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　函数
专题二　指数函数与对数函数
3.6　对数函数
知识点1　对数的概念
1. 一般地，若ab＝N（a＞0且a≠1），那么数b称为以a为底N的对数，记作 b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为真数.
2. 以10为底的对数叫作常用对数，log10N简记为lg N；以无理数e（e＝2.718 28…）为底的对数叫作自然对数，logeN简记为ln N.
3. 对数的性质
（1）loga1＝0，即1的对数等于0；
（2）logaa＝1，即底的对数等于1；
（3）N＞0，即零和负数没有对数.
知识点2　积、商、幂的对数
1. loga（MN）＝logaM＋logaN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）.
3. logaMn＝nlogaM（a＞0且a≠1，M＞0）.
知识点3　对数函数
一般地，形如y＝logax（a＞0且a≠1）的函数称为对数函数.
知识点4　对数函数的图像与性质
底数 a＞1 0＜a＜1
图像
底数 a＞1 0＜a＜1
性质 （1）定义域为（0，＋∞）
（2）值域为R
（3）函数的图像都经过定点（1，0）
（4）都是非奇非偶函数
（5）在（0，＋∞）上是增函数 （5）在（0，＋∞）上是减函数
（6）当x＞1时，y＞0；当0＜x＜ 1时，
y＜0 （6）当x＞1时，y＜0；当0＜x ＜1时，
y＞0
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【考查目标】 本题考查有理数指数幂与对数运算.
【答案】 D
变式训练1
A. 2 B. －1
C. －2 D. －3
A. 2 B. 3 C. －2 D. －3
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【解析】log21.25＋log20.2＝log20.25＝－2.
C
A
A
D. log318－log32＝3
【解析】log318－log32＝log39＝2
A. m－2n＝－1 B. m－2n＝1
C. m＋2n＝1 D. m＋2n＝－1
【解析】2m÷4n＝log24 2m÷22n＝2 2m－2n＝2 m－2n＝1.
D
B
例2　计算：lg25＋lg 4·lg 5＋lg22.
【考查目标】 本题考查积、商、幂的对数公式的应用.
【解析】 原式＝lg25＋2lg 2·lg 5＋lg22
＝（lg 5＋lg 2）2
＝lg210
＝1.
注：lg 2＋lg 5＝1.
A. 8 B. 4 C. －4
B
A. {x｜x≥2}
【考查目标】 本题考查利用对数函数和二次根式的性质求函数定义域.
【答案】 D
【解题技巧】 注意要让函数解析式中的每一项都有意义.
D
例4　（2020年安徽省职教高考真题）已知函数f（x）＝log0.3x，则下列关系式 正确的是（　　）.
【考查目标】 本题考查利用对数函数的单调性比较大小.
【答案】 B
A. 1.20.2＞1.20.3
B. 0.21.3＞0.21.2
C. log1.20.2＞log1.20.3
D. log0.20.3＞log0.21.3
【解析】选项A，函数y＝1.2x在R上单调递增，所以1.20.2＜1.20.3；选项B，函 数y＝0.2x在R上单调递减，所以0.21.3＜0.21.2；选项C，函数y＝log1.2x在 （0，＋∞）上单调递增，所以log1.20.2＜log1.20.3；选项D，函数y＝log0.2x在 （0，＋∞）上单调递减，所以log0.20.3＞log0.21.3.
D
　　　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　D
【考查目标】 本题考查指数函数、对数函数的图像及性质.
【答案】 C
变式训练5
A B C D
【解析】由指数函数y＝（2a－1）x是R上的增函数可知，2a－1＞1，解得a＞ 1.则函数y＝loga（x＋1）也是增函数，又因为x＋1＞0，解得x＞－1，所以函 数y＝loga（x＋1）的定义域为（－1，＋∞）.
A
　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　　D
A
　　　　A　　　　　 　B　　　　　　C　　　　　 D
【解析】由一次函数y＝ax＋b的图像得a＝2，b＝2，所以指数函数y＝ax和 对数函数y＝logax在定义域上都单调递增.
C
一、选择题
A. 12 B. 10
C. 9 D. 8
【解析】原式＝2lg 2＋2lg 5＋3＋22＝2lg 10＋7＝9.
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【解析】原式＝3＋2＝5.
C
B
A. 1.2 B. 3 C. 4 D. 5
A. （－∞，2）∪（5，＋∞） B. （2，3）∪（3，5）
C. （2，5） D. （3，4）
A. x＋y＝0 B. xy＝1 C. x－y＝0 D. xy＝2
B
B
B
A. （1，2） B. （2，＋∞）
C. （1，＋∞） D. （1，2）∪（2，＋∞）
A. lg 4＋lg 6＝lg 24 B. 3log273＝1
C. log412－log43＝1 D. log26－1＝2
B
D
B
A. 2 B. 4 C. 5 D. 8
【解析】mlog25＝1 log25m＝1 5m＝21＝2.
A
A. a－2 B. 5a－2
C. 3a－（1＋a）2 D. 3a－a2
A. －2 B. 3 C. －3或2 D. 3或－2
A
D
A. 1.90.4＞1.90.5 B. log1.90.4＜log1.90.5
C. 0.90.4＜0.90.5 D. log0.90.4＜log0.90.5
A. x轴 B. y轴 C. 直线y＝x D. 坐标原点
B
B
A. －3 B. 3
C
D
二、填空题
17. 已知10x＝2，y＝lg 3，则lg 24＝ .（用x，y表示）
18. log6[log4（log381）]＝ .
19. 已知em＝3，ln 2＝n，则e2m＋n＝ .
【解析】由ln 2＝n，得en＝2，则e2m＋n＝（em）2·en＝32×2＝18.



22. 已知函数f（10x）＝x，则f（25）＝ .
23. 若10m＝25，10n＝2，则m＋2n＝ .
【解析】因为10m＝25，10n＝2，所以m＝lg 25，n＝lg 2，所以m＋2n＝lg 25 ＋2lg 2＝lg 25＋lg 4＝lg 100＝2.
2lg 5
2
25. 不等式log3（2x－4）＞1的解集为 .（用区间表示）
＜
＜

27. 计算下列各式：
（1）lg25＋lg 2lg 50－lg 2；
解：（1）原式＝lg25＋lg 2（lg 50－1）
＝lg25＋lg 2lg 5
＝lg 5（lg 5＋lg 2）
＝lg 5.

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