资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025中考模拟数学分类汇编---三角函数B
一．解答题（共60小题）
1．为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”．如图，BD为桌面，某同学眼睛P看作业本（看成点A）的俯角为58°；身体离书桌距离BC＝9cm，眼睛到桌面的距离PC＝20cm．
（1）求该同学的眼睛与作业本的距离PA的长；
（2）为确保符合要求，需将作业本沿BA方向移动．当眼睛P看作业本A的俯角为37°时．求作业本移动的距离．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin58°≈0.85，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
2．数学综合实践小组进行了如下的项目式学习的实践探究：
【模型抽象示意图】某景点在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.29m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板BC的宽度．
【测量数据】实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚AB长为3.5m，其与墙面的夹角∠BAD＝70°，其靠墙端离地面高AD为4m．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE约为60°），若加装前挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.29m宽的阴影DF，如图3．
任务1：求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
任务2：当∠CFE为60°时，求线段BC的长度．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，）
3．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．
（1）求风轮叶片OA的长度；
（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）
4．测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、C、D处于同一平面内）（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
（1）求楼高BC；
（2）求旗杆的高度AB．（结果精确到1米）
5．如图，地面上点A，B，D在一条直线上，两个观察者从A，B两地观测空中C处一个无人机，分别测得其仰角为30°和60°，已知A，B两地相距36米．
（1）求观测者B到C处的距离．
（2）当无人机沿着与AB平行的路线飞行6秒后达到C′，在A处测得该无人机的仰角为45°，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号）
6．近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采取了专业性的保护措施．如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西75°方向，古树C在北偏东30°方向．该工作人员从A处走了20m到达古树B后，又在B处测得古树C在北偏东60°方向上．
（1）求∠C及∠ABC的度数；
（2）求两棵古树B，C之间的距离（结果保留根号）．
7．【研学实践】
研学期间，某研学基地为了给同学们遮阳和防雨，搭建了一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度之间的关系．
【数据采集】
如图，“天幕”截面示意图（△ACD）是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．
【数据应用】
（1）正午时打开“天幕”，若∠α＝76°求遮阳宽度CD（结果精确到0.01m）．
（2）傍晚时收拢“天幕”，∠α从76°减少到60°求点E下降的高度．
（结果精确到0.01m；参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01，
8．如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．摄影爱好者在水平地面AF上的点A处测得无人机位置点D的仰角∠DAF为53°；当摄影爱好者沿着倾斜角28°（即∠BAF＝28°）的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点D水平飞到点C，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角∠CBE为45°．已知AB＝5米，CD＝8米，且A，B，C，D四点在同一竖直平面内．
（1）求点B到地面AF的距离；（2）求无人机在点D处时到地面AF的距离．（结果精确到0.1米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
9．踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为174.0cm，他到军帽（AE）的长为AB长的，BF为他的右臂（不含手掌），CD、CG分别为他的左腿和右腿，AD⊥AE．（参考数据：，，结果保留到0.1cm）
（1）若点G到AD的垂直距离为75.0cm，∠DCG＝60°，求他的腿的长度；
（2）若（1）中条件不变，手臂的长度为，点F到点C的竖直距离为21.3cm，∠FBC＝45°，求军帽AE的长度．
10．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN．在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30°，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15°，向立柱方向走40米到达观测点B处，测得同一根立柱顶端M的仰角为60°．已知点A，B，C，M，N在同一平面内，桥面与水面平行，且MN垂直于桥面．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，）
（1）求大桥立柱在桥面以上的高度MC（结果保留根号）；
（2）求大桥立柱在水面以上的高度MN（结果精确到1米）．
11．“节约用水，从我做起”．学校的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），开启前AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其中AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm．
（1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度．
（2）求EC的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，，
12．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
13．体育馆看台的侧面如图中阴影部分所示，看台由高度相等的3级小台阶和一段坡度i＝1：4的斜坡组成，DH⊥地面，BH＝1m，每级小台阶的高度都为0.5m．为了安全，现要加装不锈钢扶手．已知不锈钢扶手AB，CD，EF均与地面垂直且长度都为1m，∠CEF＝53°（不锈钢扶手焊接处忽略不计）．
（1）求看台最高处台阶的高度（即点F到地面的距离）；
（2）求所用不锈钢材料的总长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，4.1）
14．为方便市民休闲散步，计划在人工水渠AB两侧新建A﹣C﹣B，A﹣D﹣B两条步道．经测量，点B在点A南偏东30°方向，点C在点A的正南方且在点B的正西方，点D在点A南偏东45°方向且在点B的正北方，BC＝800米．
（1）求AD的长度（结果精确到个位）；
（2）请计算说明哪条步道较短？（参考数据：）
15．无人机在实际生活中应用越来越广泛．如图所示，某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A的俯角60°，测得楼顶点C处的俯角为30°，点P到点A的距离为80米，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内）．
（1）填空：∠APC＝ 　 　 度，∠PCB＝ 　 　 度；
（2）求此时无人机距离地面AB的高度；
（3）求大楼BC的高度．（结果保留根号）
16．2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的距离．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊A﹣B﹣O长度：AB＝50cm，OB＝30cm．旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度BD＝12cm．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．
（结果保留小数点后一位，参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，1.414）
17．“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东60°方向150m处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）．
（I）请求出CE的长度；
（Ⅱ）从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东15°方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东30°方向．请求出CD的长度．
（结果取整数，参考数据）
18．消防车是消防救援的主要装备，图1是某种云梯消防车，图2是其侧面示意图，点D、B、O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆（长度可以变化），点O，A，C在同一水平线上，OC与地面平行，其中BD可伸缩，云梯OD的最大长度为15米，套管OB的长度不变．
（1）在某种工作状态下测得，∠BAC＝45°，∠DOC＝37°，OB＝5米，求OA的长．
（2）如图3，先将云梯OD伸长到最大长度15米，再将∠DOC从37°增加到某一角度时，若云梯顶端D的铅直高度升高了3米，求∠DOC增加的度数．
（参考数据：sin37°，tan37°，cos37°）
19．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B，F在线段AC上，点C在DE上，支撑点F到箱底C的距离FC＝32cm，CE：CD＝1：5，DF⊥AC于点F，∠DCF＝50°，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆DE的长度；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离h的值（结果保留到1cm）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
20．如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD的连接杆OE⊥AB，OE＝5cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．
（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果精确到0.1cm）
（1）求DM的长；
（2）求镜头A到地面的距离．
21．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下
测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为66m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．
（1）求EF的长；
（2）求楼AB与CD之间的距离AC的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，1.73）．
22．真实情境：如图2，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80米的高度水平飞行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图1），塔楼的高度为30米．为了获得最佳的拍摄效果，需要计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以45°的角度对准塔楼的顶部．
（1）当无人机位于点B处时，求无人机与塔楼顶部的水平距离；
（2）如果无人机的摄像头角度调整为30°，求无人机向左飞行的水平距离．（结果保留根号）
23．如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底D点处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底E点处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°，AQ⊥QD交CB延长线于点F，DE∥BC，MN，M′N′为法线．线段AQ，入射光线AB，AC和折射光线BD，CE及法线MN，M′N′都在同一平面内，AF＝3米．
（1）求BC的长；（结果保留根号）
（2）若DE＝8.72米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin40.5°≈0.65，cos40.5°≈0.76，tan40.5°≈0.85）
24．在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且CE＝300米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东60°方向且AB＝200米，景点D在景点A的东北方向．
（1）求道路AD的长度（结果保留根号）；
（2）若甲从景点A出发沿A→D→E的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿B→A→E的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：）
25．图是路线平面示意图，A是动物园入口，B，C，D是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口A一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区C汇合．已知展区C在起点A的东北方向，小亮从起点A出发沿正北方向走了900米到达展区B，在展区B参观14分钟，再沿北偏东75°的方向走一段路即可到达展区C；小颖从起点A出发沿正东方向走到展区D，在展区D参观9分钟，再沿北偏东30°方向走一段路即可到达展区C．
（1）求AC的长度；
（2）已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区C．
26．如图，小明利用无人机测大楼的高度BC．在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角∠MPA＝60°，距离PA＝80米，到楼顶C点处的俯角∠NPC＝30°．已知点A与大楼的距离AB为70米．（点A、E、B共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点P到地面AB的距离PE；
（2）求大楼的高度BC．（结果保留根号）
27．学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角α的度数．
（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，）
28．如图是一种为了遮阳和防雨而设计的“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．
“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．根据信息回答下列题目：
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝60°，CD与AB的交点为O，求遮阳宽度CD；
（2）在（1）的条件下，若AB＝4m．求此时E点距离地面的高度．
29．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度CF为多少？（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
30．某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔AB与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为60°，然后沿斜坡CE前行40m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求点D到直线BC的距离；
（2）求古塔AB的高度．
31．2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度为12cm（即BD的长度）．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，）
32．如图1，三湾改编纪念碑是为了纪念1927年9月29日至10月3日毛泽东在我省永新县三湾村领导的三湾改编而建立的．某校数学实践小组利用无人机测量三湾改编纪念碑的高度．如图2，无人机操控者在纪念碑正前方的A处操控无人机，当无人机飞到离地面30m的点D处时，无人机测得与点A的俯角为30°，测得纪念碑BC最高点B处的俯角为17.6°，又经过人工测量测得操控者A和纪念碑BC之间的距离AC为85.5m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D到纪念碑BC的距离（结果保留根号）．
（2）求纪念碑BC的高度（结果精确到0.01m；参考数据：，sin17.6°≈0.30，cos17.6°≈0.95，tan17.6°≈0.32）．
33．某种麦克风支架如图1所示，AB为立杆，其高为80cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，BC长为60cm；DE为配重杆，滑动配重杆可调节CE的长度，其中点E代表麦克风．支杆BC与配重杆DE之间的夹角∠BCD 固定为60°（图中点A，B，C，D，E均在同一平面内）；
（1）当支杆BC与地面垂直，且CE的长为40cm时，求麦克风E距离地面的高度．
（2）在（1）的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转30°，同时调节CE的长（见图2），使得麦克风E到地面的距离为170cm，求此时CE的长．（结果精确到1cm，参考数据）
34．综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔AB的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上，ED＝182m，ED⊥AB，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（∠ADC）为66°，在E处测得信号塔顶端A的仰角（∠AEC）为45°，测得信号塔底端B的仰角（∠BEC）为31°．参考数据：tan66°取2.25°，tan31°取0.60．
（Ⅰ）求线段AC的长；
（Ⅱ）求信号塔AB的高度（结果取整数）．
35．为深学笃行习近平新时代中国特色社会主义思想，让思政课“行”在路上，“走”入内心．沙坪坝区“小小红岩志愿者”实践成长总队精心挑选了两条研学线路供大家选择，如图：①A﹣B﹣D；②A﹣C﹣D．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且BD＝2千米；点C在点A东北方向，点D在点C南偏东60°方向，且CD＝2千米．（参考数据：，
（1）求A，C两地之间的距离；（结果保留一位小数）
（2）甲、乙两班同时从A地出发，分别选择研学线路①和线路②．已知甲班的步行速度为3.6千米/时，且在途经点B处参观了1.5小时；乙班的步行速度为3千米/时，且在途经点C处参观了1小时，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．
36．如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车，BC为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（∠PDA）为α，C处的俯角（∠QDC）为β，其中P，D，Q在一条直线上，且PQ∥AC，此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机D的仰角为45°．已知桥梁BC的总长度为321m．
（Ⅰ）求此时无人机所在位置D离地面AC的距离；
（Ⅱ）A处的小汽车到桥梁入口B的距离AB的长（结果取整数）．
参考数据：，．
37．淇淇家想在某小区购买一套在建住宅，但拟购单元楼正南方有一栋已建好的高楼可能影响采光，淇淇想用所学知识帮家里选合适的楼层．她收集数据并画出示意图如图1，AB为南面单元楼的北面墙，CD为未建好的拟购单元楼的南面墙，CD楼北面为开阔地带，过点A的太阳光线落在CD楼的点E处，AB楼为33层，CD楼规划18层，每层均为3m，楼间距BD为90m，该小区所在纬度为38°34'，（楼层和楼板的厚度忽略不计；参考数据：tan28°≈0.53，tan38°40'≈0.8）[知识链接：冬至日正午太阳高度角α＝90°﹣（当地纬度+23°26'），即正午太阳光线与地面的夹角]
（1）淇淇家如果想在冬至日正午有太阳直射光，则淇淇家可以买第几层楼？
（2）综合考虑后淇淇家买在了10层，某天正午刚好有太阳光线照在她家落地窗的下沿处，如图2，请推算此时的太阳高度角和本单元楼照在地面上的影子DN的长．
38．如图，A，B两地的直线距离为8.4km，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从A﹣C﹣B；线路2：从A﹣D﹣B．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西63°的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西37°方向．（参考数据：，，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求AD的长度；（结果保留一位小数）
（2）通过计算说明，线路1和线路2，哪条线路更短．
39．如图，在海平面上有一处小岛A，小岛A的正西方向上有一个观测站B，在观测站B的东北方向距离120海里处有一个小岛C，小岛C正好位于小岛A的正北方向，小岛C的东南方向有一个避风港D，避风港D在小岛A的北偏东60°方向上．（参考数据：2.45）
（1）求小岛C与避风港D的距离．（结果保留整数）（2）一艘渔船从小岛C以每小时16海里的速度沿东南方向行驶6小时的时候，突然收到观测站B发出台风警报，已知台风中心位于小岛C处，正以每小时35海里的速度向东南方向移动，距离台风中心80海里都会受到影响．收到讯息后渔船立即以每小时25海里的速度沿东南方向前往避风港D躲避台风，请问渔船能否免受此次台风影响？
40．如图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如图，经过测量，支架的立柱AB与地面AM垂直，AB＝3.24米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB＝33°，支撑杆DE⊥BC，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE＝66°，又测得CE＝2.8米．（参考数据：sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cos33°≈0.84，cos66°≈0.40，tan33°≈0.65，tan66°≈2.25）
（1）求该支架的边BC长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到1米）
41．如图，甲、乙两名外卖小哥同时从A餐厅出发，分别向B、C两个小区和F、E两个小区送餐，最后到达位于A餐厅正东方向的D餐厅再次取餐．甲外卖小哥沿A餐厅北偏东30°方向行驶一定距离到达B小区，再沿正东方向行驶4千米到达C小区，最后沿东南方向行驶一定距离到达D餐厅．乙外卖小哥沿A餐厅的正南方向行驶4千米后到达F小区，再沿南偏东30°方向行驶4千米后到达E小区，最后沿东北方向行驶一定距离到达D餐厅．（参考数据：）
（1）求A、D两餐厅之间的距离；（结果保留根号）
（2）甲，乙外卖小哥均到达D餐厅后，求乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了多少千米？（结果保留小数点后一位）
42．图1为小晨同学放置在水平桌面上的一盏护眼台灯．为了更好地发挥护眼台灯的使用效果，小晨在使用该台灯的过程中，始终保持灯罩联轴、灯罩和水平桌面平行．该台灯的侧面示意图如图2、3所示（灯罩厚度、台灯底座高度忽略不计），其中灯柱AB＝15cm，灯臂BC＝25cm，灯罩联轴CD＝3cm，灯罩DE＝16cm，AB⊥水平桌面，BC，CD，DE分别可以绕点B，C，D上下调节一定的角度．由光源射出的边缘光线DM，EN与DE所形成的夹角∠MDE＝∠DEN＝140°．
（1）若将灯臂BC展直，如图2，求此时该台灯照亮水平桌面的宽度MN；
（2）当左侧边缘光线DM与灯臂BC平行时，如图3，求灯罩DE距离水平桌面的高度．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
43．某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，DE为水平放置的平面镜，AF为光屏，一束光从点A射入，光线AB经过平面镜DE反射到光屏AF上形成光斑．由光的反射定理可知：∠ABD＝∠CBE．已知光屏与水平面的夹角为15°，点A与DE的距离AD＝3分米，若光线AB与平面镜DE的夹角∠ABD＝45°时，光线在光屏AF上形成的光斑为点C．
（1）求点A与光斑点C的距离（结果保留根号）；
（2）如图2，若光线AH与平面镜DE的夹角∠AHD＝60°时，此时光线AH经过平面镜DE反射到光屏AF上形成光斑为点G，求光斑点C与光斑点G之间的距离（结果保留根号）．
44．图1为水平放置在地面上的穿衣镜，其支架形状固定不变，镜面可任意角度调节，侧面示意图如图2，其中OD为镜面，EF为放置物品的水平收纳架，支架AB＝AC，BC为水平地面，经测量得OA＝50cm，OD＝120cm，BD＝45cm，∠ABC＝75°．
（1）求支架顶点A到地面BC的距离；
（2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时穿衣镜顶部端点O到地面BC的距离．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，1.73）
45．如图是某机器人的机械臂，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝8m，BC＝3m，∠ABC＝145°，∠BCD＝60°．
（1）求机械臂端点C到工作台的距离CD的长；（结果精确到0.1m）
（2）求OD的长．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，，）
46．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中AB，CD都与地面l平行，M、C、D在同一直线上．
（1）已知MC＝AC，CE平分∠ACD．求证：AM∥CE；
（2）测得AB＝AC＝BC＝40cm，点D到地面的距离为20cm．求点A到地面的距离．（结果保留根号）
47．正在修建的青岛一唐山路隧道是城区东部和西部的重要通道．西接重庆路立交，东至天水路，主线自西向东以高架形式跨越文昌路，而后以隧道形式穿越老虎山，设置互通立交衔接青银高速，并增设青银高速出入口收费站．
小明对隧道一侧AB进行实地测量，如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
48．三个村庄A，B，C之间的位置如图所示．B在A的正南方向上，且在C的西南方向上；
C在A的南偏东30°方向上，与A相距3600m．
（1）求A，B两个村庄之间的距离（结果保留根号）；
（2）嘉嘉和琪琪从村庄A同时出发骑行到村庄B，两人途中均保持匀速行驶．嘉嘉的骑行路线为折线A﹣C﹣B，速度为360m/min；琪琪的骑行路线为直线AB，速度为300m/min．请通过计算推断谁先到达．
49．如图，A、B、C、D分别是某旅游城市的四个景区．D在A的正南方向，AD＝20千米．B在A的北偏东60°方向，且在D的东北方向．C在A的北偏西75°方向，且在D的西北方向．（参考数据：1.41，1.73，2.45）
（1）求CD的长度（结果精确到1千米）；
（2）小鲁、小能两人驾车从景区A出发去景区D．小鲁选择的路线为：A→C→D，小能选择的路线为：A→B→D．已知小鲁比小能早出发半小时，小鲁的速度为35千米/小时，小能的速度为55千米/小时．请通过计算说明谁先到达景区D？
50．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．
（1）请直接写出BC的长为　 　 米；
（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．
（参考数据：，，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4，sin40.5°≈0.65，cos40.5°≈0.76，tan40.5°≈0.85）
51．某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷AB长为1.5米，与墙面AD的夹角∠BAD＝75°，靠墙端A离地高AD为2.2米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC＝0.2m，（结果精确到0.1米；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
（2）如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF的长（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
52．如图，监控摄像头D固定在AB与BC构成的支架上，AB与地面垂直，AB＝3m，BD＝1m，∠ABC＝120°，若该摄像头的可视角∠GDF＝50°，DE为∠GDF的平分线，且DE⊥BC，点A，E，F，G在同一直线上，过点D作DH⊥AG，H为垂足．
（1）求∠GDH的度数；
（2）求摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离．（精确到0.1m）
参考数据：（tan25°≈0.47，sin25°≈0.42，cos25°≈0.9，tan35°≈0.70，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，1.73）
53．如图1，两轮电动手推车是电动车的一种，用电瓶来驱动电机行驶，在生产生活、工程运输等方面的实用性很强，其构造由电机、车板、方向轮、支架、把手等部件组成．如图2，是其停放状态示意图，通过网络查询了解得知以下信息：车板AB长为1.5m，AD长为0.6m，把手BC的长为0.12m，停放状态时，车板AB与地面l的夹角为60°，支架OD与车板AB的夹角也是60°（即∠DAE＝∠ADO＝60°），把手BC与车板AB的夹角为150°（即∠ABC＝150°），方向轮的半径OE为0.1m．（参考数据，，结果精确到0.01m）
（1）求支架OD的长度；
（2）求把手最高点C离地面l的距离．
54．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD＝120°．
（1）如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
55．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB．（结果精确到1m）
56．五一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点C到AD间直线的距离CH＝3m，BC＝15m，此时∠DAC＝36.87°（如图2），当杂技演员走至钢丝中点F时好∠FAD＝∠FBE＝60°．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，
（1）求AC的长；
（2）求杂技演员从点C走到点F，下降的高度（结果精确到0.1m）．
57．如图，5G时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号（即DB：AB＝1：2.4）的山坡AD上加装了信号塔PQ，信号塔底端Q到坡底A的距离为13m．当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，且AM＝8m，ME＝9m．
（1）∠PEN＝　 　 °；
（2）求信号塔PQ的高度大约为多少米？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
58．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°．
（1）求下管BC的长；
（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．
（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
59．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的右侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
60．如图，笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里，渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后到达点C，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．
（1）填空：∠CAB＝ 　 　 度，∠ACB＝ 　 　 度；
（2）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
（3）求点C与点B之间的距离（结果保留整数）．
（参考数据：）
2025中考模拟数学分类汇编---三角函数B
参考答案与试题解析
一．解答题（共60小题）
1．为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”．如图，BD为桌面，某同学眼睛P看作业本（看成点A）的俯角为58°；身体离书桌距离BC＝9cm，眼睛到桌面的距离PC＝20cm．
（1）求该同学的眼睛与作业本的距离PA的长；
（2）为确保符合要求，需将作业本沿BA方向移动．当眼睛P看作业本A的俯角为37°时．求作业本移动的距离．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin58°≈0.85，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【思路点拔】（1）在Rt△APC中，sin∠PAC＝sin58°0.85，即可得AP的长．
（2）设作业本A移动到A'处，连接A'P，在Rt△APC中，tan58°1.60，可得AC＝12.5cm．在Rt△A'PC中，tan37°0.75，可得A'C≈26.7cm，则可得作业本移动的距离为A'C﹣AC＝14.2cm．
【解答】解：（1）由题意得，∠PAC＝58°，PC＝20cm，
在Rt△APC中，sin∠PAC＝sin58°0.85，
∴AP≈23.5cm．
答：该同学的眼睛与作业本的距离PA的长约为23.5cm．
（2）设作业本A移动到A'处，连接A'P，
在Rt△APC中，tan∠PAC＝tan58°1.60，
∴AC＝12.5cm．
在Rt△A'PC中，tan∠PA'C＝tan37°0.75，
∴A'C≈26.7cm，
∴A'C﹣AC＝14.2cm．
∴作业本移动的距离为14.2cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
2．数学综合实践小组进行了如下的项目式学习的实践探究：
【模型抽象示意图】某景点在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.29m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板BC的宽度．
【测量数据】实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚AB长为3.5m，其与墙面的夹角∠BAD＝70°，其靠墙端离地面高AD为4m．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE约为60°），若加装前挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.29m宽的阴影DF，如图3．
任务1：求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
任务2：当∠CFE为60°时，求线段BC的长度．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，）
【思路点拔】（1）过点B作BG⊥AD，垂足为G，在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，即可解答；
（2）延长BC交DE于点H，则BH⊥DE，根据题意可得：BH＝DG，BG＝DH＝3.29m，从而可得：HF＝1m，然后分别在Rt△CFH和Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出CH和AG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BG⊥AD，垂足为G，
在Rt△ABG中，∠BAD＝70°，AB＝3.5m，
∴BG＝AB sin70°≈3.5×0.94＝3.29（m），
∴遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为3.29m；
（2）延长BC交DE于点H，则BH⊥DE，
由题意得：BH＝DG，BG＝DH＝3.29m，
∵DF＝2.29m，
∴HF＝DH﹣DF＝1（m），
在Rt△CFH中，∠CFH＝60°，
∴CH＝HF tan60°（m），
在Rt△ABG中，∠BAD＝70°，AB＝3.5m，
∴AG＝AB cos70°≈3.5×0.342＝1.197（m），
∵AD＝4m，
∴DG＝BH＝AD﹣AG＝4﹣1.197＝2.803（m），
∴BC＝BH﹣CH＝2.8031.07（m），
∴线段BC的长度约为1.07m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．
（1）求风轮叶片OA的长度；
（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）
【思路点拔】（1）以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，根据题意可得PD＝145m，DQ＝55m，从而求出PQ的长，进而可得OA＝OPPQ，进行计算即可解答；
（2）过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，从而得∠DOF＝90°，EF＝OD，进而求出∠BOF＝44.4°，然后在Rt△BOF中求出BF，进行计算即可解答．
【解答】解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，
设直线DO与⊙O交于点Q，
由题意得：
PD＝145m，DQ＝55m，
∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），
∴OA＝OPPQ＝45（m），
∴风轮叶片OA的长度为45m；
（2）如图，过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，
则四边形ODEF是矩形，
∴∠DOF＝90°，EF＝OD，
由题意得：
∠AOB＝120°，∠AOD＝14.4°，
∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，
∴BF＝OBsin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），
∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），
∴EF＝OD＝100m，
∴BE＝BF+EF＝131.5（m），
∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、C、D处于同一平面内）（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
（1）求楼高BC；
（2）求旗杆的高度AB．（结果精确到1米）
【思路点拔】（1）根据题意可得：BC⊥CD，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；
（2）在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：BC⊥CD，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，CD＝26米，
∴BC＝CD tan45°＝26（米），
∴楼高BC为26米；
（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝50°，CD＝26米，
∴AC＝CD tan50°≈26×1.2＝31.2（米），
∴AB＝AC﹣BC＝31.2﹣26≈5（米），
∴旗杆的高度AB约为5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．如图，地面上点A，B，D在一条直线上，两个观察者从A，B两地观测空中C处一个无人机，分别测得其仰角为30°和60°，已知A，B两地相距36米．
（1）求观测者B到C处的距离．
（2）当无人机沿着与AB平行的路线飞行6秒后达到C′，在A处测得该无人机的仰角为45°，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号）
【思路点拔】（1）根据三角形外角的性质得到∠ACB＝60°﹣30°＝30°，求得∠CAB＝∠ACB，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）过C作CF⊥AD于F，过C′作C′E⊥AD于E，则四边形C′EFC是矩形，得到CC′＝EF，CF＝C′E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DBC﹣∠CAB，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC＝36米，
答：观测者B到C处的距离为36米；
（2）过C作CF⊥AD于F，过C′作C′E⊥AD于E，
则四边形C′EFC是矩形，
∴CC′＝EF，CF＝C′E，
在Rt△BCF中，CF＝BC sin60°＝3618（米），BFBC＝18（米），
在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，∠AFC＝90°，
∴AF54（米），
在Rt△AC′E中，∵∠AEC′＝90°，∠C′AB＝45°，
∴C′E＝AE＝CF＝18（米），
∴C′C＝EF＝AF﹣AE＝（54﹣18）米，
∴无人机飞行的平均速度（9﹣3）米/秒．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
6．近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采取了专业性的保护措施．如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西75°方向，古树C在北偏东30°方向．该工作人员从A处走了20m到达古树B后，又在B处测得古树C在北偏东60°方向上．
（1）求∠C及∠ABC的度数；
（2）求两棵古树B，C之间的距离（结果保留根号）．
【思路点拔】（1）过点A作AD∥BE，根据平行线的性质可得∠BDA＝∠EBD＝60°，根据三角形外角的性质可求出∠C＝∠BDA﹣∠CAD＝30°，进而根据平行线的性质求得∠ABC，即可求解；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝∠AGD＝90°，在Rt△ABG中，根据等角对等边和正弦的定义可求出BG＝AGcm，在Rt△ACG中，根据正切的定义可求出CGcm，再根据BC＝BG+CG可得结果．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD∥BE，
∵BE∥AD且∠EBD＝60°，
∴∠BDA＝∠EBD＝60°，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，
∴∠C＝∠BDA﹣∠CAD＝30°，
∵BE∥AD，
∴∠EBA+∠DAB＝180°，
∵∠EBD＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图2，则∠AGB＝∠AGD＝90°，
在Rt△ABG中，∠ABC＝45°，AB＝20，
∴∠BAG＝45°，
∴BG＝AG＝AB sin45°＝20cm，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°+30°＝105°，∠BAG＝45°，
∴∠GAC＝105°﹣45°＝60°，
在Rt△ACG中，CG＝AG tan60°10（cm），
∴BC＝BG+CG＝（）cm，
即两棵古树B，C之间的距离为m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键．
7．【研学实践】
研学期间，某研学基地为了给同学们遮阳和防雨，搭建了一种“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度之间的关系．
【数据采集】
如图，“天幕”截面示意图（△ACD）是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．
【数据应用】
（1）正午时打开“天幕”，若∠α＝76°求遮阳宽度CD（结果精确到0.01m）．
（2）傍晚时收拢“天幕”，∠α从76°减少到60°求点E下降的高度．
（结果精确到0.01m；参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01，
【思路点拔】（1）在Rt△AOD中，利用锐角三角函数的定义求出DO的长，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答；
（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点E′作E′G′⊥AB，垂足为G′，根据题意可得：EG＝E′G′＝BF＝3m，GG′＝EE′，然后分别在Rt△AEG和在Rt△AE′G′中，利用锐角三角函数的定义求出AG和AG′的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△AOD中，∠α＝76°，AD＝2m，
∴DO＝AD sin76°≈2×0.97＝1.94（m），
∵AC＝AD，AO⊥CD，
∴CD＝2OD＝3.88（m），
∴遮阳宽度CD约为3.88m；
（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点E′作E′G′⊥AB，垂足为G′，
由题意得：EG＝E′G′＝BF＝3m，GG′＝EE′，
在Rt△AEG中，∠EAG＝76°，
∴AG0.748（m），
在Rt△AE′G′中，∠E′AG′＝60°，
∴AG′1.732（m），
∴EE′＝GG′＝AG′﹣AG＝1.732﹣0.748≈0.98（m），
∴点E下降的高度约为0.98m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．摄影爱好者在水平地面AF上的点A处测得无人机位置点D的仰角∠DAF为53°；当摄影爱好者沿着倾斜角28°（即∠BAF＝28°）的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点D水平飞到点C，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角∠CBE为45°．已知AB＝5米，CD＝8米，且A，B，C，D四点在同一竖直平面内．
（1）求点B到地面AF的距离；（2）求无人机在点D处时到地面AF的距离．（结果精确到0.1米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【思路点拔】（1）过点B作BG⊥AF，垂足为G，在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，即可解答；
（2）过点C作CP⊥AF，垂足为P，交BE于点M，过点D作DH⊥AF，垂足为H，根据题意可得：BG＝MP＝2.35米，CD＝HP＝8米，DH＝CP，BM＝PG，CP⊥BE，然后设DH＝CP＝x米，则CM＝CP﹣MP＝（x﹣2.35）米，分别在Rt△ADH和Rt△BCM中，利用锐角三角函数的定义求出AH和BM的长，再在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BG⊥AF，垂足为G，
在Rt△ABG中，∠BAG＝28°，AB＝5米，
∴BG＝AB sin28°≈5×0.47＝2.35（米），
∴点B到地面AF的距离约为2.35米；
（2）过点C作CP⊥AF，垂足为P，交BE于点M，过点D作DH⊥AF，垂足为H，
由题意得：BG＝MP＝2.35米，CD＝HP＝8米，DH＝CP，BM＝PG，CP⊥BE，
设DH＝CP＝x米，
∴CM＝CP﹣MP＝（x﹣2.35）米，
在Rt△ADH中，∠DAH＝53°，
∴AHx（米），
在Rt△BCM中，∠CBE＝45°，
∴BM（x﹣2.35）米，
∴BM＝PG＝（x﹣2.35）米，
在Rt△ABG中，∠BAG＝28°，AB＝5米，
∴AG＝AB cos28°≈5×0.88＝4.4（米），
∵AG+GP＝AH+HP，
∴4.4+x﹣2.35x+8，
解得：x≈23.8，
∴DH＝23.9米，
∴无人机在点D处时到地面AF的距离约为23.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为174.0cm，他到军帽（AE）的长为AB长的，BF为他的右臂（不含手掌），CD、CG分别为他的左腿和右腿，AD⊥AE．（参考数据：，，结果保留到0.1cm）
（1）若点G到AD的垂直距离为75.0cm，∠DCG＝60°，求他的腿的长度；
（2）若（1）中条件不变，手臂的长度为，点F到点C的竖直距离为21.3cm，∠FBC＝45°，求军帽AE的长度．
【思路点拔】（1）如图，过点G作GH⊥AD于点H，根据，即可求解；
（2）如图，过点F作FK⊥BC于点K，先求得，进而求得AB＝36.2cm，根据军帽（AE）的长为AB长的，即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点G作GH⊥AD于点H，
∵GH＝75.0cm，∠DCG＝60°，
∴，
答：解放军战士的腿的长度为86.5cm．
（2）如图，过点F作FK⊥BC于点K，
∵，∠FBC＝45°，
∴，
又CD＝CG＝86.5cm，
∵点F到点C的竖直距离为21.3cm，
∴CK＝21.3cm，
∴AB＝174﹣CD﹣CK﹣BK＝36.2cm，
∴．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
10．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN．在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30°，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15°，向立柱方向走40米到达观测点B处，测得同一根立柱顶端M的仰角为60°．已知点A，B，C，M，N在同一平面内，桥面与水面平行，且MN垂直于桥面．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，）
（1）求大桥立柱在桥面以上的高度MC（结果保留根号）；
（2）求大桥立柱在水面以上的高度MN（结果精确到1米）．
【思路点拔】（1）在Rt△BCM中，根据正弦的定义求出MC；
（2）在Rt△ACN中，根据正切的定义求出MN，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BAM＝30°，∠CBM＝60°，
∴∠AMB＝∠CBM﹣∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝40（米），
在Rt△BCM中，（米），
答：大桥立柱在桥面以上的高度MC为米；
（2）在Rt△BCM中，米，
∴AC＝AB+BC＝60（米），
在Rt△ACN中，CN＝AC tan∠CAN≈60×0.27≈16.2（米），
∴（米），
答：大桥立柱在水面以上的高度MN为51米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．“节约用水，从我做起”．学校的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），开启前AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其中AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm．
（1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度．
（2）求EC的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，，
【思路点拔】（1）过点A作AF⊥MN，垂足为F，在Rt△AMF中，利用锐角三角函数的定义求出MF的长，即可解答；
（2）延长AF交CE于点G，则AG⊥EH，根据题意可得：MF＝EG＝8cm，ME＝FG＝28cm，从而可得AG＝34cm，然后分别在Rt△ACG和Rt△AMF中，利用锐角三角函数的定义求出CG和MF的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点A作AF⊥MN，垂足为F，
在Rt△AMF中，AM＝10cm，
∴AF＝AM sin37°≈106（cm），
∴A点上升的高度约为6cm；
（2）延长AF交CE于点G，则AG⊥EH，
由题意得：MF＝EG＝8cm，ME＝FG＝DM+DE＝6+22＝28（cm），
∵AF＝6cm，
∴AG＝AF+FG＝6+28＝34（cm），
在Rt△ACG中，∠ACG＝60°，
∴CG（cm），
在Rt△AMF中，AM＝10cm，
∴MF＝AM cos37°≈108（cm），
∴EG＝MF＝8cm，
∴EC＝EG+CG＝827.7（cm），
∴EC的长约为27.7cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【思路点拔】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC sin60°＝189（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（92）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（92）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE sin30°＝189（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：sinA．
13．体育馆看台的侧面如图中阴影部分所示，看台由高度相等的3级小台阶和一段坡度i＝1：4的斜坡组成，DH⊥地面，BH＝1m，每级小台阶的高度都为0.5m．为了安全，现要加装不锈钢扶手．已知不锈钢扶手AB，CD，EF均与地面垂直且长度都为1m，∠CEF＝53°（不锈钢扶手焊接处忽略不计）．
（1）求看台最高处台阶的高度（即点F到地面的距离）；
（2）求所用不锈钢材料的总长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，4.1）
【思路点拔】（1）根据坡度的定义得到DH＝0.25，于是得到结论；
（2）延长EM交BH于N，过C作CM⊥EN于M，得到MN＝CH＝1+0.25＝1.25（m），求得EM＝2.75﹣1.25＝1.5（m），根据勾股定理得到BDm，于是得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△BDH中，∵BH＝1m，tan∠DBH，
∴DH＝0.25，
∵每级小台阶的高度都为0.5m，
∴点F到地面的距离＝0.5×3+0.25＝1.75（m）；
（2）延长EM交BH于N，
过C作CM⊥EN于M，
则MN＝CH＝1+0.25＝1.25（m），
∵EN＝EF+FN＝1+1.75＝2.75（m），
∴EM＝2.75﹣1.25＝1.5（m），
∵∠CEF＝53°，
∴CE2.5（m），
∵AB∥CD，AB＝CD＝1m，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，
∵BDm，
∴AC＝BDm，
∴所用不锈钢材料的总长度＝AB+CD+EF+AC+CE＝1+1+12.5≈7（m）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地周长辅助线是解题的关键．
14．为方便市民休闲散步，计划在人工水渠AB两侧新建A﹣C﹣B，A﹣D﹣B两条步道．经测量，点B在点A南偏东30°方向，点C在点A的正南方且在点B的正西方，点D在点A南偏东45°方向且在点B的正北方，BC＝800米．
（1）求AD的长度（结果精确到个位）；
（2）请计算说明哪条步道较短？（参考数据：）
【思路点拔】（1）根据题意，在RtAED中，利用三角函数求出AD长即可；
（2）分别计算出两条步道的总长度，即可得到结果．
【解答】解：（1）过D点作DE∥BC，交AC于B点，
根据题意，∠CAB＝30°，∠CAD＝45°，∠ACB＝90°，∠DBC＝90°，
∴四边形ECBD是矩形，
∴DE＝BC，DB＝EC，
∵BC＝800米，
∴DE＝800米，
∵在RtAED中，∠CAD＝45°，
∴AD8001131（米），
答：AD的长度约为1131米；
（2）∵在RtABC中，∠ACB＝90°，BC＝800米，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC＝1600（米），AC800（米），
∴步道A﹣C﹣B的路程为AC+BC＝800800≈2186（米），
∵在RtAED中，∠CAD＝45°，∠AED＝90°，
∴AE＝ED＝800米，
∴EC＝AC﹣AE＝800800（米），
∴DB＝EC＝800800（米），
∴步道A﹣D﹣B的路程为AD+DB＝800800800≈1717（米），
∵2186＞1717，
∴步道A﹣D﹣B的路程较短．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
15．无人机在实际生活中应用越来越广泛．如图所示，某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A的俯角60°，测得楼顶点C处的俯角为30°，点P到点A的距离为80米，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内）．
（1）填空：∠APC＝ 　90　 度，∠PCB＝ 　120　 度；
（2）求此时无人机距离地面AB的高度；
（3）求大楼BC的高度．（结果保留根号）
【思路点拔】（1）根据平角的定义和四边形的内角和定理即可得到结论；
（2）延长BC交PQ于点E，过点A作AD⊥PQ，垂足为D，根据题意可得：AD＝BE，AB＝DE＝70米，BE⊥DQ，然后在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出AD即可；
（3）根据三角函数的定义得到DP的长，从而求出PE的长，再在Rt△PEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得，∠APC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠PCB＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°，
故答案为：90，120；
（2）如图：延长BC交PQ于点E，过点A作AD⊥PQ，垂足为D，
由题意得：AD＝BE，AB＝DE＝70米，BE⊥DQ，
在Rt△ADP中，AP＝80米，∠DPA＝60°，
∴AD＝AP sin60°＝8040（米），
答：此时无人机距离地面AB的高度为40米；
（3）在Rt△ADP中，AP＝80米，∠DPA＝60°，
∴DP＝AP cos60°＝8040（米），
∴PE＝DE﹣DP＝70﹣40＝30（米），
在Rt△PEC中，∠EPC＝30°，
∴EC＝PE tan30°＝3010（米），
∴BC＝BE﹣CE＝AD﹣CE＝401030（米），
∴大楼的高度BC为30米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的距离．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊A﹣B﹣O长度：AB＝50cm，OB＝30cm．旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之间的水平宽度BD＝12cm．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间距离为100cm，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．
（结果保留小数点后一位，参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，1.414）
【思路点拔】（1）根据题意可得：∠ANB＝90°．∠NAB＝45°，从而可得∠ABN＝45°，然后在Rt△OBD中，利用锐角三角函数的定义可得cos∠OBD＝0.4，
从而可得∠OBD＝66.4°，最后利用平角定义进行计算即可解答；
（2）过点C作CE⊥OD，垂足为E，根据垂直定义可得∠BOC＝∠BDO＝90°，从而可得∠BOD+∠COE＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，进而可得∠COE＝∠OBD＝66.4°，然后分别在Rt△COE和Rt△ABN中，利用锐角三角函数的定义求出CE和BN的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠ANB＝90°．∠NAB＝45°，
∴∠ABN＝90°﹣∠NAB＝45°，
在Rt△OBD中，OB＝30cm，BD＝12cm，
∴cos∠OBD0.4，
∴∠OBD＝66.4°，
∴∠ABO＝180°﹣∠ABN﹣∠OBD＝68.6°；
（2）此时手绢端点C与舞者距离不在规定范围内，
理由：过点C作CE⊥OD，垂足为E，
∵OC⊥OB，OD⊥BD，
∴∠BOC＝∠BDO＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠COE＝∠OBD＝66.4°，
在Rt△COE中，OC＝25cm，
∴CE＝OC sin66.4°≈0.92×25＝23（cm），
在Rt△ABN中，AB＝50cm，∠NAB＝45°，
∴BN＝AB sin45°＝5025（cm），
∵机器人与舞者之间距离为100cm，
∴手绢端点C与舞者距离＝100﹣BN﹣BD﹣CE＝100﹣2512﹣23≈29.7（cm），
∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm，
∴此时手绢端点C与舞者距离不在规定范围内．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东60°方向150m处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）．
（I）请求出CE的长度；
（Ⅱ）从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东15°方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东30°方向．请求出CD的长度．
（结果取整数，参考数据）
【思路点拔】（1）过点B作BH⊥AE于H，分别解Rt△BHA，Rt△CFB，求出BH，CF的长，根据线段的和差关系求出CE的长即可；
（2）过点D作DG⊥CE于G，在GE上取点M，使得GM＝GC，连接DM，得EM＝DM＝DC，设CD＝x，解Rt△CGD，求出CG，根据CE＝CG+GM+ME，列出方程进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得m，BC＝150m，∠BAE＝45°，∠CBF＝30°，
过点B作BH⊥AE于H，由题意，可得：HE＝BF，BH＝FE，
在Rt△BHA中，
∵，
∴，
∴BH＝60，
在Rt△CFB中，
∵，
∴，
∴CF＝75m，
∴CE＝CF+FE＝CF+BH＝60+75＝135m，
∴CE的长为135m；
（2）过点D作DG⊥CE于G，在GE上取点M，使得GM＝GC，连接DM，
由题意得∠CED＝15°，∠ECD＝30°，
∵GM＝GC，
∴DG垂直平分CM，
∴CD＝DM，
∴∠CMD＝∠DCE＝30°＝∠DEM+∠EDM，
∴∠EDM＝15°＝∠DEM，
∴EM＝DM＝DC，
设CD＝x，则ME＝x，
在Rt△CGD中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴（m），
答：CD的长约为47m．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，等角对等边，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．消防车是消防救援的主要装备，图1是某种云梯消防车，图2是其侧面示意图，点D、B、O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆（长度可以变化），点O，A，C在同一水平线上，OC与地面平行，其中BD可伸缩，云梯OD的最大长度为15米，套管OB的长度不变．
（1）在某种工作状态下测得，∠BAC＝45°，∠DOC＝37°，OB＝5米，求OA的长．
（2）如图3，先将云梯OD伸长到最大长度15米，再将∠DOC从37°增加到某一角度时，若云梯顶端D的铅直高度升高了3米，求∠DOC增加的度数．
（参考数据：sin37°，tan37°，cos37°）
【思路点拔】（1）依据题意，解直角三角形求出OT，AT可得结论；
（2）依据题意，通过求出OD伸长到最大长度15米时的∠DON，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）如图2中，过点B作BT⊥OC于点T．
在Rt△OBT中，BT＝OB sin37°＝53（m），OT＝OB coD37°＝54，
∵∠BAT＝45°，
∴AT＝BT＝3（m），
∴OA＝OT﹣AT＝4﹣3＝1（m）；
（2）如图2，过点D作DN⊥OC，垂足为N，
在Rt△DNO中，OD＝15，
∴DN＝OD sin∠DON，
当∠DON＝37°时，
DN＝OD sin37°≈15×＝9．
又∵云梯顶端D的铅直高度升高了3米．
∴此时DN＝9+3＝12（米）．
∴sin∠DON．
∴∠DON＝53°．
∴∠DOC增加的度数为：53°﹣37°＝16°．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用直角三角形进行计算是关键．
19．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B，F在线段AC上，点C在DE上，支撑点F到箱底C的距离FC＝32cm，CE：CD＝1：5，DF⊥AC于点F，∠DCF＝50°，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆DE的长度；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离h的值（结果保留到1cm）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【思路点拔】（1）根据三角函数解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DF⊥AC于点F，∠DCF＝50°，
在Rt△CDF中，cos50°，
∴CD（cm），
∵CE：CD＝1：5，
∴DE＝60cm；
（2）如图，过A作AG⊥ED，交ED的延长线于G，
∵DE＝BC＝AB，DE＝60cm，
∴AC＝120cm，
在Rt△ACG中，sin∠DCF，
∴h＝AG＝AC sin50°＝120×0.77＝92.4≈92（cm）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
20．如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD的连接杆OE⊥AB，OE＝5cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．
（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果精确到0.1cm）
（1）求DM的长；
（2）求镜头A到地面的距离．
【思路点拔】（1）过点C作CM⊥DF，垂足为F，根据题意可得∠DCM＝35°，然后在Rt△DCM中，利用锐角三角函数的定义求出DM的长，即可解答；
（2）连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，根据已知可求出AO＝CE＝10cm，从而可证四边形ACEO是矩形，进而可得∠ACE＝90°，AC＝OE＝5cm，然后利用平角定义求出∠ACH＝55°，从而求出∠HAC的度数，最后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，
∴显示屏上沿CD与水平地面所成的角的度数为35°．
过点C作交点D所在铅垂线的垂线，垂足为M，则∠DCM＝35°．
∵CD＝15cm，
∴DM＝CDsin∠DCM≈15×0.0.574≈8.6（cm），
（2）如图，连接AC，作AH垂直MC反向延长线于点H，
∵AB＝20cm，O为AB的中点，
∴AO＝10cm．
∵CD＝15cm，CE＝2ED，
∴CE＝10cm．
∵CD∥AB，OE⊥AB，
∴四边形ACEO为矩形，AC＝OE＝5cm．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACH+∠DCM＝∠ACH+∠CAH＝90°．
∴∠CAH＝∠DCM＝35°．
∴AH＝AC cos35°≈5×0.819≈4.1（cm），
∴镜头A到地面的距离为60+4.1≈64.1cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下
测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为66m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．
（1）求EF的长；
（2）求楼AB与CD之间的距离AC的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，1.73）．
【思路点拔】（1）延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角求出∠OEF＝30°，从而可得OF＝EF＝24米，
（2）再在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
则AG＝66m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°，
∴∠FOE＝∠OEF＝30°，
∴EF＝OF＝24m；
（2）在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，
∴OG24（m），
在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，
∴FH＝EF cos60°＝2412（m），
∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝24+24+12＝60（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为60m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．真实情境：如图2，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80米的高度水平飞行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图1），塔楼的高度为30米．为了获得最佳的拍摄效果，需要计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以45°的角度对准塔楼的顶部．
（1）当无人机位于点B处时，求无人机与塔楼顶部的水平距离；
（2）如果无人机的摄像头角度调整为30°，求无人机向左飞行的水平距离．（结果保留根号）
【思路点拔】（1）如图所示，塔楼的底部为点E，AE⊥地面，延长EA交CB于点D，DE＝80米，AE＝30米，则AD＝50米，根据题意得到△ABD是等腰直角三角形，由此即可求解；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到DC≈86.5米，由BC＝DC﹣BD＝86.5﹣50＝36.5米，即可求解．
【解答】解：（1）塔楼的底部为点E，AE⊥地面，延长EA交CB于点D，DE＝80米，AE＝30米，
∴AD＝DE﹣AE＝80﹣30＝50米，
∵∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴DA＝DB＝50米，
∴无人机与塔楼顶部的水平距离为50米；
（2）∠ACD＝30°，AD＝50米，
∴AC＝2AD＝100米，
∴（米），
∴BC＝DC﹣BD＝86.5﹣50＝36.5（米），
∴无人机向左飞行的水平距离为36.5米．
【点评】本题主要考查仰俯角解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握仰俯角解直角三角形的计算是解题的关键．
23．如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底D点处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底E点处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°，AQ⊥QD交CB延长线于点F，DE∥BC，MN，M′N′为法线．线段AQ，入射光线AB，AC和折射光线BD，CE及法线MN，M′N′都在同一平面内，AF＝3米．
（1）求BC的长；（结果保留根号）
（2）若DE＝8.72米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin40.5°≈0.65，cos40.5°≈0.76，tan40.5°≈0.85）
【思路点拔】（1）先根据平行算出特殊角度，分别在直角△AFB和直角△AFC中根据三角函数关系算出边长即可得到答案；
（2）设水深为x米，分别在直角△BND和直角△CN′E中根据三角函数关系用x表示出边长，再根据线段相等列出方程，算出答案即可；
【解答】解：（1）由题意得AF∥MN∥M′N′，
∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF．
由题意可得：∠ABM＝∠BAF＝30°，∠ACM′＝∠CAF＝60°．
∵AF＝3米，
∴（米），
（米），
∴（米）．
（2）设水池的水深为x米，则BN＝CN′＝x米，
∴∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°，DE＝8.72米，
∴DN＝BN tan22°≈0.4x（米），N′E＝CN′ tan40.5°≈0.85x（米）．
∵DN+DE＝BC+N′E，
∴，
∴x≈11.7，
即水池的水深约为11.7米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形和一元一次方程解法等知识点，解决此题的关键是正确的计算．
24．在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且CE＝300米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东60°方向且AB＝200米，景点D在景点A的东北方向．
（1）求道路AD的长度（结果保留根号）；
（2）若甲从景点A出发沿A→D→E的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿B→A→E的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：）
【思路点拔】（1）过A点作AH⊥CE于H点，过B点作BG⊥AH于G点，如图，先利用方向角的定义和平行线的性质得到∠ECB＝90°，∠D＝45°，∠ABG＝60°，易得四边形BCHG为矩形，则BG＝CH，GH＝BC＝100米，再在Rt△ABG中计算出BG＝100米，AG＝100米，所以AH＝200米，然后在Rt△ADH中利用∠D＝45°得到ADAH＝200米；
（2）在Rt△ADH中利用∠D＝45°得到DH＝AH＝200米，则利用CH＝BG＝100米得到EH＝200米，再计算出DE＝（200200）米，接着在Rt△AEH中利用勾股定理计算出AE＝400米，然后计算出AD+DE的值，AB+AE＝600米，则AD+DE＞AB+BE，从而得到甲乙到达景点的时间的大小，于是可判断谁先到达景点E．
【解答】解：（1）过A点作AH⊥CE于H点，过B点作BG⊥AH于G点，如图，
∵景点D、E均在景点C的正北方向，景点B在景点C的正西方向，
∴∠ECB＝90°，
∵∠BCH＝∠GHC＝∠BGH＝90°，
∴四边形BCHG为矩形，
∴BG＝CH，GH＝BC＝100米，
∵景点B在景点A的南偏东60°方向，景点D在景点A的东北方向，如图，
∴∠D＝45°，∠ABG＝60°，
在Rt△ABG中，∵∠ABG＝60°，
∴BGAB200＝100（米），
∴AGBG＝100米，
∴AH＝AG+GH＝100100200（米），
在Rt△ADH中，∵∠D＝45°，
∴ADAH200200（米），
即道路AD的长度为200米；
（2）在Rt△ADH中，∵∠D＝45°，
∴DH＝AH＝200米，
∵CH＝BG＝100米，
∴EH＝CE﹣CH＝300﹣100＝200（米），
∴DE＝DH﹣EH＝（200200）米，
在Rt△AEH中，AE400（米），
∵AD+DE＝200200200≈636.3（米），AB+AE＝200+400＝600（米），
∴AD+DE＞AB+BE，
∵甲乙两人同时出发，并且他们的速度相同，
∴甲从景点A出发沿A→D→E的路径去景点E所用的时间比乙从景点B出发沿B→A→E的路径去景点E所用的时间多，
∴乙先到达景点E．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角，然后运用解直角三角形解决问题．
25．图是路线平面示意图，A是动物园入口，B，C，D是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口A一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区C汇合．已知展区C在起点A的东北方向，小亮从起点A出发沿正北方向走了900米到达展区B，在展区B参观14分钟，再沿北偏东75°的方向走一段路即可到达展区C；小颖从起点A出发沿正东方向走到展区D，在展区D参观9分钟，再沿北偏东30°方向走一段路即可到达展区C．
（1）求AC的长度；
（2）已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区C．
【思路点拔】（1）根据题意，结合图形，得到△ABM为等腰直角三角形，∠CBM＝60°，从而求出，又米，即可求解；
（2）结合图形，在Rt△BMC中求出CB，在Rt△ANC中求出AN，在Rt△CDN中求出DN，CD，从而得到两人所用的时间，即可得到结果．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠BMC＝90°，
由题意得：∠BAM＝45°，AB＝900米，
∴∠ABM＝∠BAM＝45°，
∴△ABM为等腰直角三角形，∠CBM＝60°，
∴在Rt△ABM中，BM＝AB sin∠BAM＝900×sin45°＝450（米），
∴AM＝BM＝450（米），
∵在Rt△ABM中，CM＝BM tan∠CBM，
∴CM＝450tan60°＝450（米），
∴AC＝AM+CM＝450450（米），
答：AC的长度约为米；
（2）如图2，过点C作CN⊥AD延长线于点N，
∵在Rt△BMC中，∠MBC＝60°，米，CB，
∴CB900（米），
∵在Rt△ANC中，∠DAC＝45°，（米），
∴AN＝CN＝AC sin∠DAC＝（450+450）（米），
∵在Rt△CDN中，∠CDN＝90°﹣30°＝60°，
∴（米），
（米），
∴米，
∴小亮所花时间为（秒），
小颖所花时间为（秒），
∵，
∴小亮先到达展区C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．如图，小明利用无人机测大楼的高度BC．在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角∠MPA＝60°，距离PA＝80米，到楼顶C点处的俯角∠NPC＝30°．已知点A与大楼的距离AB为70米．（点A、E、B共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点P到地面AB的距离PE；
（2）求大楼的高度BC．（结果保留根号）
【思路点拔】（1）先根据平行线的性质得到∠PAE＝∠MPA＝60°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出AE，然后计算PE的长即可；
（2）延长BC交MN于Q点，如图，先计算出BE＝30米，易得四边形PEBQ为矩形，所以PQ＝BE＝30米，BQ＝PE＝40米，接着在Rt△PQC中利用正切的定义计算出CQ＝10米，然后计算BQ﹣CQ即可．
【解答】解：（1）∵MN∥AB，
∴∠PAE＝∠MPA＝60°，
在Rt△PAM中，∵∠PAE＝60°，
∴AEPA80＝40（米），
∴PEAE＝40米，
答：点P到地面AB的距离PE为40米；
（2）延长BC交MN于Q点，如图，
∵AB＝70米，
∴BE＝AB﹣AE＝70﹣40＝30（米），
∵PE∥BQ，PQ∥BE，∠PEB＝90°，
∴四边形PEBQ为矩形，
∴PQ＝BE＝30米，BQ＝PE＝40米，
在Rt△PQC中，∵tan∠QPC，
∴CQ＝30tan30°＝3010（米），
∴BC＝BQ﹣CQ＝401030（米）．
答：大楼的高度BC为30米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解仰角俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
27．学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角α的度数．
（2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，）
【思路点拔】（1）过点D作DG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：四边形DGBF是矩形，从而可得DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，然后在Rt△DGB中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠BDG的值，从而可得∠BDG＝53°，再根据对顶角相等可得∠PDH＝∠BDG＝53°，即可解答；
（2）根据已知可得CG＝9cm，然后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出CD的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sin∠GDC的值，再利用（1）的结论可得：∠PDH＝53°，从而可得sin∠PDH＝sinα，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG，
∴∠BDG＝53°，
∴∠PDH＝∠BDG＝53°，
∴入射角α的度数为53°；
（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，
∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），
在Rt△CDG中，DG＝12cm，
∴DC15（cm），
∴sinβ＝sin∠GDC，
由（1）得：∠PDH＝53°，
∴sin∠PDH＝sinα，
∴折射率n，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．如图是一种为了遮阳和防雨而设计的“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．
“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．根据信息回答下列题目：
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝60°，CD与AB的交点为O，求遮阳宽度CD；
（2）在（1）的条件下，若AB＝4m．求此时E点距离地面的高度．
【思路点拔】（1）根据轴对称法性质可得：，然后在Rt△AOD中，利用锐角三角函数的定义求出DO的长，从而求出CD的长，即可解答；
（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：四边形BFEH是矩形，从而可得EH＝BF＝3m，然后在Rt△AHE中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：△ACD是轴对称图形，
∴，
∵AC＝AD＝2m，∠α＝60°，
∴，
∴，
答：遮阳宽度CD约为；
（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，
由题意得：四边形BFEH是矩形，
∴EH＝BF＝3m，
当天幕打开时，
在Rt△AHE中，，
∵AB＝4m，
∴HB＝EF＝AB﹣AH＝（4）m，
答：打开天幕时，点E的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
29．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度CF为多少？（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【思路点拔】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC sin60°＝189（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（92）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（92）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE sin30°＝189（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm），
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约7.9cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
30．某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔AB与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为60°，然后沿斜坡CE前行40m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求点D到直线BC的距离；
（2）求古塔AB的高度．
【思路点拔】（1）过点D作DM⊥BC于点M，解直角三角形求出DM即可；
（2）证明∠ACD＝90°，解直角三角形求出AC，再求出BC即可．
【解答】解：（1）过点D作DM⊥BC于点M，
∵斜坡CE的斜面坡度，
∴，
∴∠DCM＝30°，
∴．
即点D到直线BC的距离为20m；
（2）∵∠BCA

展开更多......

收起↑