资源简介

4.3.1　等比数列的概念
1.若2，a，6成等比数列，则a＝（　　）
A.1　　 B.±2
C.2　　 D.－2
2.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3＝（　　）
A.16　　 B.－16
C.32　　 D.－32
3.在各项都为正数的数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4＝（　　）
A.108　　 B.54
C.36　　 D.18
4.（2024·泰州质检）“b＝”是“a，b，c成等比数列”的（　　）
A.充分不必要条件　　
B.充要条件
C.必要不充分条件　　
D.既不充分也不必要条件
5.（多选）下列各组数成等比数列的是（　　）
A.1，－2，4，－8
B.－，2，－2，4
C.x，x2，x3，x4
D.a－1，a－2，a－3，a－4
6.（多选）已知{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）
A.{an＋1}
B.{3an}
C.{}
D.{an＋1－an}
7.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝　　　　.
8.已知a是2和4的等差中项，若数列－2，b，－8成等比数列，则ab＝　　　　.
9.在△ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比为的等比数列，则cos B＝　　　　.
10.已知数列{an}的通项公式，判断它是否为等比数列：
（1）an＝3n；（2）an＝5×32－n；
（3）an＝n－1；（4）an＝3.
11.（2024·广州质检）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则＝（　　）
A.18　　 B.20
C.22　　 D.24
12.已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是（　　）
A.8　　 B.
C.8或2　　 D.8或
13.在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…，中，a＝　　　　.
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝（an－1）（n∈N*）.证明：数列{an}是等比数列.
15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求角A的大小及的值.
4.3.1　等比数列的概念
1.B　根据等比数列的定义，可得＝，即a2＝2×6＝12，所以a＝±2.
2.C　根据等比数列的定义可得即解得a3＝32.
3.B　因为an＋1＝3an，即＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列，所以＝＝＝3，又a1＝2，所以a4＝54.
4.D　由等比数列的定义可得＝，即b2＝ac，b＝±，故必要性不成立；若b＝，令a＝b＝0，满足b＝，但此时a，b，c不构成等比数列，故充分性不成立.故选D.
5.ABD　对于A：1，－2，4，－8中，由＝＝＝－2得，数列是以－2为公比的等比数列；对于B：－，2，－2，4中，由＝＝＝－得，数列是以－为公比的等比数列；对于C：当x＝0时，不是等比数列；对于D：a－1，a－2，a－3，a－4中，由＝＝＝a－1得，数列是以a－1为公比的等比数列.故选A、B、D.
6.BC　不妨设等比数列{an}的公比为q.对于A选项，不妨取数列{an}展开为2，4，8，16，…，则{an＋1}展开为3，5，9，17，…，显然不是等比数列，故A项错误；对于B选项，由＝＝q，则数列{3an}为等比数列，故B项正确；对于C选项，由＝（）2＝q2，则数列{}为等比数列，故C项正确；对于D选项，当q＝1时，数列{an＋1－an}为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故D项错误.故选B、C.
7.1或－2　解析：因为＝q，所以a3＝a2q＝2q，因为＝q，所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.
8.±12　解析：因为a是2和4的等差中项，故a＝＝3 ，数列－2，b，－8成等比数列，故＝，即b＝±＝±4，所以ab＝±12.
9.　解析：因为sin A，sin B，sin C成公比为的等比数列，所以sin B＝sin A，sin C＝2sin A，由正弦定理可知b＝a，c＝2a，所以cos B＝＝＝.
10.解：由等比数列的定义可知，＝q（n≥2，n∈N*），若q是一个与n无关的非零常数，则数列{an}是等比数列.
（1）＝＝，不是常数，故不是等比数列；
（2）＝＝，是等比数列；
（3）＝＝，不是常数，故不是等比数列；
（4）＝＝1，是等比数列.
11.D　设这根木棰总长为1，每天截取其一半，剩下的部分记为an，则{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，所以a1＝，a2＝，…，a5＝，所以＝＝24.
12.D　不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为.
13.－4　解析：a，2a＋2，3a＋3成等比数列，则＝，即（2a＋2）2＝a（3a＋3），解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件；当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件.
14.证明：因为Sn＝（an－1），所以Sn＋1＝（an＋1－1），
两式相减，得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an.
又当n＝1时，a1＝S1＝（a1－1），所以a1＝－.
所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列.
15.解：∵a，b，c成等比数列，∴＝，即b2＝ac，
又a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，∴A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理得sin B＝，
∴＝＝sin A＝.
2 / 24.3.1　等比数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念 数学抽象
2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值 逻辑推理、数学运算
　　我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
【问题】　（1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
（2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　等比数列的概念
　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于　　　　　　　　，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的　　　　，公比通常用字母　　　表示.
提醒　理解等比数列概念的注意点：①“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；③公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数.
【想一想】
　若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列.（　　）
（2）若数列{an}满足＝2，＝2，则{an}为等比数列.（　　）
（3）任何常数列都是等比数列.（　　）
2.下列数列为等比数列的是（　　）
A.2，22，3×22，…　　
B.，，，…
C.s－1，（s－1）2，（s－1）3，…　　
D.0，0，0，…
3.若－1，b，－9成等比数列，则b＝（　　）
A.3　　 B.－3
C.±3　　 D.2
题型一 等比数列的概念
【例1】　（链接教科书第155页例1）判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
（1）1，，，，，…；
（2）10，10，10，10，10，…；
（3），（）2，（）3，（）4，…；
（4）1，0，1，0，1，0，…；
（5）1，－4，16，－64，256，….
通性通法
判断一个数列是否为等比数列的方法
　　定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
【跟踪训练】
（多选）以下数列中是等比数列的是（　　）
A.1，2，6，18，…
B.1，－，，－，…
C.a，a，…，a，…
D.数列{an}中，＝q（q≠0），其中n∈N*
题型二 利用定义求等比数列中的项
【例2】　（链接教科书第156页例2）求出下列等比数列中的未知项：
（1）4，a，9；
（2）1，b，c，－8.
通性通法
　　一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可.但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列.
【跟踪训练】
若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则＝（　　）
A.±　　B.　　C.1　　D.±1
题型三 等比数列的判定与证明
【例3】　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1.求证：数列{an＋n}为等比数列.
通性通法
用定义法判定数列{an}是等比数列的步骤
（1）作商：；
（2）变形：化简；
（3）得结论：若化简结果是与n无关的常数，则{an}为等比数列，否则不是等比数列.
【跟踪训练】
判断下列数列是否为等比数列：
（1）an＝2n；（2）an＝n2；
（3）an＝3×2n；（4）an＝2n＋1.
1.下列数列是等比数列的是（　　）
A.10，100，1 000，10 000
B.4，6，9，12
C.－1，0，1，2
D.lg 2，lg 3，lg 6，lg 18
2.若数列{an}是等比数列，且an＝3n－1＋a－2，则a＝（　　）
A.　　 B.2
C.　　 D.3
3.（多选）下列说法正确的有（　　）
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22，42，62，82，…成等比数列
4.3.1　等比数列的概念
【基础知识·重落实】
知识点
同一个常数　公比　q
想一想
　提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×
2.B　A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B.
3.C　由等比数列定义知＝，即b2＝9，故b＝±3.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）不是等比数列.
（2）是等比数列，公比为1.
（3）是等比数列，公比为.
（4）不是等比数列.
（5）是等比数列，公比为－4.
跟踪训练
　BD　A项，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；B项，该数列符合等比数列的定义，是等比数列；C项，当a＝0时，不是等比数列；D项，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.
【例2】　解：（1）根据题意，得＝，
所以a＝6或a＝－6.
（2）根据题意，得解得
所以b＝－2，c＝4.
跟踪训练
　D　因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，所以a＝＝2，＝，b＝±＝±2，所以的值为±1.
【例3】　证明：由an＋1＝2an＋n－1，得an＋1＋n＋1＝2an＋2n＝2（an＋n），易知an＋n≠0，
∴＝2，且a1＋1＝2，
∴数列 {an＋n}是首项与公比都为2的等比数列.
跟踪训练
　解：（1）＝＝2，是等比数列.
（2）＝，不是常数，故不是等比数列.
（3）＝＝2，是等比数列.
（4）＝，不是常数，故不是等比数列.
随堂检测
1.A　A满足等比数列的定义，其余均不满足.
2.B　由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以＝，解得a＝2.
3.AC　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，不是等比数列，故D错误.
3 / 3(共48张PPT)
4.3.1　等比数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念 数学抽象
2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数
列，并能进行简单的求值 逻辑推理、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九
堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九
禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
【问题】　（1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
（2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　等比数列的概念
　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于
，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列
的 ，公比通常用字母 表示.
提醒　理解等比数列概念的注意点：①“从第2项起”，也就是说等
比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为
“每相邻两项的比”；③公比 q 可正，可负，但不能为0，它是一个与
n 无关的非零常数.
同一
个常数　
公比　
q 　
【想一想】
　若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定
是等比数列吗？
提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该
数列才是等比数列.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列. （　√　）
（2）若数列{ an }满足 ＝2， ＝2，则{ an }为等比数列.
（　×　）
（3）任何常数列都是等比数列. （　×　）
√
×
×
2. 下列数列为等比数列的是（　　）
A. 2，22，3×22，…
C. s －1，（ s －1）2，（ s －1）3，…
D. 0，0，0，…
解析：　A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B.
3. 若－1， b ，－9成等比数列，则 b ＝（　　）
A. 3 B. －3
C. ±3 D. 2
解析：　由等比数列定义知 ＝ ，即 b2＝9，故 b ＝±3.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列的概念
【例1】　（链接教科书第155页例1）判断下列数列是否是等比数
列，如果是，写出它的公比.
（1）1， ， ， ， ，…；
（2）10，10，10，10，10，…；
（3） ，（ ）2，（ ）3，（ ）4，…；
（4）1，0，1，0，1，0，…；
（5）1，－4，16，－64，256，….
解：（1）不是等比数列.
（2）是等比数列，公比为1.
（3）是等比数列，公比为 .
（4）不是等比数列.
（5）是等比数列，公比为－4.
通性通法
判断一个数列是否为等比数列的方法
　　定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都
等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列，否则，不是等比数
列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
【跟踪训练】
（多选）以下数列中是等比数列的是（　　）
A. 1，2，6，18，…
C. a ， a ，…， a ，…
解析：　A项，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；B
项，该数列符合等比数列的定义，是等比数列；C项，当 a ＝0时，不
是等比数列；D项，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.
题型二 利用定义求等比数列中的项
【例2】　（链接教科书第156页例2）求出下列等比数列中的未知
项：
（1）4， a ，9；
解： 根据题意，得 ＝ ，
所以 a ＝6或 a ＝－6.
（2）1， b ， c ，－8.
解： 根据题意，得解得
所以 b ＝－2， c ＝4.
通性通法
　　一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方
程或方程组求值即可.但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列
或负项的等比数列.
【跟踪训练】
若1， a ，3成等差数列，1， b ，4成等比数列，则 ＝（　　）
C. 1 D. ±1
解析： 　因为1， a ，3成等差数列，1， b ，4成等比数列，所以 a ＝
＝2， ＝ ， b ＝± ＝±2，所以 的值为±1.
题型三 等比数列的判定与证明
【例3】　已知数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝2 an ＋ n －1.求证：数列
{ an ＋ n }为等比数列.
证明：由 an＋1＝2 an ＋ n －1，得 an＋1＋ n ＋1＝2 an ＋2 n ＝2（ an ＋
n ），易知 an ＋ n ≠0，
∴ ＝2，且 a1＋1＝2，
∴数列 { an ＋ n }是首项与公比都为2的等比数列.
通性通法
用定义法判定数列{ an }是等比数列的步骤
（1）作商： ；
（2）变形：化简 ；
（3）得结论：若化简结果是与 n 无关的常数，则{ an }为等比数列，否
则不是等比数列.
【跟踪训练】
判断下列数列是否为等比数列：
（1） an ＝2 n ；（2） an ＝ n2；
（3） an ＝3×2 n ；（4） an ＝2 n ＋1.
解：（1） ＝ ＝2，是等比数列.
（2） ＝ ，不是常数，故不是等比数列.
（3） ＝ ＝2，是等比数列.
（4） ＝ ，不是常数，故不是等比数列.
1. 下列数列是等比数列的是（　　）
A. 10，100，1 000，10 000
B. 4，6，9，12
C. －1，0，1，2
D. lg 2，lg 3，lg 6，lg 18
解析： 　A满足等比数列的定义，其余均不满足.
2. 若数列{ an }是等比数列，且 an ＝3 n－1＋ a －2，则 a ＝（　　）
B. 2
D. 3
解析： 　由题意可得， a1＝ a －1， a2＝ a ＋1， a3＝ a ＋7，所以
＝ ，解得 a ＝2.
3. （多选）下列说法正确的有（　　）
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是R
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. 22，42，62，82，…成等比数列
解析： 　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显
然正确；由于 ≠ ，不是等比数列，故D错误.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若2， a ，6成等比数列，则 a ＝（　　）
A. 1
C. 2 D. －2
解析： 　根据等比数列的定义，可得 ＝ ，即 a2＝2×6＝12，所
以 a ＝±2 .
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2. 在等比数列{ an }中， a1＝8， a4＝64，则 a3＝（　　）
A. 16 B. －16
C. 32 D. －32
解析： 　根据等比数列的定义可得即解得
a3＝32.
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3. 在各项都为正数的数列{ an }中，若 an＋1＝3 an ， a1＝2，则 a4＝
（　　）
A. 108 B. 54
C. 36 D. 18
解析： 　因为 an＋1＝3 an ，即 ＝3，所以数列{ an }是公比为3
的等比数列，所以 ＝ ＝ ＝3，又 a1＝2，所以 a4＝54.
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4. （2024·泰州质检）“ b ＝ ”是“ a ， b ， c 成等比数列”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　由等比数列的定义可得 ＝ ，即 b2＝ ac ， b ＝± ，
故必要性不成立；若 b ＝ ，令 a ＝ b ＝0，满足 b ＝ ，但此
时 a ， b ， c 不构成等比数列，故充分性不成立.故选D.
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5. （多选）下列各组数成等比数列的是（　　）
A. 1，－2，4，－8
C. x ， x2， x3， x4 D. a－1， a－2， a－3， a－4
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解析： 　对于A：1，－2，4，－8中，由 ＝ ＝ ＝－2
得，数列是以－2为公比的等比数列；对于B：－ ，2，－2 ，
4中，由 ＝ ＝ ＝－ 得，数列是以－ 为公比的等
比数列；对于C：当 x ＝0时，不是等比数列；对于D： a－1， a－2，
a－3， a－4中，由 ＝ ＝ ＝ a－1得，数列是以 a－1为公比的等
比数列.故选A、B、D.
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6. （多选）已知{ an }是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是
（　　）
A. { an ＋1} B. {3 an }
D. { an＋1－ an }
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解析： 　不妨设等比数列{ an }的公比为 q .对于A选项，不妨取
数列{ an }展开为2，4，8，16，…，则{ an ＋1}展开为3，5，9，
17，…，显然不是等比数列，故A项错误；对于B选项，由 ＝
＝ q ，则数列{3 an }为等比数列，故B项正确；对于C选项，由
＝（ ）2＝ q2，则数列{ }为等比数列，故C项正确；对于
D选项，当 q ＝1时，数列{ an＋1－ an }为首项为0的常数列，显然不
是等比数列，故D项错误.故选B、C.
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7. 若{ an }为等比数列，且 a3＋ a4＝4， a2＝2，则公比 q ＝ .
解析：因为 ＝ q ，所以 a3＝ a2 q ＝2 q ，因为 ＝ q ，所以 a4＝ a3 q
＝2 q2，所以2 q2＋2 q ＝4，即 q2＋ q －2＝0，解得 q ＝1或 q ＝－2.
1或－2　
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8. 已知 a 是2和4的等差中项，若数列－2， b ，－8成等比数列，则 ab
＝ .
解析：因为 a 是2和4的等差中项，故 a ＝ ＝3 ，数列－2， b ，－
8成等比数列，故 ＝ ，即 b ＝± ＝±4，所以
ab ＝±12.
±12　
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9. 在△ ABC 中，若 sin A ， sin B ， sin C 成公比为 的等比数列，则
cos B ＝ .
解析：因为 sin A ， sin B ， sin C 成公比为 的等比数列，所以 sin
B ＝ sin A ， sin C ＝2 sin A ，由正弦定理可知 b ＝ a ， c ＝2 a ，
所以 cos B ＝ ＝ ＝ .
　
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10. 已知数列{ an }的通项公式，判断它是否为等比数列：
（1） an ＝3 n ；（2） an ＝5×32－ n ；
（3） an ＝ n－1；（4） an ＝3.
解：由等比数列的定义可知， ＝ q （ n ≥2， n ∈N*），
若 q 是一个与 n 无关的非零常数，则数列{ an }是等比数列.
（1） ＝ ＝ ，不是常数，故不是等比数
列；
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（2） ＝ ＝ ，是等比数列；
（3） ＝ ＝ ，不是常数，故不是等比
数列；
（4） ＝ ＝1，是等比数列.
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11. （2024·广州质检）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出
自《庄子·天下》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一
半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下 a1尺，第
二天被截取剩下的一半剩下 a2尺，…，第五天被截取剩下的一半
剩下 a5尺，则 ＝（　　）
A. 18 B. 20
C. 22 D. 24
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解析： 　设这根木棰总长为1，每天截取其一半，剩下的部分记
为 an ，则{ an }是首项 a1＝ ，公比 q ＝ 的等比数列，所以 a1＝
， a2＝ ，…， a5＝ ，所以 ＝ ＝24.
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12. 已知不等式 x2－5 x －6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数列
{ an }的前三项，则数列{ an }的第四项是（　　）
A. 8
C. 8或2
解析： 　不等式 x2－5 x －6＜0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜6}，其中
成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前3项为1，2，4，则第
4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为 .
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13. 在等比数列 a ，2 a ＋2，3 a ＋3，…，中， a ＝ .
解析： a ，2 a ＋2，3 a ＋3成等比数列，则 ＝ ，即（2 a
＋2）2＝ a （3 a ＋3），解得 a ＝－4或 a ＝－1，当 a ＝－1时，2 a
＋2＝0，3 a ＋3＝0，不满足条件；当 a ＝－4时，等比数列为：－
4，－6，－9，…，满足条件.
－4　
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14. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且 Sn ＝ （ an －1）（ n ∈N*）.证
明：数列{ an }是等比数列.
证明：因为 Sn ＝ （ an －1），所以 Sn＋1＝ （ an＋1－1），
两式相减，得 an＋1＝ an＋1－ an ，即 an＋1＝－ an .
又当 n ＝1时， a1＝ S1＝ （ a1－1），所以 a1＝－ .
所以数列{ an }是首项为－ ，公比为－ 的等比数列.
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15. 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 a ， b ， c
成等比数列，且 a2－ c2＝ ac － bc ，求角 A 的大小及 的值.
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解：∵ a ， b ， c 成等比数列，∴ ＝ ，即 b2＝ ac ，
又 a2－ c2＝ ac － bc ，∴ a2－ c2＝ b2－ bc ，即 b2＋ c2－ a2＝ bc ，
在△ ABC 中，由余弦定理得 cos A ＝ ＝ ＝ ，∴ A ＝
60°.
在△ ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝ ，
∴ ＝ ＝ sin A ＝ .
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