资源简介

2024-2025 学年河南省新乡一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 (1 + ) = |1 |， 为虚数单位，则 =( )
A. B. 2 2 1 1 22 2 C. 2 + 2 D. 2 +
2
2
2.已知向量 = (1,2), = (1, 1), = (4,5).若 与 + 平行，则实数 的值为( )
A. 114 B.
1
14 C. 1 D. 1
3.下列说法正确的是( )
A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
4.已知 ， 为不同的直线， ， 为不同的平面，下列命题为假命题的是( )
A. ⊥ ， ⊥ // B. // ， //
C. ⊥ ， ⊥ D. ⊥ ， ⊥ //
5.如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 4， ′ ′ = 2，
则下列说法正确的是( )
A. = 2
B. ′ ′ = 2 2
C.四边形 的周长为 4 + 2 2 + 2 3
D.四边形 的面积为 6 2
6.已知向量 在向量 1上的投影向量为 ，且| | = | | = 1 | 12 ，则

2 |( ∈ )的值为( )
A. 3 B. 1 C. 3 34 D. 2
7.圆柱的底面周长为 6 ， 2是底面圆的直径，高 = 6 ，点 是母线 上一点，且 = 3 .一只蚂
蚁从 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短距离是( )
A. (4 + 6 ) B. 5 C. 3 5 D. 7
8.克罗狄斯 托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何
中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形
第 1页，共 9页
中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形 是圆 的内接四边形，且 = 3 ，
∠ = 2∠ .若 + = 4 3，则圆 的半径为( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面是关于复数 = 2 1+ ( 为虚数单位)的命题，其中真命题为( )
A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B.若复数 1 = 1 + ，则| 1| = 2 2
C. 的共轭复数为 1 + D. 的虚部为 1
10.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则如下判断正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 2 = 2 ，则△ 为等腰三角形或直角三角形
C.若sin2 + sin2 > sin2 ，则△ 是锐角三角形
D.若 = 10， = 9， = 60°，则符合条件的△ 有两个
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为 的中点， 为线段 1上的动点，过点 ， ， 的平
面截该正方体所得截面记为 ，则下列命题正确的是( )
A.直线 1与直线 1 1所成角的正切值为2
B.当 = 12时， 为等腰梯形
C.当 = 3 14时， 与 1 1交于点 1，则 1 1 = 3
D. 3当4 < < 1 时， 为四边形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.复数 = 2025(1 + ) 为纯虚数，则实数 的值为______．
13.平行四边形 中， = 4， = 2， = 4，点 在边 上，则 的取值范围是______．
14 2.在三棱锥 中， = 2， ⊥ ，若该三棱锥的体积为3，则其外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = (1,2), = ( 3, 2)．
(1)若 ⊥ (2 + )，且| | = 5，求 的坐标；
(2)若 与 + 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
第 2页，共 9页
16.(本小题 15 分)
如图所示，正四棱台 1 1 1 1两底面的边长分别为 4 和 8．
(1)若其侧棱所在直线与上、下底面中心连线的夹角为 30°，求该四棱台的表面积；
(2)若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积．
17.(本小题 15 分)
如图所示，四棱锥 的底面 是边长为 1 的菱形，∠ = 60°， 是 的中点， ⊥底面 ，
= 2．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
2
△ + = 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ， 满足 + ， = 12．
(1)求 ；
(2)若 为线段 上一点，且满足 = ， = 189，求 的长；
(3)若△ 为锐角三角形，求△ 面积的范围．
19.(本小题 17 分)
2
如图，在直三棱柱 1 1 1中，侧棱 1 = 1，∠ = 3，且 ， 分别为 1， 的中点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)若 = = 2．
第 3页，共 9页
( )求 和 的长；
( )求二面角 1 1 的大小．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.[ 1,8]
14.254
15.解：(1)设 = ( , )，2 + = ( 1,2)，且 ⊥ (2 + )，
∴ (2 + ) = 2 = 0，
∴ = 2 ，且| | = 5，
∴ 2 + 2 = 4 2 + 2 = 5 2 = 5 =± 1 ∴ = 2 = 2，解得 ， = 1或 = 1，
∴ = ( 2, 1)或(2,1)；
(2) + = (1 3 , 2 2 )，
∵ 与 + 的夹角为锐角，
∴ ( + ) > 0，且 与 + 不共线，
∴ 1 3 + 4 4 > 0 52 2 2(1 3 ) ≠ 0，解得 < 7且 ≠ 0，
∴ 5的取值范围为{ | < 7且 ≠ 0}．
16.解：(1)如图，连接 ， ， 1 1， 1 1，设 与 交于点 ， 1 1
与 1 1交于点 1，
过点 1作 1 ⊥ 交 于点 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，连接 1 ，
第 5页，共 9页
由题意知∠ 1 = 30°, = = 1 1 = 4 2 2 2 = 2 2，
在 △ 1 中， 1 = 3 = 2 6，
又 = 45° = 2，
所以 = 2 + 21 1 = 24 + 4 = 2 7，
1
则 侧 = 4 × 2 × (4 + 8) × 2 7 = 48 7，
故该四棱台的表面积 = 42 + 82 + 48 7 = 80 + 48 7．
(2)设该正四棱台的斜高为 ′，
= 42因为 底 + 8
2 = 80，
所以 侧 = 4 ×
1
2 × (4 + 8) × ′ = 80，
解得 ′ = 103，
又 = 2，
所以该正四棱台的高 = ( 103 )
2 22 = 8，3
1 8 896
故该四棱台的体积 = 3 × 3 × (16 + 64 + 16 × 64) = 9 ．
17.证明：(1)连接 ，作出示意图如下所示：
因为四边形 是边长为 1 的菱形，∠ = 60°，
故△ 是正三角形，
由于 是 的中点，故 BE⊥ ，
又因为 //CD，故 AB⊥ ，
由 ⊥底面 ， 平面 ，得到 ⊥ ，
又因为 、 平面 ， ∩ = ，故 BE⊥平面 ，
又因为 平面 ，故平面 ⊥平面 ；
解：(2)由 ⊥底面 ， 平面 ，可以得到 ⊥ ，
第 6页，共 9页
根据勾股定理可得 = 2 + 2 = 22 + 12 = 5，
因为三角形 为正三角形， 是 的中点，所以 ⊥ ，
又因为 = 1，所以 = 60° = 3，2
由于 ⊥平面 ， 平面 ，故可以得到 ⊥ ，
根据三角形的面积公式可得 1 1 3△ = 2 = 2 × 5 × 2 =
15，
4
易知 1 1 1 3 3△ = 2 = ，2 × 2 × 2 = 8
1 1
设点 到平面 的距离为 ，所以3 △ = 3 △ ，
3×2
则 = △ 8 = =
5
，
△ 15 5
4
即点 到平面 的距离为 5．
5
2
18.(1)由题意，结合正弦定理可得 +
=
+ ，
化简得 2 = 2 + 2 ，所以 =
2+ 2 2 = 1，结合 ∈ (0, )

，可得 = 3；2 2
(2) 为线段 上一点，且满足 = ， = 3，可得△ 为等边三角形，
2
所以∠ = ∠ = 3，
设 = ，在△ 中， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 189 = 2 + 122 2 12 × ( 12 )，整理得
2 + 12 45 = 0，解得 = 3(舍负)，即 = 3；
(3)在△ 中， = 12，
2
由正弦定理得 12 12 ( 3 ) 12(
3
2 +
1
= = = 2
) 1 3 1 ，
= 12( 2 + 2 )
所以 1△ = 2 = 36 3 (
1+ 3 1 ，2 2 )
根据△ 是锐角三角形，可得 0 < < 2 2， = 3 ∈ (0, 2 )，
< < 1解得6 2，所以 >
3，0 < < 3，可得
1 < 13 2 2+
3 1 ，
2 < 2
所以 18 3 < △ < 72 3，△ 面积的取值范围是(18 3, 72 3)．
第 7页，共 9页
19.(1)证明：如图，取 1的中点 ，连接 ， ，
因为 为 1的中点，且侧面 1 1为矩形，所以 // 1 1．
因为 1 1 平面 1 1， 平面 1 1，所以 //平面 1 1．
因为 为 的中点，所以 是△ 1的中位线，故 // 1．
因为 1 平面 1 1， 平面 1 1，所以 //平面 1 1．
因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以平面 //平面 1 1．
因为 平面 ，所以 / /平面 1 1．
(2)( )因为 = = 2，且∠ = 2 3，
所以∠ = ∠ = 6，且 ⊥ ，
故 = 1 2 22 = 1， = = 2 1 = 3．
( )如图，过点 作 ⊥ 于 ，过 作 ⊥ 于点 ，连接 ，
由(1)知平面 //平面 1 1，
所以二面角 1 1 的大小即为二面角 的大小．
在直三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 ⊥底面 ，侧面 1 1 ∩底面 = ， 平面 ，且
⊥ ，
所以 ⊥平面 1 1．
因为 平面 1 1， 平面 1 1，∴ ⊥ ， ⊥ ．
第 8页，共 9页
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，∴ ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角．
因为 = = 1× 3 = 3 = 1 2 2 ， 2 1 =
1 1
2 × 1 = 2，
所以在 △ 中，tan∠ = = 3，所以∠ =

3，

所以二面角 1 1 的大小为3．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑