资源简介

5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
1.（2024·无锡月考）设f（x）＝xln x，若f'（x0）＝2，则x0＝（　　）
A.e2　　 B.e
C.　　 D.ln 2
2.函数f（x）＝的导数是（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
3.曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（　　）
A.y＝－2x＋1　　 B.y＝－3x＋2
C.y＝2x－3　　 D.y＝x－2
4.（2024·扬州月考）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（　　）
A.－ cm/s　　 B. cm/s
C.－ cm/s　　 D. cm/s
5.（多选）若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（　　）
A.f（x）＝3cos x　　 B.f（x）＝x＋sin x
C.f（x）＝x＋　　 D.f（x）＝ex＋x
6.（多选）（2024·常州月考）已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，其导函数为f'（x），则（　　）
A.f（0）＝－1　　 B.f'（0）＝1
C.f（0）＝1　　 D.f'（0）＝－1
7.设函数f（x）＝.若f'（1）＝，则a＝　　　.
8.已知函数f（x）＝f'（）·cos x＋sin x，则f'（）＝　　　　，f（）＝　　　　.
9.曲线f（x）＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积为　　　　.
10.求下列函数的导数：
（1）y＝ln x＋；
（2）y＝；
（3）y＝（x2＋9）（x－）；
（4）y＝.
11.（2024·苏州质检）已知f（x）＝x2＋sin（＋x），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（　　）
12.曲线y＝在点（1，1）处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最短距离是　　　　.
13.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8），则f'（0）＝　　　　.
14.已知函数f（x）＝x3－2x2＋3x（x∈R）的图象为曲线C.
（1）求曲线C上任意一点处切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
15.（2024·南通质检）设函数f（x）＝ax－，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
1.B　∵f（x）＝xln x，∴f'（x）＝ln x＋1（x＞0），由f'（x0）＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
2.A　f'（x）＝'＝
＝＝.
3.A　y＝的导数为y'＝－，在点（1，－1）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝－2，∴曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.
4.B　由题意得，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B.
5.BC　由题意可知，f'（x）必为偶函数.对于A选项，f'（x）＝－3sin x为奇函数；对于B选项，f'（x）＝1＋cos x为偶函数；对于C选项，f'（x）＝1－为偶函数；对于D选项，f'（x）＝ex＋1为非奇非偶函数.故选B、C.
6.BC　因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C.
7.1　解析：由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1.
8.－1　1　解析：∵f'（x）＝－f'（）·sin x＋cos x，∴f'（）＝－f'（）×＋，得f'（）＝－1.∴f（x）＝（－1）cos x＋sin x.∴f（）＝1.
9.1　解析：由题意可知，f'（x）＝x·ex，f'（1）＝2，∴切线方程为y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线f（x）＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1.
10.解：（1）y'＝（ln x＋）'＝（ln x）'＋（）'＝－.
（2）y'＝（）'
＝
＝－.
（3）y＝x3＋6x－，y'＝3x2＋＋6.
（4）y'＝
＝
＝.
11.A　∵f（x）＝x2＋sin（＋x）＝x2＋cos x，∴f'（x）＝x－sin x.易知f'（x）＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f'（）＝－＜0，排除C，故选A.
12.2－1　解析：y'＝－，则k＝－1，∴切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最短距离为2－1.
13.4 096　解析：因为f'（x）＝（x）'·[（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）]＋[（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）]'·x＝（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）＋[（x－a1）·（x－a2）·…·（x－a8）]'·x，所以f'（0）＝（0－a1）（0－a2）·…·（0－a8）＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f'（0）＝84＝4 096.
14.解：（1）由题意得f'（x）＝x2－4x＋3，
则f'（x）＝（x－2）2－1≥－1，
即曲线C上任意一点处切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞）.
（2）设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由条件和（1）中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈（－∞，2－]∪（1，3）∪[2＋，＋∞）.
15.解：（1）由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，所以f（2）＝， ①
又f'（x）＝a＋，
所以f'（2）＝， ②
由①②得解得
故f（x）＝x－.
（2）证明：设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y'＝1＋知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为
y－y0＝（x－x0），
即y－＝（x－x0）.
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，2x0）.
所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为｜2x0｜＝6.
故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
2 / 25.2.2　函数的和、差、积、商的导数
新课程标准解读 核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数 数学运算
　　利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实际生活中所涉及到一些函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的初等函数，如某质点运动，运动距离s与时间t的函数为s（t）＝t2＋；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y＝10x－ln x（x≥1）等.
【问题】　（1）由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢？
（2）除用定义法之外，是否有更简便的求导方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　函数的和、差、积、商的求导法则
1.条件：f（x），g（x）是可导的.
2.结论：（1）（f（x）±g（x））'＝　　　　；
（2）（Cf（x））'＝Cf'（x）（C为常数）；
（3）（f（x）g（x））'＝　　　　　　　　；
（4）'＝　　　　　　　　　　.
提醒　（1）导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形（一般化），即（u（x）±v（x）±…±w（x））'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）；（2）函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即（u（x）v（x）·…·w（x））'＝u'（x）v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）v（x）·…·w'（x）；（3）注意（）'≠.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（ex＋cos ）'＝ex.（　　）
（2）函数f（x）＝xex的导数是f'（x）＝ex（x＋1）.（　　）
（3）当g（x）≠0时，＝.（　　）
（4）函数f（x）＝xln x的导数是f'（x）＝x.（　　）
2.设f（x）＝x3＋ax2－2x＋b，若f'（1）＝4，则a的值是（　　）
A.　　　B.　　C.－1　　　D.－
3.（2024·淮安月考）曲线f（x）＝x2＋2x在点（2，f（2））处的切线斜率为　　　　.
题型一 f（x）±g（x）的导数
【例1】　（链接教科书第205页例2）求下列函数的导数：
（1）y＝x5－x3＋cos x；
（2）y＝lg x－ex.
通性通法
　　两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），对每一项分别利用函数的求导法则即可.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝x4－x2－x＋3；
（2）y＝x3＋sin x.
题型二 f（x）g（x）和的导数
【例2】　（链接教科书第205页例3）求下列函数的导数：
（1）y＝x2＋xln x；
（2）y＝；
（3）y＝（2x2－1）（3x＋1）.
通性通法
1.先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.
2.如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝x3ex；
（2）y＝x2＋tan x；
（3）y＝.
题型三 导数四则运算法则的应用
【例3】　（1）记函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝3xf'（2）－2ln x，则f（1）＝（　　）
A.1　　 B.2
C.　　 D.
（2）（2024·连云港月考）曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是（　　）
A.　　 B.
C.1　　 D.2
通性通法
1.解决有关切线问题的关注点
（1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系；
（2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.
2.含f'（c）函数的求导问题的解决策略
含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当常系数处理.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝excos x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（　　）
A.0　　 B.
C.1　　 D.
2.原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料.要从原油中提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果x h时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15（0≤x≤8）.则第6 h时，原油温度的瞬时变化率为　　　　℃/h，其意义为　　　　　.
1.设函数y＝－2exsin x，则y'＝（　　）
A.－2excos x
B.－2exsin x
C.2exsin x
D.－2ex（sin x＋cos x）
2.已知函数f（x）＝ax2＋c，且f'（1）＝2，则a＝（　　）
A.1　　 B.　　
C.－1　　 D.0
3.（2024·泰州月考）曲线f（x）＝xln x在点（1，f（1））处的切线的方程为　　　　.
4.求下列函数的导数：
（1）f（x）＝（x－2）（x2＋2x＋4）；
（2）f（x）＝－2x.
5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
【基础知识·重落实】
知识点
2.（1）f'（x）±g'（x）　（3）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　（4）（g（x）≠0）
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
2.B　f'（x）＝3x2＋2ax－2，故f'（1）＝3＋2a－2＝4，解得a＝.
3.4　解析：因为f（x）＝x2＋2x，所以f'（x）＝x＋2，则f'（2）＝2＋2＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）y'＝（x5）'－（x3）'＋（cos x）'＝5x4－3x2－sin x.
（2）y'＝（lg x－ex）'＝（lg x）'－（ex）'＝－ex.
跟踪训练
　解：（1）∵y＝x4－x2－x＋3，
∴y'＝4x3－2x－1.
（2）∵y＝x3＋sin x，
∴y'＝3x2＋cos x.
【例2】　解：（1）y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）'
＝2x＋（x）'ln x＋x（ln x）'＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1.
（2）y'＝（）'＝＝.
（3）法一　y'＝[（2x2－1）（3x＋1）]'
＝（2x2－1）'（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）'
＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
法二　因为y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'
＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝18x2＋4x－3.
跟踪训练
　解：（1）y'＝（x3）'ex＋x3（ex）'＝（3x2＋x3）ex.
（2）因为y＝x2＋，
所以y'＝（x2）'＋（）'
＝2x＋
＝2x＋.
（3）y'＝
＝＝.
【例3】　（1）D　（2）B　解析：（1）∵f'（x）＝3f'（2）－，∴f'（2）＝3f'（2）－1，解得f'（2）＝，∴f（x）＝x－2ln x，∴f（1）＝.
（2）设曲线y＝xln x在点M0（x0，y0）处的切线与直线x－y－2＝0平行.∵y'＝ln x＋1，∴y＝xln x在点M0处的切线斜率为k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.
跟踪训练
1.B　对函数求导得f'（x）＝ex（cos x－sin x），∴f'（0）＝1，∴函数f（x）＝excos x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为.
2.5　在第6 h附近时，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升　解析：f'（x）＝2x－7，则f'（6）＝2×6－7＝5.在第6 h附近时，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升.
随堂检测
1.D　y'＝－2（exsin x＋excos x）＝－2ex（sin x＋cos x）.
2.A　∵f（x）＝ax2＋c，∴f'（x）＝2ax，又∵f'（1）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
3.x－y－1＝0　解析：f'（x）＝1＋ln x，则曲线在点（1，f（1））处切线的斜率k＝f'（1）＝1，又f（1）＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×（x－1），即x－y－1＝0.
4.解：（1）法一　f'（x）＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2.
法二　∵f（x）＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8.
∴f'（x）＝3x2.
（2）f'（x）＝－2x·ln 2＝－2x·ln 2＝＋ln x－2xln 2.
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5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
新课程标准解读 核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运
算法则，求简单函数的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，
但实际生活中所涉及到一些函数模型多数为基本初等函数通过加、
减、乘、除运算得到的初等函数，如某质点运动，运动距离 s 与时间 t
的函数为 s （ t ）＝ t2＋ ；某商品网购量 x （件）与支付款 y （元）
之间的关系为 y ＝10 x －ln x （ x ≥1）等.
【问题】　（1）由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的
函数该如何求导呢？
（2）除用定义法之外，是否有更简便的求导方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　函数的和、差、积、商的求导法则
1. 条件： f （ x ）， g （ x ）是可导的.
2. 结论：（1）（ f （ x ）± g （ x ））'＝ ；
（2）（ Cf （ x ））'＝Cf'（ x ）（ C 为常数）；
（3）（ f （ x ） g （ x ））'＝
；
f'（ x ）±g'（ x ）　
f'（ x ） g （ x ）＋ f （ x ）g'
（ x ）　
（4） '＝ 　 （ g （ x ）≠0）　.
提醒　（1）导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广
到任意有限个可导函数的情形（一般化），即（ u （ x ）± v
（ x ）±…± w （ x ））'＝u'（ x ）±v'（ x ）±…±w'
（ x ）；（2）函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积
的导数，即（ u （ x ） v （ x ）·…· w （ x ））'
（ g （ x ）≠0）　
＝u'（ x ） v （ x ）·…· w （ x ）＋ u （ x ）v'（ x ）·…· w （ x ）
＋…＋ u （ x ） v （ x ）·…·w'（ x ）；（3）注意（ ）
'≠ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（e x ＋ cos ）'＝e x . （　√　）
（2）函数 f （ x ）＝ x e x 的导数是f'（ x ）＝e x （ x ＋1）.
（　√　）
（3）当 g （ x ）≠0时， ＝ . （　√　）
（4）函数 f （ x ）＝ x ln x 的导数是f'（ x ）＝ x . （　×　）
√
√
√
×
2. 设 f （ x ）＝ x3＋ ax2－2 x ＋ b ，若f'（1）＝4，则 a 的值是（　　）
C. －1
解析： 　f'（ x ）＝3 x2＋2 ax －2，故f'（1）＝3＋2 a －2＝4，解
得 a ＝ .
3. （2024·淮安月考）曲线 f （ x ）＝ x2＋2 x 在点（2， f （2））处的
切线斜率为 .
解析：因为 f （ x ）＝ x2＋2 x ，所以f'（ x ）＝ x ＋2，则f'（2）＝2
＋2＝4.
4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 f （ x ）± g （ x ）的导数
【例1】　（链接教科书第205页例2）求下列函数的导数：
（1） y ＝ x5－ x3＋ cos x ；
解： y'＝（ x5）'－（ x3）'＋（ cos x ）'＝5 x4－3 x2－ sin x .
（2） y ＝lg x －e x .
解： y'＝（lg x －e x ）'＝（lg x ）'－（e x ）'＝ －e x .
通性通法
　　两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或
差），对每一项分别利用函数的求导法则即可.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1） y ＝ x4－ x2－ x ＋3；
解： ∵ y ＝ x4－ x2－ x ＋3，∴y'＝4 x3－2 x －1.
（2） y ＝ x3＋ sin x .
解： ∵ y ＝ x3＋ sin x ，∴y'＝3 x2＋ cos x .
题型二
【例2】　（链接教科书第205页例3）求下列函数的导数：
（1） y ＝ x2＋ x ln x ；
解： y'＝（ x2＋ x ln x ）'＝（ x2）'＋（ x ln x ）'
＝2 x ＋（ x ）'ln x ＋ x （ln x ）'＝2 x ＋ln x ＋ x · ＝2 x ＋ln x ＋1.
（2） y ＝ ；
解： y'＝（ ）'＝ ＝ .
法二　因为 y ＝（2 x2－1）（3 x ＋1）＝6 x3＋2 x2－3 x －1，
所以y'＝（6 x3＋2 x2－3 x －1）'
＝（6 x3）'＋（2 x2）'－（3 x ）'－（1）'＝18 x2＋4 x －3.
（3） y ＝（2 x2－1）（3 x ＋1）.
解： 法一　y'＝[（2 x2－1）（3 x ＋1）]'
＝（2 x2－1）'（3 x ＋1）＋（2 x2－1）（3 x ＋1）'
＝4 x （3 x ＋1）＋（2 x2－1）×3
＝12 x2＋4 x ＋6 x2－3
＝18 x2＋4 x －3.
通性通法
1. 先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的
运算法则求导数.
2. 如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变
形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等
变换后求导等.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1） y ＝ x3e x ；
解：y'＝（ x3）'e x ＋ x3（e x ）'＝（3 x2＋ x3）e x .
（2） y ＝ x2＋tan x ；
解： 因为 y ＝ x2＋ ，
所以y'＝（ x2）'＋（ ）'
＝2 x ＋
＝2 x ＋ .
（3） y ＝ .
解：y'＝
＝ ＝ .
题型三 导数四则运算法则的应用
【例3】　（1）记函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），且 f （ x ）＝3xf'
（2）－2ln x ，则 f （1）＝（　　）
A. 1 B. 2
解析： ∵f'（ x ）＝3f'（2）－ ，∴f'（2）＝3f'（2）－1，
解得f'（2）＝ ，∴ f （ x ）＝ x －2ln x ，∴ f （1）＝ .
（2）（2024·连云港月考）曲线 y ＝ x ln x 上的点到直线 x － y －2＝0的
最短距离是（　　）
C. 1 D. 2
解析：设曲线 y ＝ x ln x 在点 M0（ x0， y0）处的切线与直线 x － y －
2＝0平行.∵y'＝ln x ＋1，∴ y ＝ x ln x 在点 M0处的切线斜率为 k
＝ln x0＋1＝1，解得 x0＝1，∴ y0＝0，即切点坐标为（1，
0）.∴切点（1，0）到直线 x － y －2＝0的距离为 d ＝
＝ ，即曲线 y ＝ x ln x 上的点到直线 x － y －2＝0的最短距离是
.
通性通法
1. 解决有关切线问题的关注点
（1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要
元素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系；
（2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，
这是解题时的易错点.
2. 含f'（ c ）函数的求导问题的解决策略
含f'（ c ）函数在求导时一定要抓住f'（ c ）为常数这一特点，也就
是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（ c ）一
律充当常系数处理.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝e x cos x 的图象在点（0， f （0））处的切线的倾斜角
为（　　）
A. 0
C. 1
解析： 　对函数求导得f'（ x ）＝e x （ cos x － sin x ），∴f'（0）＝
1，∴函数 f （ x ）＝e x cos x 的图象在点（0， f （0））处的切线的
倾斜角为 .
2. 原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料.要从
原油中提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果 x h时，原
油温度（单位：℃）为 f （ x ）＝ x2－7 x ＋15（0≤ x ≤8）.则第6 h
时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/h，其意义为
.
解析：f'（ x ）＝2 x －7，则f'（6）＝2×6－7＝5.在第6 h附近时，
原油温度大约以5 ℃/h的速度上升.
5
在第6 h附近
时，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升　
1. 设函数 y ＝－2e x sin x ，则y'＝（　　）
A. －2e x cos x B. －2e x sin x
C. 2e x sin x D. －2e x （ sin x ＋ cos x ）
解析： 　y'＝－2（e x sin x ＋e x cos x ）＝－2e x （ sin x ＋ cos x ）.
2. 已知函数 f （ x ）＝ ax2＋ c ，且f'（1）＝2，则 a ＝（　　）
A. 1
C. －1 D. 0
解析：　∵ f （ x ）＝ ax2＋ c ，∴f'（ x ）＝2 ax ，又∵f'（1）＝2
a ，∴2 a ＝2，∴ a ＝1.
3. （2024·泰州月考）曲线 f （ x ）＝ x ln x 在点（1， f （1））处的切
线的方程为 　 　.
x － y －1＝0
解析：f'（ x ）＝1＋ln x ，则曲线在点（1， f （1））处切线的斜率
k ＝f'（1）＝1，又 f （1）＝0，故所求的切线方程为 y －0＝1×（ x
－1），即 x － y －1＝0.
4. 求下列函数的导数：
（1） f （ x ）＝（ x －2）（ x2＋2 x ＋4）；
解：法一　f'（ x ）＝（ x －2）'（ x2＋2 x ＋4）＋（ x －2）（ x2＋2 x ＋4）'＝ x2＋2 x ＋4＋（ x －2）（2 x ＋2）＝3 x2.
法二　∵ f （ x ）＝（ x －2）（ x2＋2 x ＋4）＝ x3－8.
∴f'（ x ）＝3 x2.
解： f'（ x ）＝ －2 x ·ln 2＝
－2 x ·ln 2
＝ ＋ ln x －2 x ln 2.
（2） f （ x ）＝ －2 x .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·无锡月考）设 f （ x ）＝ x ln x ，若f'（ x0）＝2，则 x0＝
（　　）
A. e2 B. e
D. ln 2
解析： 　∵ f （ x ）＝ x ln x ，∴f'（ x ）＝ln x ＋1（ x ＞0），由f'
（ x0）＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得 x0＝e.
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2. 函数 f （ x ）＝ 的导数是（　　）
解析： 　f'（ x ）＝ '＝
＝ ＝ .
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3. 曲线 y ＝ 在点（1，－1）处的切线方程为（　　）
A. y ＝－2 x ＋1 B. y ＝－3 x ＋2
C. y ＝2 x －3 D. y ＝ x －2
解析： 　 y ＝ 的导数为y'＝－ ，在点（1，－1）处的
切线斜率 k ＝y'｜ x＝1＝－2，∴曲线 y ＝ 在点（1，－1）处的切
线方程为 y ＋1＝－2（ x －1），即 y ＝－2 x ＋1.
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4. （2024·扬州月考）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程
中，水面高度 y （单位：cm）关于时间 t （单位：s）的函数为 y ＝
h （ t ）＝ ，当 t ＝3时，水面下降的速度为（　　）
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解析 ：　由题意得，h'（ t ）＝ ＝ ，所以h'
（3）＝ ＝－ ，故当 t ＝3时，水面下降的速度为
cm/s，故选B.
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5. （多选）若函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象关于 y 轴对称，则 f
（ x ）的解析式可能为（　　）
A. f （ x ）＝3 cos x B. f （ x ）＝ x ＋ sin x
D. f （ x ）＝e x ＋ x
解析： 　由题意可知，f'（ x ）必为偶函数.对于A选项，f'（ x ）
＝－3 sin x 为奇函数；对于B选项，f'（ x ）＝1＋ cos x 为偶函数；
对于C选项，f'（ x ）＝1－ 为偶函数；对于D选项，f'（ x ）＝e x
＋1为非奇非偶函数.故选B、C.
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6. （多选）（2024·常州月考）已知函数 f （ x ）＝ x2＋ f （0）· x －f'
（0）· cos x ＋2，其导函数为f'（ x ），则（　　）
A. f （0）＝－1 B. f'（0）＝1
C. f （0）＝1 D. f'（0）＝－1
解析： 　因为 f （ x ）＝ x2＋ f （0）· x －f'（0）· cos x ＋2，所以 f
（0）＝2－f'（0）.因为f'（ x ）＝2 x ＋ f （0）＋f'（0）· sin x ，所
以f'（0）＝ f （0）.故f'（0）＝ f （0）＝1.故选B、C.
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7. 设函数 f （ x ）＝ .若f'（1）＝ ，则 a ＝ .
解析：由于f'（ x ）＝ ，故f'（1）＝ ＝ ，解
得 a ＝1.
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8. 已知函数 f （ x ）＝f'（ ）· cos x ＋ sin x ，则f'（ ）＝ 　 －1　， f
（ ）＝ .
解析：∵f'（ x ）＝－f'（ ） sin x ＋ cos x ，∴f'（ ）＝－f'（ ）
× ＋ ，得f'（ ）＝ －1.∴ f （ x ）＝（ －1） cos x ＋ sin
x .∴ f （ ）＝1.
－1　
1　
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9. 曲线 f （ x ）＝ （ x －1）e x 在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的
面积为 .
解析：由题意可知，f'（ x ）＝ x ·e x ，f'（1）＝2，∴切线方程为 y
＝2（ x －1），即2 x － y －2＝0.令 x ＝0得 y ＝－2；令 y ＝0得 x ＝
1.∴曲线 f （ x ）＝ （ x －1）e x 在点（1，0）处的切线与坐标轴围
成的面积 S ＝ ×2×1＝1.
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10. 求下列函数的导数：
（1） y ＝ln x ＋ ；（2） y ＝ ；
（3） y ＝（ x2＋9）（ x － ）；（4） y ＝ .
解：（1）y'＝（ln x ＋ ）'＝（ln x ）'＋（ ）'＝ － .
（2）y'＝（ ）'＝ ＝－ .
（3） y ＝ x3＋6 x － ，y'＝3 x2＋ ＋6.
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（4）y'＝
＝ ＝ .
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11. （2024·苏州质检）已知 f （ x ）＝ x2＋ sin （ ＋ x ），f'（ x ）为
f （ x ）的导函数，则f'（ x ）的大致图象是（　　）
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解析： 　∵ f （ x ）＝ x2＋ sin （ ＋ x ）＝ x2＋ cos x ，
∴f'（ x ）＝ x － sin x .易知f'（ x ）＝ x － sin x 是奇函数，
其图象关于原点对称，故排除B、D. 由f'（ ）＝ － ＜0，
排除C，故选A.
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12. 曲线 y ＝ 在点（1，1）处的切线为 l ，则 l 上的点到圆 x2＋ y2＋
4 x ＋3＝0上的点的最短距离是 .
解析：y'＝－ ，则 k ＝－1，∴切线方程为 y －1＝－（ x
－1），即 x ＋ y －2＝0，圆心（－2，0）到直线的距离 d ＝2 ，
圆的半径 r ＝1，∴所求最短距离为2 －1.
2 －1　
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13. 等比数列{ an }中， a1＝2， a8＝4，函数 f （ x ）＝ x （ x － a1）（ x
－ a2）·…·（ x － a8），则f'（0）＝ .
解析：因为f'（ x ）＝（ x ）'·[（ x － a1）（ x － a2）·…·（ x －
a8）]＋[（ x － a1）（ x － a2）·…·（ x － a8）]'· x ＝（ x － a1）（ x
－ a2）·…·（ x － a8）＋[（ x － a1）·（ x － a2）·…·（ x －
a8）]'· x ，所以f'（0）＝（0－ a1）（0－ a2）·…·（0－ a8）＋0＝
a1 a2·…· a8.因为数列{ an }为等比数列，所以 a1 a8＝ a2 a7＝ a3 a6＝ a4
a5＝8，所以f'（0）＝84＝4 096.
4 096　
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x3－2 x2＋3 x （ x ∈R）的图象为曲线 C .
（1）求曲线 C 上任意一点处切线斜率的取值范围；
解： 由题意得f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3，
则f'（ x ）＝（ x －2）2－1≥－1，
即曲线 C 上任意一点处切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞）.
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（2）若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与
曲线 C 的切点的横坐标的取值范围.
解：设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k ，
则由条件和（1）中结论可知，
解得－1≤ k ＜0或 k ≥1，
故由－1≤ x2－4 x ＋3＜0或 x2－4 x ＋3≥1，得 x ∈（－∞，2
－ ]∪（1，3）∪[2＋ ，＋∞）.
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15. （2024·南通质检）设函数 f （ x ）＝ ax － ，曲线 y ＝ f （ x ）在点
（2， f （2））处的切线方程为7 x －4 y －12＝0.
（1）求 f （ x ）的解析式；
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解： 由7 x －4 y －12＝0得 y ＝ x －3.
当 x ＝2时， y ＝ ，所以 f （2）＝ ，　①
又f'（ x ）＝ a ＋ ，
所以f'（2）＝ ，　②
由①②得解得
故 f （ x ）＝ x － .
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（2）证明：曲线 y ＝ f （ x ）上任一点处的切线与直线 x ＝0和直线
y ＝ x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
解： 证明：设 P （ x0， y0）为曲线上任一点，由y'＝1
＋ 知曲线在点 P （ x0， y0）处的切线方程为
y － y0＝ （ x － x0），
即 y － ＝ （ x － x0）.
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令 x ＝0得 y ＝－ ，从而得切线与直线 x ＝0的交点坐标为
.
令 y ＝ x 得 y ＝ x ＝2 x0，从而得切线与直线 y ＝ x 的交点坐标
为（2 x0，2 x0）.
所以点 P （ x0， y0）处的切线与直线 x ＝0， y ＝ x 所围成的
三角形面积为 ｜2 x0｜＝6.
故曲线 y ＝ f （ x ）上任一点处的切线与直线 x ＝0， y ＝ x 所
围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
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