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2024-2025 学年云南省玉溪一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 3 < < 3}， = { | = 3 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. { 1,4} B. { 2,1} C. { 1} D. { 1,2}

2.若复数 = 52+ ，则 的虚部为( )
A. B. C. 1 D. 1
3.已知 ∈ (0, 2 )， 3 = ，则 2 =( )
A. 2 1 1 23 B. 3 C. 3 D. 3
4.若点 (3,4)， (5,3)到直线 ：2 + + 1 = 0 的距离相等，则 =( )
A. 4 B. 4 C. 4 18 18或 7 D. 4 或 7
25
2
.若实数数列： 2， ， ， ，10 成等差数列，则圆锥曲线 2 2 = 1 的离心率为( )
A. 15 B. 172 2 C. 15 D. 17
6.如图， ， 是海面上位于东西方向相距(3 + 3)海里的两个观测点，现位于
点北偏东 45°、 点北偏西 60°的 点有一艘船发出求救信号，位于 点南偏西
60°且与 点相距 4 3海里的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 20 海
里/小时，则该救援船到达 点最快所需时间为( )
A. 1 小时 B. 0.3 小时 C. 0.5 小时 D. 0.2 小时
7.甲、乙、丙等 6 人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有( )种(用数字作答)．
A. 720 B. 480 C. 144 D. 360
8.若 ( ) = 12 2 在(0, )上有两个极值点，则 的取值范围为( )
A. (0,1) B. (0,1] C. [1, 98 ) D. (1,
9
8 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所
示，则下列说法正确的是( )
A. = 3是 ( )的一条对称轴
B. ( )在( 3 ,

12 )上单调递增
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C. ( )在[ 3 , 0]上的最小值为 2
D. ( ) 5 向右平移12个单位后为一个偶函数
10.一个铁罐中装有 4 块白巧，6 块黑巧，除口味外包装完全一样，每次随机拿出一块后不放回.则下列说法
正确的是( )
A. 2两次都拿到白巧的概率为15
B. 4第一次拿到黑巧的条件下，第二次拿到白巧的概率为9
C. 6第一次拿到黑巧且第二次拿到白巧的概率为25
D. 3第三次拿到黑巧的概率为5
11.如图，长方体 1 1 1 1中， = 1 =
1
2 = 4，点 是半圆弧
1 1上的动点(不包括端点)，点 是半圆弧 上的动点(不包括端点)，则下列
说法正确的是( )
A. 1若 1 与平面 所成的角为 ，则 > 2
B. 1 的取值范围是(0,32)
C. 的最小值为 4 4 2 2
D.若三棱锥 的外接球表面积为 ，则 ∈ [64 , 128 )
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12 1.二项式(3 + )
6的展开式中的常数项为______．
13.已知函数 ( ) = 2 + + 在(2, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围是______．
14.大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原
+ + 1, 为奇数
理.已知大衍数列{ }满足 1 = 0， =

+1 ，数列{ }满足 = 2 2 1，则 6 =
+ , 为偶数
______，数列{( 1) }的前 50 项和与数列{ }的前______项和相等．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知{ }是正项等差数列， 是{ }的前 项和.若 21 + 2 2 = 12 且 4 = 20．
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(1)求 1的值和通项公式 ；
(2) = 1若 2 1，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 1 +1的图象在 = 1 处的切线与直线 + 2 + 1 = 0 平行，其中 为常数．
(1)求 的值；
(2)求不等式 ( 2 1) < (5 7)的解集．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥平面 ， = ， 为棱 上的一点．
(1)当 为 的中点时，求证：平面 ⊥平面 ；
(2) 6 当平面 和平面 所成的角的余弦值为 3 时，求 的值．
18.(本小题 17 分)
甲、乙两名同学最近 50 次的投篮情况如下：
甲 乙
投中 30 25
未投中 20 25
用频率估计概率，解答下列问题．
(1)若从甲、乙两人中随机选择 1 人投篮 1 次，求投中的概率；
(2)若甲、乙两人各投篮 2 次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中 3 次的概率；
(3)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中 2
次，则停止比赛(例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次)，
投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了 5 次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.
甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率．
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19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上右顶点到左焦点的距离为 2 + 2，上顶点的坐标为(0, 2)．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 (4,0)， ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆 于另一点 ，证明直线
与 轴相交于定点 ；
(3)在(2)的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 、 两点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.135
13.[ 92 , + ∞)
14.18 25
15.(1)设等差数列{ }的公差为 且 > 0，
因为 21 + 2 22 = 12 且 4 = 20，所以 1 + 2 1 + 2 = 12 且 2 1 + 3 = 10，
解得 1 = 2， = 2，所以 = 2 + ( 1) × 2 = 2 ；
(2) (1) = 1 1 1 1 1由 可得 4 2 1 = (2 1)(2 +1) = 2 ( 2 1 2 +1 )，
所以 =
1 1 1 1
2 (1 3 + 3 5 + . . . +
1
2 1
1
2 +1 )
= 12 (1
1
2 +1 ) = 2 +1．
16.(1) ( ) = 2 + 1由函数 +1可得： ′( ) =
2
+
2
( +1)2，
又 ( ) = 2 + 1 +1在 = 1 处的切线与直线 + 2 + 1 = 0 平行，
可得 ′(1) = 2 + 1 1 12 = 2，∴ = 2；
(2) ∵函数 ( ) = 2 + 1 +1的定义域为(0, + ∞)，
∴ 2 1 和 5 7 7都大于 0，可得 ∈ ( 5 , + ∞)，
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∵ ( ) =
2+1
又 ′ ( +1)2 < 0，即 ( )在(0, + ∞)上单调递减
又 ( 2 1) < (5 7)，故 2 1 > 5 7，解得： < 2 或 > 3，
7
因此原不等式的解集为( 5 , 2) ∪ (3, + ∞)．
17.(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
又因为底面 为正方形，则 ⊥ ，
因 为 ∩ = ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ，
因 为 = ， 为 的中点，则 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
则平面 ⊥平面 ．
(2)以 为原点， ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系，
设 = (0 < < 1)，可设 = = 2，
则 (0,0,2)， (2,2,0)， (0,2,0)，
则 = (2,2,0), = (0,2, 2), = (0,0,2)，
则 = + = (0,2 , 2 2 )，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，平面 的法向量 = ( 2, 2, 2)，
则 ⊥
= 2 1 + 2 1 = 0

，则 ，
⊥ = 2 1 = 0
则 ⊥
= 2 + 2 = 0
，则
2 2
， ⊥ = 2 2 + (2 2 ) 2 = 0
令 1 = 2 = 1，则 = (1, 1,0)

， = (1, 1, 1 )，
因平面 和平面 所成的角的余弦值为 6，
3
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则 cos < , >=
= 1+1| =
2 = 6
| | | ，2× 2+( )2 2+( 2 31 1
)
1
解得 = 2，
1
则 = 2．
18.(1) 30 3 25 1根据题意可知，甲同学的投篮命中率为50 = 5，乙同学的投篮命中率为50 = 2，
1 3 1 1 11
从甲、乙中随机选择 1 人投篮 1 次，投中的概率为2 × 5 + 2 × 2 = 20；
(2)根据题意可知，甲、乙两人各投篮 2 次，至少投中 3 次的概率为
( 3 )2 × 1 × 1 × 2 + ( 1 )2 × 3 × 25 2 2 2 5 5 × 2+ (
3 2 1 2 39
5 ) × ( 2 ) = 100；
(3)根据题意可知，甲投了 3 次，则乙投了 2 次，又甲比乙多投中 2 次，则有 2 种情况，
第一种情况：甲投中了 3 次，乙投中了 1 次，
3 1 1 27
即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为( 5 )
3 × 2 × (1 2 ) = 500，
第二种情况，甲投中了 2 次，乙投中了 0 次，
即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次投篮投中，第一
次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，
3 3 1 3 3 1 36
其概率为( 5 )
2 × (1 5 ) × (1
2
2 ) + ( 5 )
2 × (1 5 ) × (1 2 )
2 = 500，
27 + 36 = 63所以甲投了第三次后停止比赛的概率为500 500 500．
+ = 2 + 2
19.(1)由题意可得 = 2 ，
2 = 2 + 2
= 2
解得 = 2，
= 2
2 +
2
所以椭圆的方程为 4 2 = 1．
(2)证明：如图所示：
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由题意，可设直线 的方程为 = ( 4)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 ( 1, 1)，
2 2+ = 1
联立方程组 4 2 ，
= ( 4)
消去 得方程：(1 + 2 2) 2 16 2 + 32 2 4 = 0，
= (16 2)2 4(1 + 2 2)(32 2 4) > 0，
16 2 2
所以 1 + 2 = 1+2 2 , 1 =
32 4
2 1+2 2 ，
+
所以直线 的方程为 + 2 11 = ( 1)，2 1
2(32 2 4) 64 2
= 0 = 1 2+ 2 1 = 1 ( 2 4)+ 2 ( 1 4) = 2 1 2 4(

令 ，则 1
+ 2)
+ ( + 8) + 8 =
1+2 2 1+2 2 = 1，
2 1 1 2 1 2 16 2
1+2 2
8
所以直线过定点 (1,0)．
(3)①当直线 与 轴重合时， = 4，
②当直线 与 轴不重合时，设直线 的方程为 = + 1，
= + 1
联立 2 2 ，消去 得方程(2 + 2) 2 + 2 3 = 0，
4 + 2 = 1
可知 > 0 2 ，则 + = 2+ 2 , =
3
2+ 2，
所以 = + = (1 + 2) + ( + ) + 1
= 3(1+
2) + 2
2
2+ 2 2+ 2 + 1 = 4+
7
2+ 2，
因为 2 ≥ 0，
0 < 7 7所以 2+ 2 ≤ 2，
所以 4 < 4+ 72+ 2 ≤
1
2，
所以 1的取值范围是( 4, 2 ],
综上可知， 1的取值范围是[ 4, 2 ]．
第 8页，共 8页

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