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　函数
专题一　函数的概念及性质
3.1　函数的概念及表示方法
重点
了解函数的概念及表示方法，理解函数的两个要素：定义域和对应法则，会求函数的定义域、值域和函数的解析式，会根据函数单调性的定义判断函数的单调性及求函数的单调区间，会根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，了解奇函数和偶函数的性质特征，会利用奇偶性和单调性解决一些综合性的问题，理解实数指数幂和对数的运算，理解指数函数和对数函数的定义和性质，一次函数、二次函数、分段函数及其应用，指数函数、对数函数及其应用.
难点 易错点
函数定义域、值域的求法，函数的表示方法，函数的单调性、奇偶性，分段函数的定义域、值域及图像，判断两个函数是否属于同一函数，利用函数的奇偶性判断函数解析式或求函数值，利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小. 函数的奇偶性，函数图像.
知识点1　函数的概念
1. 一般地，设D是非空实数集，对于D中的每一个x，按照某个确定的对应法则 f，都有唯一确定的实数y与它对应，则称y为x的函数，记作y＝f（x）， x∈D. 其中，x称为函数的自变量，集合D称为函数的定义域.
2. 当x0∈D时，与x0相对应的值y0称为函数在点x0处的函数值，记y0＝f（x0）. 函数值的集合{y｜y＝f（x），x∈D}称为函数的值域.
3. 函数的两个要素：定义域、对应法则.
4. 同一个函数：若两个函数有相同的对应法则，且定义域相同，则这两个函数就 是同一个函数.
知识点2　函数的表示方法
1. 用解析式来表示函数的方法叫作解析法.
2. 用表格来表示两个变量的函数的方法叫作列表法.
3. 用图像来表示函数的方法叫作图像法.
知识点3　分段函数
1. 分段函数：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们 称这样的函数为分段函数.
2. 分段函数的定义域、值域：分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集 合的并集，值域是自变量在各段不同取值范围的函数值集合的并集.
注：分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数.
3. 分段函数的图像：作分段函数的图像时，分别在各段不同取值范围内，根据相 应解析式，作出相应部分的图像.
例1　下列表示同一个函数的是（　　）.
B. f（x）＝lg x3，g（x）＝（lg x）3
D. f（x）＝1，g（x）＝x0
【考查目标】 本题考查同一个函数的概念.
【答案】 C
【解题技巧】 判断两个函数是否属于同一个函数，主要看函数的定义域和对应法 则是否相同，只有定义域与对应法则均相同的函数才是同一个函数.
A. y＝x2与s＝t2
B. f（x）＝2 021与g（x）＝2 022
A
A. {x｜x≠0} B. {x｜x≠－4}
C. {x｜x≠4} D. {x｜x≠±4}
【考查目标】 本题考查函数的定义域.
【解析】 由分母不能为0，得｜x｜－4≠0，故x≠±4，所以函数的定义域为 {x｜x≠±4}.
【答案】 D
【解题技巧】 （1）偶次方根的被开方数为非负数；（2）分式的分母不能为零； （3）零次幂的底数不能为零；（4）对数函数的真数必须大于零.
C
A. {x｜x≠1且x≠－1} B. {x｜－1＜x＜1}
C. {x｜x≠1} D. {x｜x≠－1}
C
【解析】要使函数有意义，必须使x－1≠0，则x≠1.所以函数f（x）的定义域 为{x｜x≠1}.

A. （－∞，0） B. （0，＋∞）
C. （－∞，0] D. [0，＋∞）

B
A. 23 B. 9 C. 3 D. 1
【考查目标】 本题考查分段函数的运算.
【解析】 f（4）＝42＝16，f（0）＝0＋a＝a.若f（4）－f（0）＝7，则有16 －a＝7，解得a＝9.
【答案】 B
A. {x｜x＜－1} B. {x｜x＞1或x＜－2}
C. {x｜x＜－2} D. {x｜x＞2或x＜－1}
B
例4　某市出租车计费方法如下：
路程不超过3 km时，计费8元；
超过3千米但不超过5千米时，超过的部分按3元/km计费；
超过5千米时，超过的部分按2.5元/km计费.
某人乘出租车行驶x km，求计费y（单位：元）与路程x（单位：km）之间的函 数关系式.
【考查目标】 本题考查如何建立函数关系式.
【解题技巧】 求解分段函数的表达式关键是弄清楚在定义域的不同区间上自变量 与因变量的关系.
A. y＝20x＋1（x∈N*） B. y＝21x（x∈N*）
C. y＝19x（x∈N*） D. y＝20x－1（x∈N*）
【解析】由题意可知购买一册图书需花费（20＋20×5％）＝21元，则实付款y （元）与x（册）的函数解析式为y＝21x（x∈N*）.
B
C. f（x）＝3ln x2，g（x）＝6ln x
A
　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　　D
【解析】A，B，C项均表示定义域是[0，1]，值域是[0，2]的函数图像，符合题 意；D项的图像表示的不是y关于x的函数.
D
A. {x｜x≠1且x≠3} B. {x｜x≠1或x≠3}
C. {x｜x≠1} D. {x｜x≠3}
【解析】要使函数有意义，须满足x－1≠0，所以x≠1.故函数f（x）的定义域 为{x｜x≠1}.
A. 14 B. 15 C. 7 D. 6
C
C
A. （1，6） B. （－1，6）
C. （2，－3） D. （3，－2）
A
B
二、填空题
7. 二次函数f（x）过点（1，0）和（3，0），且顶点的纵坐标为－1，则该二次 函数的解析式为 .
【解析】由题可知二次函数图像的对称轴为x＝2，则顶点坐标为（2，－1）， 设二次函数的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3），所以f（2）＝a（2－ 1）（2－3）＝－1，解得a＝1，所以二次函数的解析式为f（x）＝（x－1） （x－3）＝x2－4x＋3.
8. 函数y＝2x＋1在[－1，2]上的值域是 .
【解析】函数y＝2x＋1在[－1，2]上是增函数，当x＝－1时，y＝－1；当x＝2 时，y＝5.所以函数的值域为[－1，5].
f（x）＝x2－4x＋3
[－1，5]
（－∞，－6）∪（6，＋∞）
三、解答题
11. 已知函数f（x）＝x3－2x2＋1，求f（－1），f（0），f（1）的值.
解：∵f（x）＝x3－2x2＋1，
∴f（－1）＝（－1）3－2×（－1）2＋1＝－2，
f（0）＝03－2×02＋1＝1，
f（1）＝13－2×12＋1＝0.
解：当x≥0时，f（x）＝8即3x＋5＝8，解得x＝1，符合题意；
当x＜0时，f（x）＝8即x2－1＝8，解得x＝－3或x＝3，此时x＝－3符合题 意.
综上所述，实数x的值为1或－3.
14. 已知函数f（x）的图像如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛 物线的一部分，写出函数f（x）的定义域和值域.
解：由函数图像，知函数f（x）的定义域为[－2，3]，值域为[－2，2].

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