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(共54张PPT)
概率与统计
专题一　概率与计数原理
9.1　概率与计数原理
重点
了解随机事件的相关概念：必然现象、随机现象、随机试验、随机事件、必然 事件、不可能事件、基本事件、样本空间、样本点等，了解频率与概率的相关 概念：频数、频率、概率，掌握概率的简单性质，了解古典概型所具备的条 件，会求随机事件所包含的样本点个数，掌握古典概型的概率公式，了解互斥 事件的概念及其概率的求法；掌握两类计数原理，并能利用两类计数原理解决 一些简单的实际问题；了解总体、个体、样本和样本容量的概念，了解用简单 随机抽样、系统抽样、分层抽样获取样本需满足的条件，并掌握简单随机抽 样、系统抽样、分层抽样的方法和步骤；掌握用样本的频率分布估计总体的方 法，即频率分布直方图，掌握用样本的均值、方差或标准差估计总体的方法.
难点 易错点
求随机事件所包含的样本点个数，古典概型概 率的求法.抽样的三种方法，即简单随机抽样、 系统抽样和分层抽样的相关知识.用样本的频率 分布估计总体，即频率分布直方图，用样本的 均值、方差或标准差估计总体. 样本的标准差、方差公式.
知识点1　随机事件的相关概念
1. 根据现象发生的结果是否可以准确预测，常把现象分为两类，即必然现象和随 机现象.在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象称为必然现象，发生的 结果事先不能确定的现象称为随机现象.
2. 在相同条件下，对随机现象进行的观察试验称为随机试验，简称为试验.
3. 随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母ω表 示.所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母Ω表示.
4. 如果随机试验的样本空间是Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称为随机事件， 简称为事件，常用大写字母A，B，C，…表示，事件中的每一个元素都称为基 本事件.
5. 样本空间Ω是其自身的子集，因此，Ω也是一个事件，又因为Ω包含所有的样 本点，每次试验无论哪个样本点出现，Ω都必然发生，因此，Ω称为必然事件.
6. 也是Ω的子集，可以看作一个事件，但由于空集 不包含任何样本点，在每 次试验中都不会发生，因此，空集 称为不可能事件.
A
知识点4　互斥事件
1. 在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.
2. 一般地，当事件C发生则事件A与事件B中至少有一个会发生，称事件C为事 件A与事件B的和事件，记作C＝A∪B.
3. 互斥事件的概率加法公式：P（A∪B）＝P（A）＋P（　）.
B
知识点5　计数原理
1. 分类计数原理（加法原理）
（1）分类计数原理的定义
一般地，如果完成一件事有n类方式.第1类方式有k1种方法，第2类方式有k2种方 法，……，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有N＝k1＋k2＋… ＋kn（种），这种计数原理称为分类计数原理.
（2）分类计数原理的特点
完成一件事有n类不同的方式，用每一类方式中的每一种方法都可以独立完成这 件事，将这n类方式中的方法数相加，即得能完成这件事的方法数.
2. 分步计数原理（乘法原理）
（1）分步计数原理的定义
一般地，如果完成一件事，可以分成n个步骤，完成第1个步骤有k1种方法，完成 第2个步骤有k2种方法，……，完成第n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤 都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N＝k1k2…kn（种）， 这种计数原理称为分步计数原理.
（2）分步计数原理的特点
完成一件事需要n个步骤，缺一不可，完成每一步有若干种方法，把每一步的方 法数相乘，就可以得到完成这件事的方法数.
例1　指出下列事件中的必然事件、不可能事件和随机事件.
（1）一个实心铁球掉入水池，铁球下沉；
（2）打开电视机，电视里正在播广告；
（3）两个锐角互余；
（4）任意取两个正数，和大于零；
（5）铁在沸水中会熔化.
【考查目标】 本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
【解析】 （1）（4）是必然事件，（2）（3）是随机事件，（5）是不可能 事件.
【解题技巧】 正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题的关键.
A. {出现的点数是1} B. {出现的点数不大于2}
C. {出现的点数是奇数} D. {出现的点数是3的整数倍}
【解析】任意抛掷一颗质地均匀的骰子，可能出现的点数有1，2，3，4，5，6， 共有6个基本事件.{出现的点数不大于2}包含2个基本事件，{出现的点数是奇数} 包含3个基本事件，{出现的点数是3的整数倍}包含2个基本事件.
A
A. 学校在每日体温测量中，某学生的体温为36.3 ℃
B. 某学生练习定点投篮，第二次投篮没有投中
C. 在除夕的22时，随机拨打朋友的电话，朋友在看春节联欢晚会
D. 一个不透明的袋子中有两个红球、三个黄球，从中摸取三个球，摸出的球中 有黄球
【解析】 根据随机事件的概念知，选项A，B，C都是随机事件；对于D， 由于袋子中只有两个红球，从中任意摸取三个球，至少摸到一个黄球，这是 一个必然事件.
D
例2　某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下表所示.
（1）计算该篮球运动员的投中频率，并填入表格；（保留到小数点后第2位）
【解析】 （1）
投篮次数n 8 10 12 9 13 16
投中次数m 6 8 9 7 10 12
投篮次数n 8 10 12 9 13 16
投中次数m 6 8 9 7 10 12
0.75
0.80
0.75
0.78
0.77
0.75
（2）求该篮球运动员投中的概率.
A. 12 B. 9 C. 4 D. 3
A
（2）某地区为了解居民对预防电信诈骗宣传教育的效果，选择了6个片区进行随 机调查，调查结果如下表：
片区 1 2 3 4 5 6
被调查人数 500 700 900 a 1 500 1 800
不知晓人数 10 14 16 17 b 33
不知晓率 0.02 0.02 0.018 0.017 0.018 c
①请补全表中的数据：a＝ ，b＝ ，c＝ .（近似结果 保留三位小数）
1 000
27
0.018
A. 0.02 B. 0.019 C. 0.017 D. 0.018
D
例3　（2020年安徽省职教高考真题）若3个正整数可作为一个直角三角形三条边 的边长，则称这3个数是一组勾股数.关于勾股数的描述早在中国古代的《周髀算 经》中就有所记载.从4，6，8，10中任取3个不同的数，则它们构成一组勾股数 的概率是（　　）.
【考查目标】 本题考查古典概型的概率计算.
【答案】 C
变式训练3
（1）（2023年安徽省职教高考真题）古代数学家常用小石子在沙滩上摆成各种 形状来研究数，如下图中的小石子个数1，4，9，16，…被称为“正方形数”.
B
（2）（2024年安徽省职教高考真题）意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究 兔子繁殖问题时，得到数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…
B
例4　（2021年安徽省职教高考真题）袋中共有8个除了颜色外完全相同的小球， 其中2个红色球，3个白色球，3个黑色球.现从袋中任取一个球，则取到的球不是 黑色球的概率为（　　）.
【考查目标】 本题考查古典概型的概率计算.
【答案】 C
【解题技巧】 如果事件A、事件B和事件C两两互斥，则P（A∪B∪C）＝P （A）＋P（B）＋P（　）.
C
C
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【考查目标】 本题考查互斥事件的应用.
【答案】 C
A. 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张
A
例6　甲、乙两中等职业学校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校 1男2女.
（1）若从甲中等职业学校和乙中等职业学校报名的教师中任选1名，共有多少种 不同的选择方法？
【解析】 （1）从甲中等职业学校和乙中等职业学校报名的教师中任选1名，可 以分成两类方式来完成：第一类方式是从甲中等职业学校选择一名教师，有k1＝ 3种选法；第二类方式是从乙中等职业学校选择一名教师，有k2＝3种选法.根据 分类计数原理得N＝k1＋k2＝3＋3＝6（种），故从甲中等职业学校和乙中等职 业学校报名的教师中任选1名，共有6种不同的选择方法.
（2）若从甲中等职业学校和乙中等职业学校报名的教师中各选1名，共有多少种 不同的选择方法？
【解析】（2）从甲中等职业学校和乙中等职业学校报名的教师中各选1名，可以 分两步完成：第一步是从甲中等职业学校选择一名教师，有k1＝3种选法；第二 步是从乙中等职业学校选择一名教师，有k2＝3种选法.根据分步计数原理得N ＝k1k2＝3×3＝9（种），故从甲中等职业学校和乙中等职业学校报名的教师中 各选1名，共有9种不同的选择方法.
（2）区分“分步”“分类”的依据在于事件能否“一次性”完成，若能“一次 性”完成，则不需要分步，只需要分类；否则就要分步处理.
注：涉及既有分步又有分类的题目需要仔细审题，准确判断，不要混淆.
【考查目标】 本题考查计数原理.
【解题技巧】 （1）首先分析事件属于分类计数还是分步计数，再根据相关的计 数原理来解决问题.
A. 1 B. 5 C. 10 D. 25
A. 8 B. 9 C. 10 D. 20
C
C
A. 某事件A发生的概率为P（A）＝1.2
B. 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C. 小概率事件就是不可能事件
D. 有一批产品，已知次品率为10％，则从中任取100件产品，必有10件次品
【解析】对于任意事件A，都有0≤P（A）≤1，A项错误；必然事件的概率为 1，即P（Ω）＝1，不可能事件的概率为0，即P（ ）＝0，B项正确；小概率 事件是指这个事件发生的可能性很小，C项错误；虽然一批产品的次品率为10％，但从中任取100件产品，未必恰好有10件次品.
B
C
A. 6种 B. 7种
C. 12种 D. 18种
【解析】从中任选1个压轴表演，有三类方式：第一类是从3个歌舞类节目中任选 1个，有k1＝3种选法；第二类是从2个小品类节目中任选1个，有k2＝2种选法； 第三类是从2个相声类节目中任选1个，有k3＝2种选法.根据分类计数原理得N ＝k1＋k2＋k3＝3＋2＋2＝7（种），所以从3个歌舞类节目、2个小品类节目和2 个相声类节目中任选1个压轴表演，共有7种不同的选法.
B
4. （2025届安徽省“江淮十校”职教高考高三摸底联考）目前青少年手机使用问 题日益突出，某中等职业学校为了了解全校学生手机使用情况，随机抽查了50名 学生暑假中某一天累计使用手机时间（单位：小时），数据如下：
累计使用手机时间/小时 （0，1] （1，3] （3，8] （8， 12] （12， 24]
人数 12 13 15 8 2
C
A. 事件B＝{两次正面都向上}
B. 事件C＝{两次反面都向上 }
C. 事件D＝{只有1次反面向上}
D. 事件E＝{一次反面向上，一次正面向上}
【解析】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，样本空间Ω＝{（正，正）， （正，反），（反，正），（反，反）}，事件A＝{至少出现一次反面向上}＝ {（正，反），（反，正），（反，反）}，则该事件的互斥事件是事件B＝{两 次正面都向上}＝{（正，正）}.
A
二、填空题
6. 从1，2，3，4四个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的两位 数大于30的概率为 .
7. 从5名男生、3名女生中随机选取两名参加社团活动，则选到的两名学生中既有 男生又有女生的种数为 .
8. 抛掷一颗质地均匀的骰子，则事件C＝{点数为奇数或2}的概率为

15
三、解答题
9. 现有一个质地均匀的圆形小铁片，一面涂上红色，一面涂上绿色，连续随机地 抛掷这个圆形小铁片两次，在这个试验中，“红色面向上”简记为“红”，“绿 色面向上”简记为“绿”，如两次红色面向上记为（红，红）.
（1）请写出这个试验的样本空间；
解：（1）试验的样本空间Ω＝{（红，红），（红，绿），（绿，红），（绿， 绿）}.
（2）写出一对互斥事件；
解：（2）事件A＝{两次红色面向上}＝{（红，红）}与事件B＝{至少有一次绿 色面向上}＝{（绿，红），（绿，绿），（红，绿）}互斥.
（3）求“只有一次绿色面向上”的概率.
10. 小丽有20张质地、大小相同的卡片，上面分别写有1～20这20个数字，她把卡 片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下.
（1）完成上表；（保留到小数点后第2位）
（2）频率随着试验次数的增加，稳定于什么值左右？
解：（2）频率随着试验次数的增加，稳定在0.30左右.
0.25
0.33
0.28
0.33
0.32
0.30
0.30
0.31
0.30
0.30
（3）从试验数据看，估计从盒中抽出一张卡片是3的倍数的概率是多少？
解：（3）大量反复试验下频率的稳定值即概率，故从盒中抽出一张卡片是3的倍 数的概率估计是0.30.
11. 在一个盒子中装有编号为1到10的10个相同的小球，现从中任取一球，求下列 事件的概率.
（1）事件A＝{球的编号数不大于4}；
解：从装有编号为1到10的10个相同的小球的盒子中，任取一球，样本空间Ω包 含的样本点为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，样本点总数为10.
（2）事件B＝{球的编号数为3的倍数}；
（3）事件C＝{球的编号数为2的倍数或球的编号数小于2}.
解：（3）球的编号数为2的倍数有5个样本点：2，4，6，8，10，
12. 体育测试成绩分为四个等级：优秀、良好、合格和不合格.某班级50名学生参 加体育测试的成绩如下表所示.
等级 优秀 良好 合格 不合格
人数 5 19 23 3
（1）从该班级中任意抽取1名学生，求这名学生的体育测试成绩为“良好”或 “合格”的概率.
（2）体育测试成绩为“优秀”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生记为b1，b2. 现从这5名学生中任选2人参加学校的体育比赛.
①列出所有等可能的样本点；
解：（2）①从5名体育测试成绩为“优秀”的学生中任选2人可能发生的等可能 的样本点有a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2.
②求参赛学生中恰有1名女生的概率.
②由①知样本空间Ω包含的样本点总数n＝10，参赛学生中恰有1名女生包含的 样本点个数m＝6，
13. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，求：
（1）这个随机试验的样本点总数n；
解：（1）先后抛掷一枚骰子2次，样本空间Ω包含的样本点为（1，1），（1， 2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2， 3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3， 4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4， 5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5， 6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），样本 点总数n＝36.
（2）事件A＝{向上的点数之和为8}包含的样本点个数m；
解：（2）由（1）知事件A＝{向上的点数之和为8}包含的样本点有（2，6）， （3，5），（4，4），（5，3），（6，2），样本点个数m＝5.
（3）事件A＝{向上的点数之和为8}的概率.

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