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　复数
专题三　复数的应用
10.3　实系数一元二次方程的解法
例1　在复数集C中，求解方程x2＋4＝0.
【考查目标】 本题考查在复数集中求实系数一元二次方程的根.
【解析】 x2＝－4，则x2＝4i2，即x＝±2i.
【解题技巧】 实系数一元二次方程Δ＜0时的两根是共轭复数，注意i2＝－1.
变式训练1
在复数集中求解方程x2＋2x＋4＝0.
例2　已知实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根是2＋3i，求它的另一个根 和b，c的值.
【考查目标】 本题考查一元二次方程根与系数的关系.
【解题技巧】 Δ＜0时，实系数一元二次方程的两个根是虚数且互为共轭复数， 韦达定理在复数集C中仍然成立.
变式训练2
已知实系数一元二次方程x2－mx＋n＝0的一个根是3－4i，求它的另一个根和 m，n的值.
解：由该方程的一个根为虚数可得Δ＜0，
当Δ＜0时，实系数一元二次方程的两个根是虚数且互为共轭复数，则它的另一 个根是3＋4i.
由韦达定理，得（3＋4i）＋（3－4i）＝m，（3＋4i）（3－4i）＝n，即m＝ 6，n＝25.
例3　在复数集中解方程x4－9＝0.
【考查目标】 本题考查复数集中解高次方程.
【解题技巧】 在复数集中解方程，注意虚根的存在.
变式训练3
在复数集中解方程x3＋4x＝0.
解：由x3＋4x＝0得x（x2＋4）＝0，
即x1＝0或x2＋4＝0.
当x2＋4＝0时，x2＝2i，x3＝－2i，
故原方程的根为x1＝0，x2＝2i，x3＝－2i.
A. 实系数一元二次方程在Δ＜0时无解
B. 对于实系数一元二次方程，根与系数的关系在Δ＜0时不成立
C. 实系数一元二次方程的一个根为1－i，则另一个根为－1－i
D. 实系数一元二次方程可能只有虚根
【解析】实系数一元二次方程在Δ＜0时有虚根；对于实系数一元二次方程，根 与系数的关系在Δ＜0时仍成立；实系数一元二次方程的一个根为1－i，则另一个 根为1＋i；实系数一元二次方程当Δ＜0时只有虚根.
D
A. Δ＝b2－4ac＞0 B. x1≠x2
C. x1＋x2一定是实数 D. x1与x2一定是共轭复数
【解析】当Δ＝b2－4ac≥0时，方程有实数解，两根之和为实数；当Δ＝b2 －4ac＜0时，方程有虚数解且互为共轭复数，两根之和为实数，故C选项一 定正确.
C
A. （－4，0） B. （－∞，－4）∪（0，＋∞）
C. （0，4） D. （－∞，0）∪（4，＋∞）
【解析】由题意可知Δ＝b2－4ac＜0，即m2－4m＜0，则m（m－4）＜0，故0 ＜m＜4.
A. －2＋3i B. 2＋3i
C. －3＋2i D. －3－2i
【解析】实系数一元二次方程如果有虚根，则两个虚数互为共轭复数，故另一个 根是2＋3i.
C
B
A. 0 B. 9 C. －9 D. 3
【解析】由题意可知x2＝－3i，所以x1x2＝3i×（－3i）＝9.
A. －8，25 B. －8，－25
C. 8，25 D. 8，－25
【解析】由题意可知另一个根是x2＝4＋3i，由韦达定理得x1＋x2＝－a＝8，即 a＝－8，x1x2＝b＝25，即b＝25.
B
A
A. 16 B. 1 C. －1 D. －16
A. 有两个相等的实根 B. 有两个不相等的实根
C. 有两个虚根 D. 只有一个实根
【解析】由题意可知Δ＝b2－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根.
C
A
A. 2 B. 4
A. 0 B. －i C. i D. 1
【解析】由x3＋x＝0得x（x2＋1）＝0，由x＝0得x1＝0，由x2＋1＝0得x2＝ i，x3＝－i，故方程的解不可能是1.
D
D
二、填空题
11. 在复数集中方程3x2＋27＝0的根是 .
【解析】3x2＋27＝3（x2＋9）＝0，由x2＋9＝0，得x＝±3i.
12. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根是1＋i，则m＝ .
【解析】由题意可知另一个根是1－i，由韦达定理，得m＝（1－i）（1＋ i）＝2.
13. 在复数集中，方程x2＋3x＋3＝0的解是 .
±3i
2
14. 若实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根为1＋2i，则这个一元二次方 程是 .
【解析】由题意可知另一个根是1－2i，由韦达定理，得－a＝（1－2i）＋（1＋ 2i）＝2，即a＝－2，b＝（1－2i）（1＋2i）＝5，故这个一元二次方程是x2－ 2x＋5＝0.
x2－2x＋5＝0
三、解答题
15. 在复数集中解下列方程：
（1）3x2＋2x＋1＝0；
（2）2x2＋4x＋5＝0.
16. 实系数一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个根x1，x2都是虚数，求：
（1）实数a的取值范围；
解：（1）由题意可知Δ＝b2－4ac＝（－2）2－4×a×1＜0，即a＞1，故实数 a的取值范围是（1，＋∞）.
（2）｜x1｜＋｜x2｜的值.
17. 在复数集中，关于x的实系数方程x2－4x＋m＝0（m∈R）的两个不相等的 根分别是x1，x2，若｜x1－x2｜＝2，求m的值.
解：由韦达定理，得x1＋x2＝4，x1x2＝m，

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