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(共32张PPT)
　复数
专题一　复数的概念和意义
10.1　复数的概念和意义
重点 难点 易错点
理解复数的概念及代数表 示，复数相等的充要条 件；通过类比实数运算、 多项式运算，掌握复数加 法、减法和乘法的运算； 能够在复数范围内求解实 系数一元二次方程. 复数的概念及几何意义的 认识；复数的加法、减法 和乘法的运算法则的应 用；实系数一元二次方程 有虚根时根与系数的关系 的理解. 关于虚数单位i，i2＝－1 易搞错；实数的共轭复数 与实数的相反数混淆；实 系数一元二次方程有虚根 时求根公式记不准.
知识点1　虚数单位和复数的概念
1. 引入一个新的数，记作i，i2 ＝－1，称i为虚数单位.
2. 复数的概念：把形如a＋bi（a，b∈R）的数称为复数，其中a称为复数的 实部，b称为复数的虚部.
知识点2　复数的分类和复数集
1. 复数的分类
当b＝0时，复数a＋bi就是实数；
当b≠0时，复数a＋bi称为虚数；
当a＝0且b≠0时，复数bi称为纯虚数.
2. 复数集：复数通常用小写英文字母z，w，…表示，如z＝a＋bi.全体复数构 成的集合称为复数集，用字母C表示，C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}，全体虚 数构成的集合称为虚数集，全体纯虚数构成的集合称为纯虚数集.
3. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可以用下图表示.
知识点3　复数的相等
　如果两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别相等，就称这两个复数相等， 记作a＋bi＝c＋di.即，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di a ＝c且b＝d.
特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0.
知识点4　复数的几何意义
1. 复数的坐标表示
如图所示，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用平面直角坐标系中的点Z（a， b）来表示.用来表示复数的平面称为复平面，直角坐标系中的x轴称为实轴，y 轴（除去原点）称为虚轴.实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数.
例1　指出下列复数的实部和虚部，并判断这些复数是实数还是虚数.若是虚数， 判断其是否为纯虚数.
（1）－2；（2）2－3i；（3）6i.
【考查目标】 本题考查复数的概念及分类.
【解析】 （1）复数－2的实部是－2，虚部是0，它是实数.
（2）复数2－3i的实部是2，虚部是－3，它是虚数，但不是纯虚数.
（3）复数6i的实部是0，虚部是6，它是虚数，且是纯虚数.
【解题技巧】 i是虚数单位，复数z＝a＋bi（a，b∈R），a是实部，b是虚 部.当b＝0时，复数z是实数；当b≠0时，复数z是虚数；当a＝0且b≠0时，复 数z 是纯虚数.
变式训练1
已知i是虚数单位，复数z＝m2－1＋（m－1）i，求满足下列条件的实数m的值.
（1）z是实数；
解：（1）复数z是实数，则m－1＝0，即m＝1.
（2）z是虚数；
解：（2）复数z是虚数，则m－1≠0，即m≠1.
（3）z是纯虚数.
解：（3）复数z是纯虚数，则m2－1＝0且m－1≠0，即m＝－1.
例2　已知（x－2）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，求x与y的值.
【考查目标】 本题考查复数的相等.
【解题技巧】 如果a，b，c，d都是实数，两个复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di相 等，那么z1＝z2 a＝c且b＝d.
变式训练2
求满足下列条件的实数x，y的值.
（1）（x＋y）＋（2y＋1）i＝（2x＋3y）＋（y－1）i；
（2）（x－y＋2）＋（x－1）i＝0.
例3　已知复数z1＝3－4i，z2＝－4＋3i，试回答下列问题.
（1）在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量，并求复数z1，z2的模；
（2）设复数z在复平面内对应的点为Z，若1≤｜z｜≤2，则点Z的集合是什么 图形？
变式训练3
已知复数z1＝2－i，z2＝－2－4i，z3＝3i，z4＝－5，试回答下列问题.
（1）在复平面内画出这些复数对应的向量，并求这些复数的模；
（2）设复数z在复平面内对应的点为Z，若4＜｜z｜＜5，则点Z的集合是什么 图形？
例4　若复数z1＝2m＋2i 与复数z2＝4＋ni互为共轭复数，求实数m与n的值，并 求它们的模.
【考查目标】 本题考查共轭复数.
【解题技巧】 互为共轭复数的两个复数实部相等，虚部互为相反数.
A. 4 C. －4
A. 0，－2i B. 不存在，－2
C. 0，2 D. 0，－2
【解析】复数z＝－2i，实部是0，虚部是－2.
A
D
A. n≠0 B. m≠1
C. m≠1或n≠0 D. m≠1且n≠0
【解析】复数z＝m－1＋ni是虚数但不是纯虚数，则实部m－1≠0且虚部 n≠0，故m≠1且n≠0.
D
A. n≠1 B. m≠0
C. n＝1 D. m≠0且n＝1
【解析】因为复数z＝m＋（n－1）i是实数，则虚部为0，即n－1＝0，故n ＝1.
A. 18 B. 8 C. 15 D. 5
C
B
A. （2，1） B. （2，－1）
C. （1，2） D. （－1，2）
【解析】复数z＝2i－1的实部是－1，虚部是2，故复数z在复平面内对应的点是 （－1，2）.
A. （－1，1） B. （－1，0）
C. （1，＋∞） D. （0，1）
D
C
A. 3＋2i B. －3－2i
C. －3＋2i D. 2－3i
A. 0 B. －1 C. 1 D. 1或－1
A
B
A. 直线x＝－2 B. 射线x＝－2（y≥0）
C. 直线y＝－2 D. 射线y＝－2（x≥0）
【解析】由题意可知复数z的对应的点横坐标是非负数，纵坐标是－2，故复数z 对应的点的集合是射线y＝－2（x≥0）.
D
二、填空题
11. 已知i是虚数单位，复数z1＝2＋i，z2＝3i，z3＝2，其中是纯虚数的 是 ，是实数的是 .
【解析】复数z2实部是0，虚部是3，是纯虚数；复数z3实部是2，虚部是0，是实 数；复数z1是虚数但不是纯虚数.
z2
z3
－4＋3i
14. 设复数z在复平面内对应的点为Z，若点Z的集合是以原点O为圆心，以4为 半径的圆，则｜z｜满足的关系是 .
【解析】由复数的几何意义，得｜z｜＝4.
｜z｜＝4
三、解答题
15. 已知i是虚数单位，复数z＝（m2－4）＋（m2＋2m）i，求满足下列条件 时，实数m的值.
（1）z是实数；
解：复数z实部是m2－4，虚部是m2＋2m.
（1）z是实数，则m2＋2m＝0，即m＝0或m＝－2.
（2）z是虚数；
解：（2）z是虚数，则m2＋2m≠0，即m≠0且m≠－2.
（3）z是纯虚数.
17. 若在复平面内表示复数z＝（m2－m－6）＋（｜m－1｜－1）i的点位于第 二象限，求实数m的取值范围.

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