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2024-2025 学年山东省济南市济钢高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = 3 420 20 ，则实数 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 或 6
2 4 3.已知事件 ， ，若 ( ) = 7， ( ) = 7，则 ( | ) =( )
A. 3 B. 3 C. 4 124 28 21 D. 49
3.已知 = ′( )是函数 = ( )的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是( )
A. = 0 和 = 2 是函数 = ( )的两个零点
B.函数 = ( )的单调递增区间为( ∞,1)
C.函数 = ( )在 = 0 处取得极小值，在 = 2 处取得极大值
D.函数 = ( )的最大值为 (2)，最小值为 (0)
4.已知随机变量 ～ (80, 2)，且 ( ≥ 120) = 0.21，则 (40 < < 80) =( )
A. 0.21 B. 0.29 C. 0.71 D. 0.79
5.已知 ( ) = 3 + 2 + + 2在 = 1 处的极值为 10，则 + =( )
A. 0 或 7 B. 7 C. 0 D. 7
6.某次团员公益志愿活动中，需安排 6 名志愿者去甲、乙、丙 3 个活动场地配合工作，每个活动场地去 2
名志愿者，其中志愿者 去甲活动场地，志愿者 不去乙活动场地，则不同的安排方法共有( )
A. 18 种 B. 12 种 C. 9 种 D. 6 种
7 2 1.已知离散型随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 ( ≥ 1) = 3， ( = 3) = 6，若 的数学期望 ( ) =
5
4，则 (4 3) =( )
A. 19 B. 16 C. 194 D.
7
4
8.将(6 1 )63 展开式中的项重新排列，则 的次数为整数的项互不相邻的排法的种数为( )
A. 24 B. 36 C. 144 D. 576
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(2 1)10 = 0 + 1 + 2 2 + + 1010 ， ∈ ，则( )
A. 1 + 2 + + 10 = 1 B. | 0| + | 101| + | 2| + + | 10| = 3
C. = 160 D. 1 + 2 3 102 2 22 + 23 + + 210 = 1
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10.已知函数 ( ) = 2 2 1，则下列说法正确的是( )
A.若曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = 2 ，则 = 1
B.若 = 1，则函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增
C.若 > 2，则函数 ( )在[1, + ∞)上的最小值为 1
D.若 ( ) ≥ 0，则 = 1
11.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换为对方
投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第 1
次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5.( )
A.第 2 次投篮的人是乙的概率为 0.6．
B.前 2 次投篮的人都是甲的概率为 0.3．
C.第 2 次投篮的人是甲的概率为 0.6．
D. 1 1 2第 次投篮的人是甲的概率为3 + 6 × ( 5 )
1．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，用四种不同颜色给矩形 、 、 、 涂色，要求相邻的矩形涂不同的
颜色，则不同的涂色方法共有______．
13.( 2 + 2)( 1 5 2 1) 的展开式的常数项是 ．
14.如图，对于曲线 所在平面内的点 ，若存在以 为顶点的角 ，使得对于曲
线 上的任意两个不同的点 ， ，恒有∠ ≤ 成立，则称角 为曲线 的相对于
点 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线 的相对于点 的“确界角”.已
1 + 1, > 0,
知曲线 ： = 1 2 (其中 是自然对数的底数)， 为坐标原点，曲线
16 + 1, ≤ 0
的相对于点 的“确界角”为 ，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
一批产品共 10 件，其中 3 件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取 2 件产品检验：方法一：先随
机抽取 1 件，放回后再随机抽取 1 件；方法二：一次性随机抽取 2 件．记方法一抽取的不合格产品数为 1，
方法二抽取的不合格产品数为 2．
(1)求 1， 2的分布列；
(2)比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由．
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16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = ln( + )，曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 2 + 2 2 1 = 0．
(Ⅰ)求 ， 的值；
(Ⅱ) 设函数 ( ) = ( ) +1，求 ( )的单调区间；
(Ⅲ)求证：当 ≥ 0 时，有 ( ) ≥ ．
17.(本小题 15 分)
诗词大会的挑战赛上，挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答
错，则另一方自动获胜，比赛最多进行 5 轮(挑战者和守擂者依次答题一次为一轮)，若第五轮挑战者答题
正确则不论守擂者答对与否都认为挑战者获胜.赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概
1 1
率都是2，且每次答题互不影响. (其中挑战者第五轮答对问题概率为3 )
(1)若在不多于两次答题就决出胜负的条件下，则挑战者获胜的概率是多少？
(2)在此次比赛中，挑战者最终获胜的概率是多少？
(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战全部 6 位守擂者，以(2)中求得的挑战者最终获胜的概率作
为挑战者面对每个守擂者的获胜概率，每次挑战之间相互独立，若最终统计结果是挑战者战胜了不少于三
分之二的守擂者，则称该挑战者挑战成功，反之则称挑战者挑战失败.若再增加 1 位守擂者，试分析该挑战
者挑战成功的概率是否会增加？并说明理由．
18.(本小题 17 分)
2
( ) = +( 2) + 3已知函数 ( > 0)．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若函数 ( )存在两个极值点 1， 2，记 ( 1, 2) = ( 1) ( 2)，求 ( 1, 2)的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球，
一共有偶数个小球，现在从盒子中一次摸一个球，不放回．
(1) 3若盒子中有 6 个球，从中任意摸两次，摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为5．
①求红球的个数；
②从盒子中任意摸两次球，记摸出的红球个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
(2) 11已知盒子中有一半是红球，若“从盒子中任意摸两次球，至少有一个红球”的概率不大于14，求盒子中
球的总个数的最小值．
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(3)在(2)的条件下，盒中球的总数为 ，若“从盒子中任意摸两次球，恰有两个红球”奖励 4 元，若“从盒
156
子中任意摸两次球，恰有一个红球”奖励 8 + 元，若“从盒子中任意摸两次球，没有红球”不奖励，求
发放奖金期望最小时盒子中球的总个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.48
13.3
14. 2
15.解：(1)随机变量 1的可能取值为 0，1，2，
且 31～ (2, 10 )，
3
则 ( 1 = 0) = 02( 10 )
0( 7 2 4910 ) = 100， ( 1 = 1) =
1
2(
3 1 7 1 21
10 ) ( 10 ) = 50， ( 1 = 2) =
2( 3 )2( 7 )0 = 92 10 10 100．
因此 1的分布列为
1 0 1 2
49 21 9
100 50 100
随机变量 2的可能取值为 0，1，2，且 2服从超几何分布，
0 2 1 1 2 0
且 ( 2 = 0) =
3 7 = 7 3 7 72 15， ( 2 = 1) = 2 = 15， ( = 2) =
3 7 = 1
2 210 10 10 15
．
因此 2的分布列为
2 0 1 2
7 7 1
15 15 15
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(2) ( 1) = ( 2).理由如下：由(1)知，方法一中 ( 1) = 2 ×
3 3
10 = 5，
2×3 3
方法二中 ( 2) = 10 = 5，
因此 ( 1) = ( 2)，
所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等．
16. 解：( ) ′( ) = + ．
因为 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 2 + 2 2 1 = 0，
′(1) = = 1
所以有 + 2 ，
(1) = ln( + ) = 2
= 1
解得 = 1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)有 ( ) = ln( + 1)，

所以 ( ) = ln( + 1) +1，定义域为( 1, + ∞)．
则 ′( ) = ( +1)2．
令 ′( ) = ( +1)2 = 0，解得 = 0，
当 > 0 时， ′( ) > 0，
当 1 < < 0 时， ′( ) < 0，
( ) = ( ) 所以 +1的单调递增区间为(0, + ∞)；单调递减区间为( 1,0)．
(Ⅲ)证明：令函数 ( ) = ( ) ( ≥ 0)，
( ) = 1 1

= +
2 1
所以 ′ +1 ( +1) ．
令函数 ( ) = + 2 1( ≥ 0)，
所以 ′( ) = + 2 > 0 恒成立，所以函数 ( )在[0, + ∞)单调递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 0，即 ′( ) ≥ 0 恒成立，
所以函数 ( )在[0, + ∞)单调递增，所以 ( ) ≥ (0) = 0．
所以，当 ≥ 0 时，有 ( ) ≥ ．
17.(1) 1 1 1 3设事件 为“挑战者获胜”，事件 为“不多于两次答题就决出胜负”，则 ( ) = 2 + 2 × 2 = 4，
又事件 为“不多于两次答题就决出胜负且挑战者获胜”，即只有“挑战者获胜，守擂者失败”这一种情
况，
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1
则 ( ) = 1 1 12 × 2 = 4， = ( | ) =
( ) 4 1
( ) = 3 = 3；
4
(2)挑战者和守擂者依次答题一次为一轮，
1 × 1 1 1每一轮答题中两人都答对的概率为2 2 = 4，进行 轮后不分胜负的概率为( )

4 ，
1 1 1 1 1 1
则第 轮挑战者获胜的概率为( ) 14 2 (1 2 ) = ( )

4 ，第 5 轮挑战者获胜的概率为3 × (
4
4 )
= 1 + ( 1 )2 + ( 1 )3 + ( 1 )44 4 4 4 +
1 × ( 13 4 )
4 = 255 + 1 256 1768 768 = 768 = 3．
(3)设随机变量 为挑战者连续挑战 6 位守擂者时能够战胜守擂者的人数，
1为此时挑战者挑战成功的概率，由守擂者有 6 位，得挑战者要想挑战成功，至少需要战胜 4 位守擂者；
设 为挑战者连续挑战 7 位守擂者时能够战胜守擂者的人数， 2为此时挑战者挑战成功的概率，
由守擂者有 7 位，至少需要战胜 5 位守擂者才可挑战成功，
1 = ( ≥ 4) = 4(
1 4
6 3 ) (
2 2 5 1 5 2 6 1 6 73
3 ) + 6( 3 ) × 3 + 6( 3 ) = 36，
5 12 = ( ≥ 5) = 7( 3 )
5( 2 )2 + 63 7(
1 )6 × 2 7 1 7 993 3 + 7( 3 ) = 37，而 1 > 2，
因此该挑战者胜利的概率没有增加．
2
18.解：(1)由题意 > 0， ′( ) = +1 ，
当 ≤ 0 或 = 2 4 ≤ 0，即 ≤ 2 时， ′( ) ≥ 0， ( )为增函数；
2
当 > 2 时，由 2 + 1 = 0 ± 4得 1,2 = 2 ，不妨设 1 < 2，
由 2 + 1 > 0 得 0 < < 21或 > 2，由 + 1 < 0 得 1 < < 2，
故 > 2 时， ( )的单调递增区间为(0, 1)，( 2, + ∞)，单调递减区间为( 1, 2).
(2)由(1)知当 > 2 时， 21， 2是 + 1 = 0 的两个根，
即函数 ( )存在的两个极值点 1， 2，且 1 + 2 = ， 1 2 = 1，
2 2 2
所以 ( 1, ) = ( ) ( ) =
[ 1+( 2) 1+ 3][ 2+( 2) 2+ 3] = +82 1 2 1+ 2 ， > 2，
2 2
令 ( ) = +8 2 8 ， > 2， ′( ) = ，当 ∈ (2,4)时， ′( ) < 0，当 ∈ (4, + ∞)时， ′( ) > 0，
故 ( )在(2,4) 8上单调递减，在(4, + ∞)上单调递增，故 ( ) = (4) = 4，
又 → 2 时， ( ) → 4 2， →+∞时， ( ) → 0
，
故 8 4 4 ≤ ( ) < 2，
即 ( 8 41, 2)的取值范围是[ 4 , 2 ).
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19.(1)①设红球的个数为 ( ≥ 1)，
1 1 3
因为两个球中有一个红球的概率 = 6 2 = 5，所以求得 = 3； 6
②随机变量 的取值为 0，1，2，
2 2
( = 0) = 3 1 3 3 1
2
=
6 5
， ( = 1) = 5， ( = 2) = 2 = ， 6 5
的分布列如下所示：
0 1 2
1 3 1
5 5 5
将表格数据代入期望公式可得： ( ) = 0 × 15+ 1 ×
3
5 + 2 ×
1
5 = 1；
(2)设球的总个数为 2 ，则红球的个数为 ，
2 2
则都不是红球的概率： = 2 =
( 1)
2 (2 1) =

2 4
2 2 ，
= 1
2 3 2 3 1 11
至少有一个红球的概率 4 2 2 = 4 2 2 = 4 + 8 4 ≤ 14，得 ≥ 4，
所以总个数的最小值为 8；
(3) ( = 2 ) = (8 + 78 ) × + 8 × 1 4
2+4 +78
2 1 4 2 = 2 1 = 2 1+
81
2 1+ 4 ≥ 22，
当且仅当 = 5 时取等号，此时 = 10．
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