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第3课时　等比数列的综合问题
1.若数列{an}是公比为q的递增等比数列，则（　　）
A.a1＞0，q＞1
B.a1（q－1）＞0
C.（a1－1）q＞0
D.（a1－1）q＜0
2.在等比数列{an}中，a1，a17是方程x2＋2 024x＋25＝0的两个实根，则a9＝（　　）
A.－5　　 B.±5
C.5　　 D.25
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为（　　）
A.－24　　 B.－3
C.3　　 D.8
4.（2024·盐城质检）已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c（　　）
A.成等比数列，不成等差数列
B.成等差数列，不成等比数列
C.既不成等比数列，又不成等差数列
D.既成等差数列，又成等比数列
5.（多选）已知{an}为等差数列，满足2a2－a1＝2，{bn}为等比数列，满足b2＝1，b4＝4，则下列说法正确的是（　　）
A.数列{an}的首项为4　　
B.a3＝2
C.b8＝64　　
D.数列{bn}的公比为±2
6.（多选）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）
A.a1＋a3≥2a2
B.＋≥2
C.若a1＝a2，则a1＝a3
D.若a3＞a1，则a4＞a2
7.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　.
8.已知等比数列{an}中，a5a11＝9a8，数列{bn}是等差数列，且b8＝a8，则b3＋b13＝　　　　　.
9.在各项为正的递增等比数列{an}中，a1a2a6＝64，a1＋a3＋a5＝21，则an＝　　　　.
10.已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，求原来的三个数的和.
11.（2024·南京月考）已知函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），则下列条件能使数列{an}成等比数列的是（　　）
A.f（an）＝2n　　 B.f（an）＝n2
C.f（an）＝2n　　 D.f（an）＝
12.（多选）设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（　　）
A.0＜q＜1
B.a7＝1
C.K9＞K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
13.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为　　　　.
14.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an（n＋2－λ），且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围.
15.已知数列{Am}：a1，a2，…，am（m≥2）.若存在公比为q的等比数列{Bm＋1}：b1，b2，…，bm＋1，使得bk＜ak＜bk＋1，其中k＝1，2，…，m，则称数列{Bm＋1}为数列{Am}的“等比分割数列”.若数列{A10}的通项公式为an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”{B11}的首项为1，求数列{B11}的公比q的取值范围.
第3课时　等比数列的综合问题
1.B　依题意，不妨设a1＝1，q＝2，数列是递增的等比数列，由此判断C、D选项错误.设a1＝－1，q＝，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.
2.A　由题意得得a1＜0，a17＜0，则a9＝a1q8＜0.由＝a1a17＝25，得a9＝－5.故选A.
3.A　根据题意得＝a2a6，即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋5d），解得d＝0（舍去）或d＝－2，所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×（－2）＝－24.
4.A　由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，所以＝＝22d，故a，b，c成等比数列.若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列.
5.BCD　对于A项，设{an}的公差为d，由2a2－a1＝2可得2（a1＋d）－a1＝2，a1＋2d＝2，不能确定a1的值，故A项错误；对于B项，a3＝a1＋2d＝2，故B项正确；对于C、D两项，设{bn}的公比为q，由b2＝1，b4＝4，可得q2＝4，则q＝±2，于是b8＝b4q4＝64，故C项正确，D项也正确.故选B、C、D.
6.BC　设等比数列{an}的公比为q，当a1＜0，q＜0时，a3＜0，a2＞0，故a1＋a3≥2a2不成立，故A不正确；＋＝（）2＋（a2q）2＝（＋q2）≥2，当且仅当q2＝1时，等号成立，故B正确；若a1＝a2，则q＝1，所以a1＝a3成立，故C正确；当a1＝1，q＝－2时，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，满足a3＞a1，但a4＞a2不成立，故D不正确.
7.　解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或q＝.又0＜q＜1，∴q＝.
8.18　解析：在等比数列{an}中，a5a11＝9a8，即＝9a8，又an≠0，所以a8＝9，所以b8＝a8＝9，所以在等差数列{bn}中有b3＋b13＝2b8＝18.
9.2n－1　解析：∵{an}为等比数列，设其公比为q，∴a1a2a6＝q6＝（a1q2）3＝＝64，则a3＝4，∵a1＋a3＋a5＝21，∴＋a3＋a3q2＝21，即＋4＋4q2＝21，解得q＝±2或q＝±，又∵{an}各项为正且递增，∴q＝2，a1＝1，∴an＝2n－1.
10.解：依题意，设原来的三个数依次为，a，aq.
因为·a·aq＝512，所以a＝8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以（－2）＋（aq－2）＝2a，所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝，
所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.
因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原来的三个数的和等于28.
11.C　由f（x）＝logax（a＞0，a≠1），令y＝logax，可得x＝ay，故对于A，有an＝，非等比数列；对于B，an＝，非等比数列；对于C，an＝a2n，为等比数列；对于D，an＝，非等比数列.
12.ABD　根据题意，分析选项.对于B，由K6＝K7，得a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D.
13.64　解析：法一　设{an}的公比为q，依题意得解得所以an＝（）n－4，从而a1a2…an＝（＝（，当n＝3或n＝4时，［（n－）2－］取到最小值－6，此时（取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.
法二　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.
14.解：（1）设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，
解得q＝或q＝（舍去），
所以an＝8×（）n－1＝24－n，n∈N*.
（2）bn＝an（n＋2－λ）＝（n＋2－λ）·24－n，
由bn＞bn＋1，
得（n＋2－λ）·24－n＞（n＋3－λ）·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜（n＋1）min＝2，
故实数λ的取值范围为（－∞，2）.
15.解：因为{B11}的首项为1，公比为q，所以bn＝qn－1，则qk－1＜2k＜qk对于k＝1，2，…，10成立，
当k＝1时1＜2＜q；
当k＝2，3，…，10时，2＜q＜.
而y＝2x是增函数，＝1＋随着k的增大而减小，
所以y＝随着k的增大而减小，
从而（）min＝，所以2＜q＜.
2 / 2第3课时　等比数列的综合问题
题型一 等比数列与指数函数的关系
【例1】　（2024·无锡质检）在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　）
A.递增数列　　　 B.递减数列
C.常数列　　 D.无法确定单调性
通性通法
判断等比数列{an}的单调性的方法
（1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；
（2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；
（3）当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，数列{an}是摆动数列.
【跟踪训练】
1.设{an}是等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（　　）
A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件
C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件
2.若等比数列{an}是递减数列，且a2＋a4＝30，a2a4＝144，则公比q＝　　　　.
题型二 等比数列中项的设法
【例2】　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
通性通法
巧设等比数列项的方法
（1）若三个数成等比数列，常设为，a，aq.推广到一般，奇数个数成等比数列，可设为…，，，a，aq，aq2，…；
（2）四个符号相同的数成等比数列，常设为，，aq，aq3.推广到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…，，，，aq，aq3，aq5，…；
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
【跟踪训练】
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是　　　　.
题型三 等差、等比数列的综合问题
【例3】　（2024·淮安月考）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.
通性通法
　　解决等差、等比数列综合问题时，一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系，然后利用两种数列的性质求解.
【跟踪训练】
在公比大于0的等比数列{an}中，已知a2，a3，6a1依次组成公差为4的等差数列，求{an}的通项公式.
1.在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　）
A.递增数列　　 B.递减数列
C.常数列　　 D.无法确定单调性
2.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝　　　　.
3.已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数.
第3课时　等比数列的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　D　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列（）n的公比为，是递减数列；等比数列－（）n的公比为，是递增数列.
跟踪训练
1.B　设等比数列{an}的公比为q，由a1＜a2，可得a1（q－1）＞0，解得或此时数列{an}不一定是递增数列；若数列{an}为递增数列，可得或所以“a1＜a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件.
2.　解析：∵a2＋a4＝30，a2a4＝144，∴a2，a4是方程x2－30x＋144＝0的两个实数根（a2＞a4），∴a2＝24，a4＝6，∴q2＝＝＝，解得q＝或q＝－（舍去）.
【例2】　解：法一　设前三个数分别为，a，aq，
则·a·aq＝216，
所以a3＝216，
所以a＝6.
因此前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6，
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝.
故所求的四个数为9，6，4，2.
法二　设后三个数分别为4－d，4，4＋d，
则第一个数为（4－d）2，
由题意知（4－d）2×（4－d）×4＝216，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求的四个数为9，6，4，2.
跟踪训练
　45　解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
【例3】　解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）.
因为S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，
所以2S3＝S1＋1＋S4，＝a1a5，
即a2＋a3＝1＋a4，（a1＋d）2＝a1（a1＋4d）.
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝1＋2（n－1）＝2n－1，n∈N*.
（2）由（1）可得Sn＝＝n2，
所以S4＝42＝16，S6＝62＝36.
因为S4，S6，Sn成等比数列，
所以＝S4·Sn，
所以362＝16n2，化为36＝4n，解得n＝9，
此等比数列的公比q＝＝.
跟踪训练
　解：设{an}的公比为q（q＞0），因为a2，a3，6a1成等差数列，
所以a2＋6a1＝2a3，则2q2－q－6＝0.
又q＞0，所以q＝2.
又因为a3－a2＝4，即a1q2－a1q＝4，
所以4a1－2a1＝4，解得a1＝2，
所以an＝2×2n－1＝2n.
随堂检测
1.A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以数列{an}为递增数列.
2.1　解析：∵{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.∵{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1q＝2，则＝＝1.
3.解：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，
则
解得或
故所求四个数依次为－，，－2，8或8，－2，，－.
2 / 2(共47张PPT)
第3课时　
等比数列的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列与指数函数的关系
【例1】　（2024·无锡质检）在等比数列{ an }中，如果公比为 q ，且 q
＜1，那么等比数列{ an }是（　　）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 无法确定单调性
解析： 　如等比数列{（－1） n }的公比为－1，是摆动数列，不具有
单调性；等比数列 （ ） n 的公比为 ，是递减数列；等比数列 －
（ ） n 的公比为 ，是递增数列.
通性通法
判断等比数列{ an }的单调性的方法
（1）当 q ＞1， a1＞0或0＜ q ＜1， a1＜0时，数列{ an }是递增数列；
（2）当 q ＞1， a1＜0或0＜ q ＜1， a1＞0时，数列{ an }是递减数列；
（3）当 q ＝1时，{ an }是常数列；当 q ＜0时，数列{ an }是摆动数列.
【跟踪训练】
1. 设{ an }是等比数列，则“ a1＜ a2”是“数列{ an }是递增数列”的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　设等比数列{ an }的公比为 q ，由 a1＜ a2，可得 a1（ q －
1）＞0，解得或此时数列{ an }不一定是
递增数列；若数列{ an }为递增数列，可得或
所以“ a1＜ a2”是“数列{ an }为递增数列”的必要不充分条件.
2. 若等比数列{ an }是递减数列，且 a2＋ a4＝30， a2 a4＝144，则公比 q
＝ .
解析：∵ a2＋ a4＝30， a2 a4＝144，∴ a2， a4是方程 x2－30 x ＋144
＝0的两个实数根（ a2＞ a4），∴ a2＝24， a4＝6，∴ q2＝ ＝ ＝
，解得 q ＝ 或 q ＝－ （舍去）.
　
题型二 等比数列中项的设法
【例2】　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，
后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
解：法一　设前三个数分别为 ， a ， aq ，
则 · a · aq ＝216，
所以 a3＝216，所以 a ＝6.
因此前三个数为 ，6，6 q .
由题意知第4个数为12 q －6，
所以6＋6 q ＋12 q －6＝12，
解得 q ＝ .
故所求的四个数为9，6，4，2.
法二　设后三个数分别为4－ d ，4，4＋ d ，
则第一个数为 （4－ d ）2，
由题意知 （4－ d ）2×（4－ d ）×4＝216，
解得4－ d ＝6.所以 d ＝－2.
故所求的四个数为9，6，4，2.
通性通法
巧设等比数列项的方法
（1）若三个数成等比数列，常设为 ， a ， aq .推广到一般，奇数个
数成等比数列，可设为…， ， ， a ， aq ， aq2，…；
（2）四个符号相同的数成等比数列，常设为 ， ， aq ， aq3.推广
到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…， ，
， ， aq ， aq3， aq5，…；
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为
a ， aq ， aq2， aq3.
【跟踪训练】
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数
列，则这四个数的和是 .
45　
解析：设这四个数分别为 a ， aq ， aq2， aq3，则 a －1， aq －1， aq2－
4， aq3－13成等差数列.即
整理得解得因此这四个数分别是3，6，
12，24，其和为45.
题型三 等差、等比数列的综合问题
【例3】　（2024·淮安月考）已知公差不为0的等差数列{ an }的前 n 项
和为 Sn ， S1＋1， S3， S4成等差数列，且 a1， a2， a5成等比数列.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： 设等差数列{ an }的公差为 d （ d ≠0）.
因为 S1＋1， S3， S4成等差数列，且 a1， a2， a5成等比数列，
所以2 S3＝ S1＋1＋ S4， ＝ a1 a5，
即 a2＋ a3＝1＋ a4，（ a1＋ d ）2＝ a1（ a1＋4 d ）.
解得 a1＝1， d ＝2，
所以 an ＝1＋2（ n －1）＝2 n －1， n ∈N*.
（2）若 S4， S6， Sn 成等比数列，求 n 及此等比数列的公比.
解： 由（1）可得 Sn ＝ ＝ n2，
所以 S4＝42＝16， S6＝62＝36.
因为 S4， S6， Sn 成等比数列，
所以 ＝ S4· Sn ，
所以362＝16 n2，化为36＝4 n ，解得 n ＝9，
此等比数列的公比 q ＝ ＝ .
通性通法
　　解决等差、等比数列综合问题时，一定要弄清等差数列中的
某些项与等比数列中的某些项之间的关系，然后利用两种数列的
性质求解.
【跟踪训练】
在公比大于0的等比数列{ an }中，已知 a2， a3，6 a1依次组成公差为4
的等差数列，求{ an }的通项公式.
解：设{ an }的公比为 q （ q ＞0），因为 a2， a3，6 a1成等差数列，
所以 a2＋6 a1＝2 a3，则2 q2－ q －6＝0.
又 q ＞0，所以 q ＝2.
又因为 a3－ a2＝4，即 a1 q2－ a1 q ＝4，
所以4 a1－2 a1＝4，解得 a1＝2，
所以 an ＝2×2 n－1＝2 n .
1. 在等比数列{ an }中，已知 a1＞0，8 a2－ a5＝0，则数列{ an }为
（　　）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 无法确定单调性
解析： 　由8 a2－ a5＝0，可知 ＝ q3＝8，解得 q ＝2.又 a1＞0，
所以数列{ an }为递增数列.
2. 若等差数列{ an }和等比数列{ bn }满足 a1＝ b1＝－1， a4＝ b4＝8，则
＝ .
解析：∵{ an }为等差数列， a1＝－1， a4＝8＝ a1＋3 d ＝－1＋3 d ，
∴ d ＝3，∴ a2＝ a1＋ d ＝－1＋3＝2.
∵{ bn }为等比数列， b1＝－1， b4＝8＝ b1 q3＝－ q3，∴ q ＝－2，
∴ b2＝ b1 q ＝2，则 ＝ ＝1.
1　
3. 已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－ ，
求这四个数.
解：设四个数依次为 a ， aq ， aq2， aq3，
则
解得或
故所求四个数依次为－ ， ，－2，8或8，－2， ，－ .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若数列{ an }是公比为 q 的递增等比数列，则（　　）
A. a1＞0， q ＞1 B. a1（ q －1）＞0
C. （ a1－1） q ＞0 D. （ a1－1） q ＜0
解析： 　依题意，不妨设 a1＝1， q ＝2，数列是递增的等比数
列，由此判断C、D选项错误.设 a1＝－1， q ＝ ，数列是递增的等
比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.
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2. 在等比数列{ an }中， a1， a17是方程 x2＋2 024 x ＋25＝0的两个实
根，则 a9＝（　　）
A. －5 B. ±5
C. 5 D. 25
解析： 　由题意得得 a1＜0， a17＜0，
则 a9＝ a1 q8＜0.由 ＝ a1 a17＝25，得 a9＝－5.故选A.
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3. 等差数列{ an }的首项为1，公差不为0.若 a2， a3， a6成等比数列，
则{ an }的前6项和为（　　）
A. －24 B. －3
C. 3 D. 8
解析： 　根据题意得 ＝ a2 a6，即（ a1＋2 d ）2＝（ a1＋ d ）（ a1
＋5 d ），解得 d ＝0（舍去）或 d ＝－2，所以数列{ an }的前6项和
为 S6＝6 a1＋ d ＝1×6＋ ×（－2）＝－24.
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4. （2024·盐城质检）已知{ an }是等差数列，且公差 d ≠0，若 a ＝
， b ＝ ， c ＝ ，则 a ， b ， c （　　）
A. 成等比数列，不成等差数列
B. 成等差数列，不成等比数列
C. 既不成等比数列，又不成等差数列
D. 既成等差数列，又成等比数列
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解析： 　由{ an }是等差数列，且公差 d ≠0，得 a1， a3， a5是公差
为2 d 的等差数列，所以 ＝ ＝22 d ，故 a ， b ， c 成等比数列.
若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数
列，而 a ， b ， c 不是常数列，故 a ， b ， c 不是等差数列.
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5. （多选）已知{ an }为等差数列，满足2 a2－ a1＝2，{ bn }为等比数
列，满足 b2＝1， b4＝4，则下列说法正确的是（　　）
A. 数列{ an }的首项为4
B. a3＝2
C. b8＝64
D. 数列{ bn }的公比为±2
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解析： 　对于A项，设{ an }的公差为 d ，由2 a2－ a1＝2可得2
（ a1＋ d ）－ a1＝2， a1＋2 d ＝2，不能确定 a1的值，故A项错误；
对于B项， a3＝ a1＋2 d ＝2，故B项正确；对于C、D两项，设{ bn }
的公比为 q ，由 b2＝1， b4＝4，可得 q2＝4，则 q ＝±2，于是 b8＝
b4 q4＝64，故C项正确，D项也正确.故选B、C、D.
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6. （多选）已知{ an }为等比数列，下面结论中正确的是（　　）
A. a1＋ a3≥2 a2 B. ＋ ≥2
C. 若 a1＝ a2，则 a1＝ a3 D. 若 a3＞ a1，则 a4＞ a2
解析： 　设等比数列{ an }的公比为 q ，当 a1＜0， q ＜0时， a3＜
0， a2＞0，故 a1＋ a3≥2 a2不成立，故A不正确； ＋ ＝（ ）2
＋（ a2 q ）2＝ （ ＋ q2）≥2 ，当且仅当 q2＝1时，等号成
立，故B正确；若 a1＝ a2，则 q ＝1，所以 a1＝ a3成立，故C正确；
当 a1＝1， q ＝－2时， a2＝－2， a3＝4， a4＝－8，满足 a3＞ a1，但
a4＞ a2不成立，故D不正确.
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7. 在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98
石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 .
解析：设衰分比例为 q ，则甲、乙、丙各分得 ，28，28 q 石，
∴ ＋28＋28 q ＝98，∴ q ＝2或 q ＝ .又0＜ q ＜1，∴ q ＝ .
　
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8. 已知等比数列{ an }中， a5 a11＝9 a8，数列{ bn }是等差数列，且 b8＝
a8，则 b3＋ b13＝ .
解析：在等比数列{ an }中， a5 a11＝9 a8，即 ＝9 a8，又 an ≠0，所
以 a8＝9，所以 b8＝ a8＝9，所以在等差数列{ bn }中有 b3＋ b13＝2 b8
＝18.
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9. 在各项为正的递增等比数列{ an }中， a1 a2 a6＝64， a1＋ a3＋ a5＝
21，则 an ＝ .
解析：∵{ an }为等比数列，设其公比为 q ，∴ a1 a2 a6＝ q6＝（ a1
q2）3＝ ＝64，则 a3＝4，∵ a1＋ a3＋ a5＝21，∴ ＋ a3＋ a3 q2＝
21，即 ＋4＋4 q2＝21，解得 q ＝±2或 q ＝± ，又∵{ an }各项为
正且递增，∴ q ＝2， a1＝1，∴ an ＝2 n－1.
2 n－1　
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10. 已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各
减去2，则此时的三个数成等差数列，求原来的三个数的和.
解：依题意，设原来的三个数依次为 ， a ， aq .
因为 · a · aq ＝512，所以 a ＝8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以
（ －2）＋（ aq －2）＝2 a ，所以2 q2－5 q ＋2＝0，所以 q ＝2或
q ＝ ，
所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.
因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原来的三个数的和等于28.
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11. （2024·南京月考）已知函数 f （ x ）＝log ax （ a ＞0， a ≠1），则
下列条件能使数列{ an }成等比数列的是（　　）
A. f （ an ）＝2 n B. f （ an ）＝ n2
C. f （ an ）＝2 n D. f （ an ）＝
解析： 　由 f （ x ）＝log ax （ a ＞0， a ≠1），令 y ＝log ax ，可得
x ＝ ay ，故对于A，有 an ＝ ，非等比数列；对于B， an ＝
，非等比数列；对于C， an ＝ a2 n ，为等比数列；对于D， an ＝
，非等比数列.
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12. （多选）设{ an }（ n ∈N*）是各项均为正数的等比数列， q 是其公
比， Kn 是其前 n 项的积，且 K5＜ K6， K6＝ K7＞ K8，则下列选项中
成立的是（　　）
A. 0＜ q ＜1
B. a7＝1
C. K9＞ K5
D. K6与 K7均为 Kn 的最大值
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解析： 　根据题意，分析选项.对于B，由 K6＝ K7，得 a7＝
＝1，B正确；对于A，由 K5＜ K6可得， a6＝ ＞1，则 q ＝ ∈
（0，1），故A正确；对于C，由{ an }是各项均为正数的等比数列
且 q ∈（0，1）可得数列是递减数列，则有 K9＜ K5，故C错误；
对于D，结合 K5＜ K6， K6＝ K7＞ K8，可得D正确.故选A、B、D.
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13. 设等比数列{ an }满足 a1＋ a3＝10， a2＋ a4＝5，则 a1 a2… an 的最大
值为 .
解析：法一　设{ an }的公比为 q ，依题意得解得
所以 an ＝（ ） n－4，从而 a1 a2… an ＝（
＝（ ，当 n ＝3或 n ＝4时， ［（ n － ）2－
］取到最小值－6，此时（ 取到最大值26，
所以 a1 a2… an 的最大值为64.
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法二　设{ an }的公比为 q ，由 a1＋ a3＝10， a2＋ a4＝5，得 a1＝8， q ＝
，则 a2＝4， a3＝2， a4＝1， a5＝ ，所以 a1 a2… an ≤ a1 a2 a3 a4＝64.
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14. 设数列{ an }是公比小于1的正项等比数列，已知 a1＝8，且 a1＋
13，4 a2， a3＋9成等差数列.
（1）求数列{ an }的通项公式；
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解： 设数列{ an }的公比为 q .
由题意，可得 an ＝8 qn－1，且0＜ q ＜1.
由 a1＋13，4 a2， a3＋9成等差数列，
知8 a2＝30＋ a3，所以64 q ＝30＋8 q2，
解得 q ＝ 或 q ＝ （舍去），
所以 an ＝8×（ ） n－1＝24－ n ， n ∈N*.
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（2）若 bn ＝ an （ n ＋2－λ），且数列{ bn }是递减数列，求实数
λ的取值范围.
解： bn ＝ an （ n ＋2－λ）＝（ n ＋2－λ）·24－ n ，
由 bn ＞ bn＋1，
得（ n ＋2－λ）·24－ n ＞（ n ＋3－λ）·23－ n ，
即λ＜ n ＋1，所以λ＜（ n ＋1）min＝2，
故实数λ的取值范围为（－∞，2）.
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15. 已知数列{ Am }： a1， a2，…， am （ m ≥2）.若存在公比为 q 的等
比数列{ Bm＋1}： b1， b2，…， bm＋1，使得 bk ＜ ak ＜ bk＋1，其中 k
＝1，2，…， m ，则称数列{ Bm＋1}为数列{ Am }的“等比分割数
列”.若数列{ A10}的通项公式为 an ＝2 n （ n ＝1，2，…，10），
其“等比分割数列”{ B11}的首项为1，求数列{ B11}的公比 q 的取
值范围.
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解：因为{ B11}的首项为1，公比为 q ，所以 bn ＝ qn－1，则 qk－1＜2 k
＜ qk 对于 k ＝1，2，…，10成立，
当 k ＝1时1＜2＜ q ；
当 k ＝2，3，…，10时，2＜ q ＜ .
而 y ＝2 x 是增函数， ＝1＋ 随着 k 的增大而减小，
所以 y ＝ 随着 k 的增大而减小，
从而（ ）min＝ ，所以2＜ q ＜ .
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