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(共41张PPT)
第2课时　数列的递推公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中
数字出现的规律是：
a2－ a1＝3－1＝2，
a3－ a2＝6－3＝3，
a4－ a3＝10－6＝4，
a5－ a4＝15－10＝5，
……
【问题】　你能用 an＋1与 an 的一个数学表达式描述该数列相邻两项之
间的关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　数列的递推公式
如果已知一个数列{ an }的第1项（或前几项），且任一项 an 与它的前
一项 an－1（或前几项）间的关系可以用一个 来表示，那么这
个公式就叫作这个数列的 公式.
提醒　对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公
式一样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式
和首项（或前几项），就可以求出数列中的任意一项.
公式　
递推　
【想一想】
　用递推公式给出一个数列，必须要具备哪两个条件？
提示：①“基础”——数列{ an }的第1项（或前几项）；
②递推关系——数列{ an }的任一项 an 与它的前一项 an－1（ n ≥2）（或
前几项）间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）递推公式是表示数列的一种方法. （　√　）
（2）在数列{ an }中，若 an＋1＝2 an ， n ∈N*，则 a2＝2 a1.
（　√　）
（3）利用 an＋1＝2 an ， n ∈N*可以确定数列{ an }. （　×　）
√
√
×
2. 已知数列{ an }中， a1＝2， an＋1＝ an ＋ n （ n ∈N*），则 a4＝
（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：　因为 a1＝2， an＋1＝ an ＋ n ，所以 a2＝ a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝ a2＋2＝3＋2＝5， a4＝ a3＋3＝5＋3＝8，故选D.
3. 已知数列{ an }满足 an＋1－2 an ＝0，且 a3＝－1，则 a1＝（　　）
解析：　∵ an＋1－2 an ＝0，∴ an ＝ ，∴ a1＝ ＝ ＝ ＝－
.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由递推公式求数列的项
【例1】　（链接教科书第136页例3）已知数列{ an }满足 a1＝3， an＋1
＝2 an ＋1，写出数列的前6项.
解：因为 a1＝3， an＋1＝2 an ＋1，
所以 a2＝2×3＋1＝7， a3＝2×7＋1＝15，
a4＝2×15＋1＝31， a5＝2×31＋1＝63，
a6＝2×63＋1＝127.
因此，数列{ an }的前6项依次为3，7，15，31，63，127.
通性通法
由递推公式写出数列的项的策略
（1）根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关
系，依次代入计算即可；
（2）若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项
的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示
前面的项的形式.
【跟踪训练】
已知数列{ an }的首项 a1＝1，且满足 an＋1＝ an ＋ ，则此数列的第3
项是（　　）
A. 1
解析：　 a1＝1， a2＝ a1＋ ＝1， a3＝ a2＋ ＝ .
题型二 由递推公式求通项公式
角度1　累加法求通项公式
【例2】　（2024·盐城月考）在数列{ an }中， a1＝3， an＋1＝ an ＋
，则通项公式 an ＝ 　4－ 　.
解析：∵ an＋1－ an ＝ ＝ － ，∴当 n ≥2时， an － an－1＝
－ ， an－1－ an－2＝ － ，…， a2－ a1＝1－ ，∴以上各式
相加得 an － a1＝1－ ，∴ an ＝4－ ， a1＝3适合上式，∴ an ＝4－ .
4－ 　
通性通法
　　形如 an＋1－ an ＝常数，或 an＋1－ an ＝ f （ n ）的递推公式，可以利
用（ a2－ a1）＋（ a3－ a2）＋…＋（ an － an－1）＝ an － a1（ n ≥2， n
∈N*）求通项公式.
角度2　累乘法求通项公式
【例3】　在数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝2 an ，求数列{ an }的通
项公式.
解：由 an＋1＝2 an ，得 ＝2（ n ≥2），
所以 ＝2， ＝2， ＝2，…， ＝2（ n ≥2）.
将以上各式等号两边分别相乘，
得 · · ·…· ＝ ＝2 n－1（ n ≥2）.
因为 a1＝1，所以数列{ an }的通项公式为 an ＝2 n－1（ n ≥2）.
当 n ＝1时， a1＝1，符合上式，所以 an ＝2 n－1（ n ∈N*）.
通性通法
　　形如 an＋1＝ pan （ p 为非零常数），或 an＋1＝ f （ n ） an 的递推公
式，可以利用 · ·…· ＝ （ n ≥2， n ∈N*）求通项公式.
【跟踪训练】
1. 已知数列{ an }满足 a1＝2， an＋1－ an ＋1＝0（ n ∈N*），则此数列
的通项公式 an ＝（　　）
A. n2＋1 B. n ＋1
C. 1－ n D. 3－ n
解析：　∵ an＋1－ an ＝－1.∴当 n ≥2时， an ＝ a1＋（ a2－ a1）＋
（ a3－ a2）＋…＋（ an － an－1）＝2＋
＝2＋（－1）×（ n －1）＝3－ n .当 n ＝1时， a1＝2也符合上式.故数列的通项公式 an ＝3－ n （ n ∈N*）.
共（ n －1）个
2. （2024·泰州质检）设数列{ an }中， a1＝1， an ＝（1－ ） an－1（ n
≥2），则此数列的通项公式 an ＝ .
解析：因为 an ＝（1－ ） an－1（ n ≥2），所以 ＝ ，所以
＝ ， ＝ ，…， ＝ ，以上各式两边分别相乘，得
· · ·…· · ＝ · · ·…· · ＝ （ n ≥2），即
＝ （ n ≥2），因为 a1＝1，所以 an ＝ （ n ≥2），又因为 n ＝1
时， a1＝1，符合上式，所以 an ＝ （ n ∈N*）.
（ n ∈N*）　
1. 数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（　　）
A. an ＝ an－1＋2（ n ≥2）
B. an ＝2 an－1（ n ≥2）
C. a1＝2， an ＝ an－1＋2（ n ≥2）
D. a1＝2， an ＝2 an－1（ n ≥2）
解析：　A、B中没有说明第一项，无法递推；D中 a1＝2， a2＝
4， a3＝8，不合题意.故选C.
2. 已知数列{ an }满足 a1＝1， － ＝1，则 a10＝（　　）
A. 10 B. 20
C. 100 D. 200
解析：　数列{ an }满足 a1＝1， － ＝1，可得 ＝1，
－ ＝1， － ＝1，…， － ＝1，累加可得
＝10，所以 a10＝100.
3. 已知数列{ an }的递推公式为 an＋1＝2 an ＋1，且 a1＝1.试写出数列
{ an }的前四项，并写出数列{ an }的一个通项公式.
解： a1＝1＝2－1，
a2＝2×1＋1＝3＝22－1，
a3＝2×3＋1＝7＝23－1，
a4＝2×7＋1＝15＝24－1，
由此可得数列{ an }的一个通项公式是 an ＝2 n －1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 数列{ an }中，若 an＋1－ an － n ＝0，则 a2 025－ a2 024＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 2 024 D. 2 025
解析：　由已知得， a2 025－ a2 024－2 024＝0，所以 a2 025－ a2 024＝
2 024.
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2. 已知数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝ ，则 a5＝（　　）
解析：　由题意可知 a2＝ ＝ ， a3＝ ＝ ， a4＝ ＝ ，
a5＝ ＝ .
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3. 已知 a1＝1， an ＝ an－1＋3（ n ≥2， n ∈N*），则数列的通项公式为
（　　）
A. an ＝3 n ＋1 B. an ＝3 n
C. an ＝3 n －2 D. an ＝3（ n －1）
解析：　因为 an ＝ an－1＋3，所以 an － an－1＝3.所以 a2－ a1
＝3， a3－ a2＝3， a4－ a3＝3，…， an － an－1＝3，以上各式两
边分别相加，得 an － a1＝3（ n －1），因为 a1＝1，所以 an ＝
a1＋3（ n －1）＝1＋3（ n －1）＝3 n －2.当 n ＝1时，也适合
上式，所以 an ＝3 n －2.
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4. 已知数列{ an }满足 a1＝ ， an＋1＝ an ，则 an ＝（　　）
解析：　由条件知 ＝ ，分别令 n ＝1，2，3，…， n －
1，代入上式得 n －1个等式，各式两边分别相乘得，
· · ·…· ＝ × × ×…× 得 ＝ .又因为 a1＝ ，所
以 an ＝ ，当 n ＝1时，符合上式，所以 an ＝ .
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5. （2024·镇江月考）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数
列，则该数列的一个递推公式可以是（　　）
A. an＋1＝ an ＋ n ， n ∈N*
B. an ＝ an－1＋ n ， n ∈N*， n ≥2
C. an＋1＝ an ＋（ n ＋1）， n ∈N*， n ≥2
解析：　结合图象易知， a1＝1， a2＝3＝ a1＋2， a3＝6＝ a2＋3，
a4＝10＝ a3＋4，∴ an ＝ an－1＋ n ， n ∈N*， n ≥2.
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6. （多选）符合递推关系式 an ＝ an－1的数列是（　　）
A. 1，2，3，4，…
解析：　B与C中从第2项起，后一项是前一项的 倍，符合递
推公式 an ＝ an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为 an
＝ an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确.
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7. 已知数列{ an }中， a1＝1，当 n ≥2时， an ＝ an－1＋2 n －1，则 a4
＝ .
解析：当 n ≥2时， an － an－1＝2 n －1，所以 a2－ a1＝3， a3－ a2＝
5， a4－ a3＝7，所以 a4－ a1＝15.又 a1＝1，所以 a4＝16.
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8. 已知在数列{ an }中， a1 a2… an ＝ n2（ n ∈N*），则 a9＝ .
解析： a1 a2… a8＝82，①. a1 a2… a9＝92，②.②÷①得， a9＝ ＝
.
　
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9. 已知数列{ an }满足 a1＝ ， an ＝ an－1＋ （ n ≥2），则 an
＝ .
解析：因为 an ＝ an－1＋ （ n ≥2），所以 an － an－1＝
＝ － ，所以 a2－ a1＝ － ， a3－ a2＝ －
，…， an － an－1＝ － （ n ≥2）.以上各式相加，得 an
－ a1＝ － （ n ≥2），所以 an ＝ a1＋ － ＝
（ n ≥2），又 a1＝ 适合上式，所以 an ＝ .
　
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10. 已知数列{ an }中， a1＝1， a2＝2，以后各项由 an ＝ an－1＋ an－2（ n
≥3）给出.
（1）写出此数列的前5项；
解：因为 an ＝ an－1＋ an－2（ n ≥3），且 a1＝1， a2＝2，
所以 a3＝ a2＋ a1＝3， a4＝ a3＋ a2＝3＋2＝5， a5＝ a4＋
a3＝5＋3＝8.
故数列{ an }的前5项依次为 a1＝1， a2＝2， a3＝3， a4＝
5， a5＝8.
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（2）通过公式 bn ＝ 构造一个新的数列{ bn }，写出数列{ bn }
的前4项.
解：因为 bn ＝ ，且 a1＝1， a2＝2， a3＝3， a4＝
5， a5＝8，
所以 b1＝ ＝ ， b2＝ ＝ ， b3＝ ＝ ， b4＝ ＝ .
故数列{ bn }的前4项依次为 b1＝ ， b2＝ ， b3＝ ， b4＝ .
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11. （2024·南通月考）在数列{ an }中， a1＝2， an＋1＝ an ＋ln
，则数列{ an }的通项公式为 an ＝（　　）
A. 2＋ln n B. 2＋（ n －1）ln n
C. 2＋ n ln n D. 1＋ n ＋ln n
解析：　 a2＝ a1＋ln ， a3＝ a2＋ln ，…， an ＝ an－
1＋ln （ n ≥2），则 an ＝ a1＋ln（ × × ×…× ）
＝2＋ln n （ n ≥2）.又 a1＝2＝2＋ln 1，所以 an ＝2＋ln n .
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12. （多选）由1，3，5，…，2 n －1，…构成数列{ an }，数列{ bn }满
足 b1＝2，当 n ≥2时， bn ＝ ，则（　　）
A. b3＝5 B. b4＝9
C. b5＝15 D. b6＝33
解析：　因为 an ＝2 n －1， bn ＝ ，所以 b2＝ ＝ a2＝
3， b3＝ ＝ a3＝5， b4＝ ＝ a5＝9， b5＝ ＝ a9＝17， b6＝
＝ a17＝33.
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13. 已知数列{ an }中， a1＝1，以后各项满足 an ＝ an－1＋ （ n
≥2）.
（1）写出数列{ an }的前5项；
解：a1＝1； a2＝ a1＋ ＝ ； a3＝ a2＋ ＝ ； a4
＝ a3＋ ＝ ； a5＝ a4＋ ＝ .
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（2）求数列{ an }的通项公式.
解：由 an ＝ an－1＋ 得，
an － an－1＝ ＝ － （ n ≥2），
∴ an ＝（ an － an－1）＋（ an－1－ an－2）＋…＋（ a3－ a2）＋
（ a2－ a1）＋ a1＝ ＋ ＋…＋ ＋
＋1＝－ ＋1＋1＝2－ ＝ （ n ≥2）.
当 n ＝1时， a1＝1符合上式，∴ an ＝ .
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谢 谢 观 看！第2课时　数列的递推公式
1.数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 025－a2 024＝（　　）
A.1　　 B.2
C.2 024　　 D.2 025
2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a5＝（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
3.已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（　　）
A.an＝3n＋1　　 B.an＝3n
C.an＝3n－2　　 D.an＝3（n－1）
4.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则an＝（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
5.（2024·镇江月考）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（　　）
A.an＋1＝an＋n，n∈N*
B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C.an＋1＝an＋（n＋1），n∈N*，n≥2
D.an＝an－1＋，n∈N*，n≥2
6.（多选）符合递推关系式an＝an－1的数列是（　　）
A.1，2，3，4，…
B.1，，2，2，…
C.，2，2，4，…
D.0，，2，2，…
7.已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，则a4＝　　　　.
8.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2（n∈N*），则a9＝　　　　.
9.已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋（n≥2），则an＝　　　　.
10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2（n≥3）给出.
（1）写出此数列的前5项；
（2）通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.
11.（2024·南通月考）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则数列{an}的通项公式为an＝（　　）
A.2＋ln n　　 B.2＋（n－1）ln n
C.2＋nln n　　 D.1＋n＋ln n
12.（多选）由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则（　　）
A.b3＝5　　 B.b4＝9
C.b5＝15　　 D.b6＝33
13.已知数列{an}中，a1＝1，以后各项满足an＝an－1＋（n≥2）.
（1）写出数列{an}的前5项；
（2）求数列{an}的通项公式.
第2课时　数列的递推公式
1.C　由已知得，a2 025－a2 024－2 024＝0，所以a2 025－a2 024＝2 024.
2.B　由题意可知a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.
3.C　因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3（n－1），因为a1＝1，所以an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝3n－2.当n＝1时，也适合上式，所以an＝3n－2.
4.C　由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，各式两边分别相乘得，···…·＝×××…×得＝.又因为a1＝，所以an＝，当n＝1时，符合上式，所以an＝.
5.B　结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.
6.BC　B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确.
7.16　解析：当n≥2时，an－an－1＝2n－1，所以a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，所以a4－a1＝15.又a1＝1，所以a4＝16.
8.　解析：a1a2…a8＝82，①.a1a2…a9＝92，②.②÷①得，a9＝＝.
9.　解析：因为an＝an－1＋（n≥2），所以an－an－1＝＝－，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－（n≥2）.以上各式相加，得an－a1＝－（n≥2），所以an＝a1＋－＝（n≥2），又a1＝适合上式，所以an＝.
10.解：（1）因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2，
所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
（2）因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
11.A　a2＝a1＋ln，a3＝a2＋ln，…，an＝an－1＋ln（n≥2），则an＝a1＋ln（×××…×）＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n.
12.ABD　因为an＝2n－1，bn＝，所以b2＝＝a2＝3，b3＝＝a3＝5，b4＝＝a5＝9，b5＝＝a9＝17，b6＝＝a17＝33.
13.解：（1）a1＝1；a2＝a1＋＝；a3＝a2＋＝；a4＝a3＋＝；a5＝a4＋＝.
（2）由an＝an－1＋得，
an－an－1＝＝－（n≥2），
∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝＋＋…＋＋＋1＝－＋1＋1＝2－＝（n≥2）.
当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝.
2 / 2第2课时　数列的递推公式
　　观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是：
a2－a1＝3－1＝2，
a3－a2＝6－3＝3，
a4－a3＝10－6＝4，
a5－a4＝15－10＝5，
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【问题】　你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　数列的递推公式
如果已知一个数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个　　　来表示，那么这个公式就叫作这个数列的　　　公式.
提醒　对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式和首项（或前几项），就可以求出数列中的任意一项.
【想一想】
　用递推公式给出一个数列，必须要具备哪两个条件？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）递推公式是表示数列的一种方法.（　　）
（2）在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.（　　）
（3）利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.（　　）
2.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n（n∈N*），则a4＝（　　）
A.5　　 B.6
C.7　　 D.8
3.已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，且a3＝－1，则a1＝（　　）
A.　　 B.－
C.　　 D.－
题型一 由递推公式求数列的项
【例1】　（链接教科书第136页例3）已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，写出数列的前6项.
通性通法
由递推公式写出数列的项的策略
（1）根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；
（2）若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【跟踪训练】
已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是（　　）
A.1　　 B.
C.　　 D.
题型二 由递推公式求通项公式
角度1　累加法求通项公式
【例2】　（2024·盐城月考）在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝　　　　.
通性通法
　　形如an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）的递推公式，可以利用（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝an－a1（n≥2，n∈N*）求通项公式.
角度2　累乘法求通项公式
【例3】　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，求数列{an}的通项公式.
通性通法
　　形如an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an的递推公式，可以利用··…·＝（n≥2，n∈N*）求通项公式.
【跟踪训练】
1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0（n∈N*），则此数列的通项公式an＝（　　）
A.n2＋1　 B.n＋1　 C.1－n　 D.3－n
2.（2024·泰州质检）设数列{an}中，a1＝1，an＝（1－）an－1（n≥2），则此数列的通项公式an＝　　　　.
1.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（　　）
A.an＝an－1＋2（n≥2）
B.an＝2an－1（n≥2）
C.a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2）
D.a1＝2，an＝2an－1（n≥2）
2.已知数列{an}满足a1＝1， －＝1，则a10＝（　　）
A.10　　B.20　　C.100　　D.200
3.已知数列{an}的递推公式为an＋1＝2an＋1，且a1＝1.试写出数列{an}的前四项，并写出数列{an}的一个通项公式.
第2课时　数列的递推公式
【基础知识·重落实】
知识点
公式　递推
想一想
　提示：①“基础”——数列{an}的第1项（或前几项）；
②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an－1（n≥2）（或前几项）间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×
2.D　因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8，故选D.
3.B　∵an＋1－2an＝0，∴an＝，∴a1＝＝＝＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：因为a1＝3，an＋1＝2an＋1，
所以a2＝2×3＋1＝7，a3＝2×7＋1＝15，
a4＝2×15＋1＝31，a5＝2×31＋1＝63，
a6＝2×63＋1＝127.
因此，数列{an}的前6项依次为3，7，15，31，63，127.
跟踪训练
　C　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
【例2】　4－　解析：∵an＋1－an＝＝－，∴当n≥2时，an－an－1＝－，an－1－an－2＝－，…，a2－a1＝1－，∴以上各式相加得an－a1＝1－，∴an＝4－，a1＝3适合上式，∴an＝4－.
【例3】　解：由an＋1＝2an，得＝2（n≥2），
所以＝2，＝2，＝2，…，＝2（n≥2）.
将以上各式等号两边分别相乘，
得···…·＝＝2n－1（n≥2）.
因为a1＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1（n≥2）.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝2n－1（n∈N*）.
跟踪训练
1.D　∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝2＋＝
　　　　　　共（n－1）个
2＋（－1）×（n－1）＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式.故数列的通项公式an＝3－n（n∈N*）.
2.（n∈N*）　解析：因为an＝（1－）an－1（n≥2），所以＝，所以＝，＝，…，＝，以上各式两边分别相乘，得···…··＝···…··＝（n≥2），即＝（n≥2），因为a1＝1，所以an＝（n≥2），又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝（n∈N*）.
随堂检测
1.C　A、B中没有说明第一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.故选C.
2.C　数列{an}满足a1＝1，－＝1，可得＝1，－＝1，－＝1，…，－＝1，累加可得＝10，所以a10＝100.
3.解：a1＝1＝2－1，
a2＝2×1＋1＝3＝22－1，
a3＝2×3＋1＝7＝23－1，
a4＝2×7＋1＝15＝24－1，
由此可得数列{an}的一个通项公式是an＝2n－1.
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