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　函数
专题一　函数的概念及性质
3.2　函数的单调性
知识点　　函数的单调性
1. 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫作函数的单调性.
2. 设函数y＝f（x）的定义域为D，区间I D.
（1）如果对于区间I上的任意两点x1和x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f （x2），那么称函数y＝f（x）在区间I上是增函数，区间I称为函数y＝f （x）的增区间，如图1.
（2）如果对于区间I上的任意两点x1和x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f （x2），那么称函数y＝f（x）在区间I上是减函数，区间I称为函数y＝f （x）的减区间，如图2.
3. 增函数的图像自左向右呈上升趋势，减函数的图像自左向右呈下降趋势.
4. 如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f（x）在 区间I上具有单调性，区间I称为单调区间.增区间也称为单调增区间，减区间也 称为单调减区间.
例1　下列函数中，在（－∞，0）内为减函数的是（　　）.
A. y＝3－2x B. y＝3x＋2
C. y＝2－3x2
【考查目标】 本题考查函数的单调减区间.
【答案】 A
【解题技巧】 可以通过单调性的定义判断出各函数在给定区间上的单调性，同时 也可以通过常见的一次函数、二次函数、反比例函数的图像来判断它们在给定区 间上的单调性.
A. y＝－x＋3 B. y＝x＋1
C. y＝－x3 D. y＝x2－3
B
例2　已知函数f（x）＝x2＋2（m＋2）x＋3在区间[3，＋∞）上单调递增，则 实数m的取值范围为（　　）.
A. [－2，＋∞） B. [－5，＋∞）
C. （－∞ ，－2] D. （－∞ ，－5]
【考查目标】 本题考查利用函数的单调性求参数.
【解析】 由题可知函数f（x）的图像的开口向上，对称轴方程为x＝－（m＋ 2），则f（x）在[－（m＋2），＋∞）上单调递增，所以－（m＋2）≤3，解 得m≥－5.
【答案】 B
【解题技巧】 此类问题要注意两个点：一是函数本身的定义域，二是函数 的单调性.
A
A. （－∞，－3） B. （－∞，5）
C. （3，＋∞） D. （5，＋∞）
D
A. f（x）＝｜x｜ B. f（x）＝－2x＋1
A. [1，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. （－∞，1] D. （－∞，－1]
D
D
A. （0，2）
B. （－2，0）
C. （－∞，－2）∪（0，＋∞）
D. （－∞，0）∪（2，＋∞）
【解析】因为函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，则f（｜k－1｜）＜f （20） ｜k－1｜＜20＝1，则0＜k＜2.
A
A. [0，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. [1，＋∞） D. （－∞，0]
【解析】因为二次函数在定义域内有最大值，所以a＜0.又因为二次函数图像的 对称轴方程为x＝－1，故其减区间是[－1，＋∞）.
A. f（－3）＜f（0）＜f（3） B. f（0）＜f（－3）＜f（3）
C. f（3）＜f（0）＜f（－3） D. f（3）＜f（－3）＜f（0）
B
C
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
C
【解析】因为函数f（x）＝－x2－2x＋3的定义域为[－3，1]，其图像的开口向 下，且对称轴方程为x＝－1，所以函数f（x）＝－x2－2x＋3在[－3，－1]上 单调递增，在[－1，1]上单调递减，故函数f（x）在区间[－3，1]上的增区间是 [－3，－1].
减
（－∞，
－2）
[－3，－1]
三、解答题
10. 求证：函数f（x）＝2x＋3在（－∞，0）上是增函数.
解：任取x1，x2∈（－∞，0）且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝2（x1－x2），
因为x1－x2＜0，所以f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）＝2x＋3在（－∞，0）上是增函数.
11. 已知函数f（x）在R上是单调增函数，且f（6＋a）＞f（a2＋4），求实数 a的取值范围.
解：∵f（x）在R上是单调增函数，且f（6＋a）＞f（a2＋4），
∴6＋a＞a2＋4，
∴a2－a－2＜0，
∴－1＜a＜2，即a∈（－1，2）.
12. 已知函数f（x）＝x2－2x－3在（a＋1，2－a）上单调递增，求实数a的取 值范围.
13. 已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋b在[1，3]上的最大值为6，最小值为2，求实 数a，b的值.

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