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吉林省2025年中考数学真题
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意．每小题3分，共18分）
1．（2025·吉林）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点A'，则点A'表示的数为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：点A 向左移动3个单位长度得到点A' 表示的数为1-3=-2，
故答案为：B.
【分析】根据数轴上点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可.
2．（2025·吉林）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（　　）
A．我 B．中 C．国 D．梦
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“国”与“的”是对面，
故答案为： C.
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
3．（2025·吉林）计算（2a2）3的结果为（　　）
A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a6
【答案】D
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解： （2a2）3=8a6，
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方，先把每个因式分别乘方，再把幂相乘解答即可.
4．（2025·吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　）
A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：x﹣3＞2 ，
x>5，
故选：A.
【分析】根据移项、合并同类项解答不等式解答即可.
5．（2025·吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（　　）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】B
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：，
图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为
故答案为： B.
【分析】先求出正三角形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可.
6．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC＝BC
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知
故选项A， B， C正确.
故答案为： D.
【分析】根据作图得到然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．（2025·吉林）因式分解：a2﹣ab ＝　 　．
【答案】a（a﹣b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）
故答案为：a（a﹣b）
【分析】根据提公因式法分解因式即可.
8．（2025·吉林）计算：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先化简二次跟上，再合并同类二次根式即可．
9．（2025·吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　 　 ．
【答案】3（x﹣2）＝2x+9
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：
故答案为：
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
10．（2025·吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　 　 度．
【答案】36
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∵∠ABC+∠FBC=180°，
∠BCD+∠BCF=180°，
∴∠FBC=180°-∠ABC=180°-108°= 72°，∠BCF=180°-∠BCD=180°-108°= 72°，
在△BCF中， ∠F+∠FBC+∠BCF=180°，
∴∠F= 180°-∠FBC-∠BCF
= 180°-72°-72°
=108°-72°
=36°.
故答案为：36.
【分析】根据正多边形的内角和公式求出然后再根据邻补角性质，可得∠ABC+∠FBC=180°，∠BCD+∠BCF=180°， 即可求出∠FBC，∠BCF的度数，在△BCF中，根据三角形的内角和定理即可得出答案.
11．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　 　 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
轴， 轴，
∵半径为1，
∴A点的纵坐标为1，
把 代入 求得
∴第一象限中阴影的面积
同理，第三象限中阴影的面积
故答案为：
【分析】根据题意可得 代入解析式求得点A的坐标，根据正切的定义求出求得 然后根据扇形的面积公式求得两个象限中扇形的面积解答即可.
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12．（2025·吉林）先化简，再求值：，其中a＝2025．
【答案】解：原式
＝a+1，
当a＝2025时，
原式＝a+1
＝2025+1
＝2026．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把分子分解因式，然后约分化为最简分式，然后代入a的值即可解答.
13．（2025·吉林）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种，
∴小刚和小利被分配到同一组的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】画树状图得到所有等可能情况，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解答即可.
14．（2025·吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
【答案】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，
根据题意得：，
解得，
答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品6盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“ 甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元 ”列二元一次方程组解答即可.
15．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
16．（2025·吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.
17．（2025·吉林）端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为（150±9）克时，其质量等级为合格；粽子质量为（150±3）克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子，质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息：
被抽检粽子的质量（单位：克）分布
甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155
乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155
被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计
参赛小组 平均数 众数
甲组 150 152
乙组 150 147
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？
（2）此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由．
【答案】（1）解：因为乙组中147和150均出现了2次，众数为147，
所以缺失的数据为147，且147＝150﹣3，
∴质量登记为优秀；
（2）解：乙参赛小组能获得奖励，理由如下：
甲组优秀个数约为220132（个），
乙组优秀个数约为200140（个），
所以乙参赛小组能获得奖励．
【知识点】统计表；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据众数的定义求出乙组缺失的数据，然后判断等级即可；
（2）根据样本中甲、乙两组的优秀率求出优秀的个数，然后比较解答即可.
18．（2025·吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
灰 实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m．
任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）
任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为 ▲ cm．（结果精确到1cm）
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
【答案】解：任务二，计算实际高度，
∵依题意，四边形EBDC为矩形，
∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，
∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，
∴AE＝CE tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），
∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），
答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m；
任务三，换算模型高度，
设3D打即模型的高度为x m，
∵x：77＝1：400，
解得x＝0.1925，
∴3D打即模型的高度为0.1925m，
∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，
∴3D打即模型的高度约为19cm，
故答案为：19．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】任务二：先得到四边形EBDC为矩形，得到对应边相等，然后在Rt△AEC中，根据正切的定义求出AE长，再根据线段的和差解答即可；
任务三：设3D打即模型的高度为x m，根据比例尺求出x的值，换算单位比较解答即可.
19．（2025·吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 　 　 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【答案】（1）7
（2）解：当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7；
【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC 的值解答即可；
（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；
（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.
20．（2025·吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
【答案】（1）解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）m＝0.6，n＝1.6．
解：（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图象所给数据可得结论；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=8代入求出拉力，然后求出弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，然后代入F拉力=3.4，求出铝块下降的高度，然后减去铝块的高度解答即可.
21．（2025·吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
（1）【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
（2）【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
（3）【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
【答案】（1）解：四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，
∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形；
（2）证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，
∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴DEAD，BMBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
（3）解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，
∴∠AET＝30°，
∴ATAE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ETx＝GK，
∵E为AD中点，
∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KNGKx＝3x，
∵BN＝BMBCAD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NHy，
∵四边形GFHN是菱形，
∴GF＝FH＝NH＝GNy，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EGy，GW＝AEy，
∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴WN＝GWy，
∴AB＝AW+WN+BNyyyy，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】【探究发现】由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE =GE， DF=GF， 而DF =DE， 故GE=DE=DF=GF， 从而四边形DEGF是菱形；
【探究证明】同【探究发现】可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE =BM，AD∥NH，又DE=FG，FG∥AD，故FG=DE=BM=HN，FGIINH， 从而四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时， 过G作GK⊥AB于K， 过E作ET⊥AB于T， 设AT =x， 则AE =2x， 可得AD=2AE =4x， DE =AE =2x， 求出AB=AT+TK+KN+BN =x+2x+3x+2x=8x，即可得到比值；当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W， 设AD= y， 求出 ，即可得到比值.
22．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
（3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．
（4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1，
解得b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
（2）解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下：
根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q，
∴△QOD∽△QPM，
∴，
∴，
则；
（3）解：如图所示，QM经过最低点，即经过顶点，
该抛物线的顶点横坐标为，
纵坐标为，
该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ，
∴△PON∽△OQD，且相似比为，
根据顶点纵坐标可得，OD＝2，
则，即，
解得，
①当时，
即为如图所示，
此时，
点Q在第四象限，
故；
②如图所示，
当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时，
故；
综上，或；
（4）解：①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E，
由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE，
∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1，
∴当点P向左运动时，满足题意，
∴m≤﹣1；
②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E，
同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，
解得（舍去），或，
此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意，当x2﹣2x﹣1＝0时，
解得，x2＝1+，
∴当x 1﹣时，符合题意；
③如图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限，
思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，
解得m＝﹣m＝，
此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意，
∴当≤m≤1+时，符合题意；
综上所述，当m≤﹣1或﹣≤m≤1﹣或≤m≤1+时，符合题意．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可；
(3)QM经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出m的值，最后分两种情况求出点Q的坐标即可；
(4)根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可.
1 / 1吉林省2025年中考数学真题
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意．每小题3分，共18分）
1．（2025·吉林）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点A'，则点A'表示的数为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．4
2．（2025·吉林）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（　　）
A．我 B．中 C．国 D．梦
3．（2025·吉林）计算（2a2）3的结果为（　　）
A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a6
4．（2025·吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　）
A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
5．（2025·吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（　　）
A．90° B．120° C．150° D．180°
6．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC＝BC
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．（2025·吉林）因式分解：a2﹣ab ＝　 　．
8．（2025·吉林）计算：　 　．
9．（2025·吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　 　 ．
10．（2025·吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　 　 度．
11．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　 　 ．（结果保留π）
三、解答题（本题共11小题，共87分）
12．（2025·吉林）先化简，再求值：，其中a＝2025．
13．（2025·吉林）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率．
14．（2025·吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
15．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
16．（2025·吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
17．（2025·吉林）端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为（150±9）克时，其质量等级为合格；粽子质量为（150±3）克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子，质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息：
被抽检粽子的质量（单位：克）分布
甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155
乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155
被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计
参赛小组 平均数 众数
甲组 150 152
乙组 150 147
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？
（2）此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由．
18．（2025·吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
灰 实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m．
任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）
任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为 ▲ cm．（结果精确到1cm）
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
19．（2025·吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 　 　 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
20．（2025·吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
21．（2025·吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
（1）【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
（2）【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
（3）【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
22．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
（3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．
（4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：点A 向左移动3个单位长度得到点A' 表示的数为1-3=-2，
故答案为：B.
【分析】根据数轴上点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可.
2．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“国”与“的”是对面，
故答案为： C.
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解： （2a2）3=8a6，
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方，先把每个因式分别乘方，再把幂相乘解答即可.
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：x﹣3＞2 ，
x>5，
故选：A.
【分析】根据移项、合并同类项解答不等式解答即可.
5．【答案】B
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：，
图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为
故答案为： B.
【分析】先求出正三角形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知
故选项A， B， C正确.
故答案为： D.
【分析】根据作图得到然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.
7．【答案】a（a﹣b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）
故答案为：a（a﹣b）
【分析】根据提公因式法分解因式即可.
8．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先化简二次跟上，再合并同类二次根式即可．
9．【答案】3（x﹣2）＝2x+9
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：
故答案为：
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
10．【答案】36
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∵∠ABC+∠FBC=180°，
∠BCD+∠BCF=180°，
∴∠FBC=180°-∠ABC=180°-108°= 72°，∠BCF=180°-∠BCD=180°-108°= 72°，
在△BCF中， ∠F+∠FBC+∠BCF=180°，
∴∠F= 180°-∠FBC-∠BCF
= 180°-72°-72°
=108°-72°
=36°.
故答案为：36.
【分析】根据正多边形的内角和公式求出然后再根据邻补角性质，可得∠ABC+∠FBC=180°，∠BCD+∠BCF=180°， 即可求出∠FBC，∠BCF的度数，在△BCF中，根据三角形的内角和定理即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
轴， 轴，
∵半径为1，
∴A点的纵坐标为1，
把 代入 求得
∴第一象限中阴影的面积
同理，第三象限中阴影的面积
故答案为：
【分析】根据题意可得 代入解析式求得点A的坐标，根据正切的定义求出求得 然后根据扇形的面积公式求得两个象限中扇形的面积解答即可.
12．【答案】解：原式
＝a+1，
当a＝2025时，
原式＝a+1
＝2025+1
＝2026．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把分子分解因式，然后约分化为最简分式，然后代入a的值即可解答.
13．【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种，
∴小刚和小利被分配到同一组的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】画树状图得到所有等可能情况，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解答即可.
14．【答案】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，
根据题意得：，
解得，
答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品6盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“ 甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元 ”列二元一次方程组解答即可.
15．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
16．【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.
17．【答案】（1）解：因为乙组中147和150均出现了2次，众数为147，
所以缺失的数据为147，且147＝150﹣3，
∴质量登记为优秀；
（2）解：乙参赛小组能获得奖励，理由如下：
甲组优秀个数约为220132（个），
乙组优秀个数约为200140（个），
所以乙参赛小组能获得奖励．
【知识点】统计表；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据众数的定义求出乙组缺失的数据，然后判断等级即可；
（2）根据样本中甲、乙两组的优秀率求出优秀的个数，然后比较解答即可.
18．【答案】解：任务二，计算实际高度，
∵依题意，四边形EBDC为矩形，
∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，
∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，
∴AE＝CE tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），
∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），
答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m；
任务三，换算模型高度，
设3D打即模型的高度为x m，
∵x：77＝1：400，
解得x＝0.1925，
∴3D打即模型的高度为0.1925m，
∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，
∴3D打即模型的高度约为19cm，
故答案为：19．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】任务二：先得到四边形EBDC为矩形，得到对应边相等，然后在Rt△AEC中，根据正切的定义求出AE长，再根据线段的和差解答即可；
任务三：设3D打即模型的高度为x m，根据比例尺求出x的值，换算单位比较解答即可.
19．【答案】（1）7
（2）解：当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7；
【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC 的值解答即可；
（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；
（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.
20．【答案】（1）解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）m＝0.6，n＝1.6．
解：（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图象所给数据可得结论；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=8代入求出拉力，然后求出弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，然后代入F拉力=3.4，求出铝块下降的高度，然后减去铝块的高度解答即可.
21．【答案】（1）解：四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，
∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形；
（2）证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，
∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴DEAD，BMBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
（3）解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，
∴∠AET＝30°，
∴ATAE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ETx＝GK，
∵E为AD中点，
∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KNGKx＝3x，
∵BN＝BMBCAD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NHy，
∵四边形GFHN是菱形，
∴GF＝FH＝NH＝GNy，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EGy，GW＝AEy，
∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴WN＝GWy，
∴AB＝AW+WN+BNyyyy，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】【探究发现】由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE =GE， DF=GF， 而DF =DE， 故GE=DE=DF=GF， 从而四边形DEGF是菱形；
【探究证明】同【探究发现】可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE =BM，AD∥NH，又DE=FG，FG∥AD，故FG=DE=BM=HN，FGIINH， 从而四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时， 过G作GK⊥AB于K， 过E作ET⊥AB于T， 设AT =x， 则AE =2x， 可得AD=2AE =4x， DE =AE =2x， 求出AB=AT+TK+KN+BN =x+2x+3x+2x=8x，即可得到比值；当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W， 设AD= y， 求出 ，即可得到比值.
22．【答案】（1）解：将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1，
解得b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
（2）解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下：
根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q，
∴△QOD∽△QPM，
∴，
∴，
则；
（3）解：如图所示，QM经过最低点，即经过顶点，
该抛物线的顶点横坐标为，
纵坐标为，
该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ，
∴△PON∽△OQD，且相似比为，
根据顶点纵坐标可得，OD＝2，
则，即，
解得，
①当时，
即为如图所示，
此时，
点Q在第四象限，
故；
②如图所示，
当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时，
故；
综上，或；
（4）解：①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E，
由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE，
∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1，
∴当点P向左运动时，满足题意，
∴m≤﹣1；
②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E，
同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，
解得（舍去），或，
此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意，当x2﹣2x﹣1＝0时，
解得，x2＝1+，
∴当x 1﹣时，符合题意；
③如图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限，
思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，
解得m＝﹣m＝，
此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意，
∴当≤m≤1+时，符合题意；
综上所述，当m≤﹣1或﹣≤m≤1﹣或≤m≤1+时，符合题意．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可；
(3)QM经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出m的值，最后分两种情况求出点Q的坐标即可；
(4)根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可.
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