
2．熟练应用等腰三角形性质解答问题．
【学习重点】
等腰三角形性质定理的应用．
【学习难点】
等腰三角形性质定理的应用．
旧知回顾：
1．等腰三角形性质定理1是什么？
答：性质1：等腰三角形的两底角相等．简称“等边对等角”．
2．等边三角形性质是什么？
答：等边三角形三个内角相等，每个内角都等于60°.
知识模块一　等腰三角形性质定理2
阅读教材P146～P147内容，回答问题：
等腰三角形性质定理2的内容是什么？如何用几何语言表示？
答：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合．简称“三线合一”．
用数学符号表示如下：如图．
当AB＝AC，AD⊥BC时 BD＝CD，∠BAD＝∠CAD；
当AB＝AC，BD＝CD时 AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；
当AB＝AC，∠BAD＝∠CAD时 AD⊥BC，BD＝CD.
典例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝__3__．
　　　　
典例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，若∠BAD＝20°，则∠C＝__70°__．
仿例：在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角∠BAC的平分线，若AD＝4 cm，△ABC的周长为16 cm，则△ABD的周长是__12_cm__．
变例：如图，已知AB＝AC，D，E为线段BC上的点，且有AD＝AE，求证：BD＝CE.
证明：本题证明可用两种方法．
方法一：过点A作AH⊥BC于H.
∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝EH，∴BH－DH＝CH－EH，即BD＝CE.
方法二：不加辅助线，由学生自己讨论完成．
知识模块二　等腰三角形性质的应用
典例：如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．
解：设∠A＝x.
∵AD＝DE＝EB，∴∠DEA＝∠A＝x，∠EBD＝∠EDB.
又∵∠DEA＝∠EBD＋∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB＝，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝x.
∵BD＝BC，AB＝AC，∴∠BDC＝∠C＝∠ABC＝x.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，即x＋x＋x＝180°.
解得x＝45°，即∠A＝45°.
仿例1：某屋梁结构如图所示，∠BAC＝130°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于 (C)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．50° B．75° C．80° D．105°
仿例2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为__63°或27°__．
变例：如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．
(1)求证：AB∥CQ；
(2)AQ与CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并证明，若AQ与CQ不垂直，说明理由．
解：(1)∵△ABC，△APQ是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠PAQ＝60°，AP＝AQ，
∴∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC，即∠BAP＝∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴∠ACQ＝∠B＝60°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠ACQ＝∠BAC，∴AB∥CQ；
(2)当点P在BC中点处时，AQ⊥CQ.证明如下：
∵△ABC是等边三角形，BP＝CP，
∴AP⊥BC，∴∠APB＝90°.
∵△ABP≌△ACQ，∴∠AQC＝∠APB＝90°，
∴AQ⊥CQ.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　等腰三角形性质定理2
知识模块二　等腰三角形性质的应用
课题3　等腰三角形的判定
【学习目标】
1．领会等腰三角形、等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力；
2．能够运用等腰三角形与等边三角形判定方法解答相关问题．
【学习重点】
掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理．
【学习难点】
判定的应用，几何思维的形成．
旧知回顾：
1．等腰三角形性质1，性质2分别是什么？
答：等腰三角形的两底角相等．简称“等边对等角”；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合．简称“三线合一”．
2．等边三角形有何性质？
答：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
知识模块一　等腰三角形的判定
阅读教材P149的内容，回答下列问题：
等腰三角形的判定定理是什么？
答：有两个角相等的三角形是等腰三角形．简称“等角对等边”．
典例：
如图，P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，则△COP是__等腰__三角形．
解析：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠1＝∠2.
∵CP∥OB，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴OC＝PC，∴△COP是等腰三角形．
仿例1：如图，BD为△ABC外角的平分线，若BD∥AC，则△ABC为__等腰三角形__.
　　　　
仿例2：如图，在△ABC中，CD是角平分线且交AB于D，DE∥BC，交AC于点E，若DE＝3 cm，AE＝4 cm，则AC＝__7__cm.
仿例3：如图，AD，BC相交于点O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB，求证：AB＝CD.
证明：∵∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD.
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD(SAS)，∴AB＝CD.
　知识模块二　等边三角形的判定
阅读教材P150的内容，回答下列问题：
等边三角形有哪些判定方法？
答：判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
典例：在等边三角形ABC上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵AD＝BE＝CF，∴BD＝EC＝AF，
∴△BDE≌△CEF≌△AFD(SAS)，
∴DE＝EF＝DF，∴△DEF为等边三角形．
知识模块三　含30°角的直角三角形的性质
阅读教材P150的内容，回答下列问题：
直角三角形中，30°角所对直角边与斜边有何关系？
答：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边的一半．
典例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AC上的点，
AD＝DB＝2a，∠A＝15°，则BC边的长为__a__．
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　等腰三角形的判定
知识模块二　等边三角形的判定
知识模块三　含30°角的直角三角形的性质

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