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(共23张PPT)
　函数
专题一　函数的概念及性质
3.3　函数的奇偶性
知识点1　对称点的坐标
　一般地，设点P为平面直角坐标系内的任意一点，坐标记为（a，b）：
（1）点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b）.
（2）点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）.
（3）点P（a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）.
（4）点P（a，b）关于直线y＝x对称的点的坐标为（b，a）.
（5）点P（a，b）关于直线y＝－x对称的点的坐标为（－b，－a）.
知识点2　奇函数和偶函数的概念及图像特征
1. 设函数f（x）的定义域为数集D：
（1）若对于任意的x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝f（x），则函数f （x）叫作偶函数.
（2）若对于任意的x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝－f（x），则函数f （x）叫作奇函数.
（3）不具有奇偶性的函数叫作非奇非偶函数.
2. 奇函数和偶函数的图像特征
奇函数的图像关于原点中心对称，偶函数的图像关于y轴对称.
3. 用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）判断函数的定义域是否关于原点对称.
（2）若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对 称，则分别计算出f（x）与f（－x）的值.
（3）若f（－x）＝f（x），则函数为偶函数；若f（－x）＝－f（x），则函 数为奇函数.
例1　已知点P与点P'关于y轴对称，若点P的坐标为（3，5），则点P'的坐标为 （　　）.
A. （－3，－5） B. （－3，5）
C. （3，－5） D. （5，3）
【考查目标】 本题考查关于y轴对称的点的坐标.
【解析】 ∵点P与点P'关于y轴对称，∴两个点横坐标互为相反数，纵坐标相 同，则点P'的坐标为（－3，5）.
【答案】 B
【解题技巧】 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）.
A. （－4，－3） B. （－3，4）
C. （4，－3） D. （4，3）
C
例2　（1）（2019年安徽省职教高考真题）下列函数为奇函数的是（　　）.
A. y＝x3＋1 B. y＝x3＋x
C. y＝x2＋1 D. y＝x2＋x
【解析】 （1）对于选项B，f（x）＝x3＋x的定义域为R，关于原点对称.因为 f（－x）＝（－x）3－x＝－x3－x，f（x）＝x3＋x，所以f（－x）＝－f （x），所以f（x）＝x3＋x为奇函数.
【答案】 （2）B
【解析】（2）y＝ cos x为偶函数.
【答案】 （2）B
【解题技巧】 （1）判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图像法.
（2）三角函数中，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
（2）（2020年安徽省职教高考真题）下列函数中，为偶函数的是（　　）.
A. y＝ sin x B. y＝ cos x
C. y＝ sin x＋ cos x D. y＝ sin x cos x
【考查目标】 本题考查函数的奇偶性.
A. y＝x＋1 B. y＝x2－1
C. y＝－x3 D. y＝2x2＋x
A. f（x）＝1－x2 B. f（x）＝x＋1
C. f（x）＝ cos x D. f（x）＝ sin x
【解析】f（x）＝1－x2和f（x）＝ cos x都为偶函数，f（x）＝ sin x为奇函 数，f（x）＝x＋1为非奇非偶函数.
B
B
例3　（2022年安徽省职教高考真题）已知奇函数f（x）在区间[1，2]上的最小 值为3，最大值为4，则f（x）在区间[－2，－1]上（　###　）.
A. 最小值为3，最大值为4 B. 最小值为－4，最大值为－3
C. 最小值为－3，最大值为4 D. 最小值为－4，最大值为3
【考查目标】 本题考查奇函数的性质.
【解析】 因为f（x）是奇函数，所以f（x）的图像关于原点对称，因此f （x）在[－2，－1]上的最小值为－4，最大值为－3.
【答案】 B
A. f（－4）＜f（3）＜f（－2）
B. f（－4）＜f（－2）＜f（3）
C. f（3）＜f（－2）＜f（－4）
D. f（3）＜f（－4）＜f（－2）
A
例4　（2024年安徽省职教高考真题）已知f（x）是R上的奇函数.当x＜0时，f （x）＝x2＋4x.若af（a）＞0，则a的取值范围是（　　）.
A. （－4，0）∪（4，＋∞） B. （－∞，－4）∪（0，4）
C. （－4，0）∪（0，4） D. （－∞，－4）∪（4，＋∞）
【考查目标】 本题考查函数的奇偶性，以及分段函数的相关运算.
【答案】 C
【解析】 当a＜0时，af（a）＝a（a2＋4a）＞0，所以a2＋4a＜0，解得－4 ＜a＜0.当a＞0时，因为f（x）是R上的奇函数，所以f（－a）＝－f （a），又a＞0，所以－a＜0，则f（－a）＝（－a）2＋4×（－a）＝a2－ 4a，所以f（a）＝－a2＋4a，因为af（a）＝a（－a2＋4a）＞0，所以－a2 ＋4a＞0，解得0＜a＜4.当a＝0时，显然不满足af（a）＞0.综上所述，a的 取值范围是（－4，0）∪（0，4）.
【解题技巧】 利用奇函数定义求出x＞0的解析式，再利用分类讨论和解不等式 的方法即可求出解集.本题还可以利用数形结合的思想，画出函数的图像，在图 像上即可找出不等式的解集.
A. －5 B. －3 C. 3 D. 5
A. －2 B. －4 C. 4 D. 2
【解析】当x＞0时，f（x）＝3x－x2，得f（1）＝3－1＝2，又函数f（x） 是奇函数，所以f（－1）＝－f（1）＝－2.
B
A
A. （－1，－2） B. （－2，－1）
C. （2，1） D. （1，－2）
【解析】由题可知函数f（x）的图像关于原点对称，且过点（1，2），则点 （1，2）关于原点的对称点（－1，－2）一定在函数f（x）的图像上.
A
A. 在[－7，－3]上单调递增且有最小值－4
B. 在[－7，－3]上单调递增且有最大值4
C. 在[－7，－3]上单调递减且有最小值－4
D. 在[－7，－3]上单调递减且有最大值4
【解析】因为函数f（x）是偶函数，在[3，7]上单调递增且有最大值4，所以根 据偶函数的性质可知，函数f（x）在[－7，－3]上单调递减且有最大值4.
D
A. f（1）＜f（－2） B. f（1）＜f（2）
C. f（－1）＜f（2） D. f（－2）＜f（－1）
A. f（x）＝1－2x2 B. f（x）＝－x2＋x3
C. f（x）＝x3＋1 D. f（x）＝｜x｜
D
A
B. 2 C. 4
A
二、填空题
6. 已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－4x，f（－1） ＝ .
7. 已知二次函数f（x）＝（m－2）x2＋（m2－3m＋2）x＋2是偶函数，则m ＝ .
8. 已知函数f（x）＝ax3＋bx＋2，若f（2）＝3，则f（－2）＝ .
3
1
1
9. 若函数f（x）和g（x）分别为定义在R上的偶函数和奇函数，满足f（x） －g（x）＝2x2－3x＋1，则f（1）·g（1）＝ .
【解析】函数f（x）和g（x）分别为定义在R上的偶函数和奇函数，满足f （x）－g（x）＝2x2－3x＋1，所以f（－x）－g（－x）＝f（x）＋g （x）＝2（－x）2－3×（－x）＋1，即f（x）＋g（x）＝2x2＋3x＋1，所 以f（x）＝2x2＋1，g（x）＝3x，则f（1）·g（1）＝3×3＝9.
9
11. 设函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且f（1）＝－2.
（1）求f（－1）的值；
解：（1）因为函数f（x）在R上是奇函数，
所以f（－1）＝－f（1）＝2.
（2）若f（a2－3a－5）＞2，求a的取值范围.
解：（2）由函数f（x）在R上是减函数，f（a2－3a－5）＞2＝f（－1），
得a2－3a－5＜－1，解得－1＜a＜4.
故实数a的取值范围为（－1，4）.
12. 已知函数f（x）＝3x3＋2a＋b在[－2b，4]上是奇函数，求a＋b的值.
解：由于奇函数的定义域关于原点对称，
则－2b＝－4，解得b＝2，
又因为f（x）过原点，所以f（0）＝2a＋b＝0，则a＝－1，所以a＋b＝1.

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