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集合、区间与充要条件
专题　集合、区间与充要条件
1.2　区间
知识点1　区间
1. 区间：一般地，由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点 称为区间端点.
2. 设a，b∈R，且a＜b.
（1）闭区间：满足不等式a≤x≤b的实数x的集合称为闭区间，表示为[a，b].
（2）开区间：满足不等式a＜x＜b的实数x的集合称为开区间，表示为（a， b）.
（3）左闭右开区间：满足不等式a≤x＜b的实数x的集合称为左闭右开区间， 表示为[a，b）.
（4）左开右闭区间：满足不等式a＜x≤b的实数x的集合称为左开右闭区间， 表示为（a，b].
上述区间表示的集合及其数轴表示可归纳为
集合表示 数轴表示 区间表示
{x｜a≤x≤b} [a，b]
{x｜a＜x＜b} （a，b）
{x｜a≤x＜b} [a，b）
{x｜a＜x≤b} （a，b]
知识点2　无穷区间
1. 集合{x｜x≥a}，用区间表示为[a，＋∞）.
2. 集合{x｜x＞a}，用区间表示为（a，＋∞）.
3. 集合{x｜x≤b}，用区间表示为（－∞，b].
4. 集合{x｜x＜b}，用区间表示为（－∞，b）.
上述区间表示的集合及其数轴表示可归纳为
集合表示 数轴表示 区间表示
{x｜x≥a} [a，＋∞）
{x｜x＞a} （a，＋∞）
{x｜x≤b} （－∞，b]
{x｜x＜b} （－∞，b）
R （－∞，＋∞）
例1　已知集合A＝{x｜x≤－2或1＜x≤3}，则集合A用区间表示为（　　）.
A. （－∞，－2）∪（1，3] B. （－∞，－2）∪（1，3）
C. （－∞，－2]∪（1，3] D. （－∞，－2]∪[1，3）
【考查目标】 本题考查区间的概念和集合的区间表示.
【解析】 对于集合A＝{x｜x≤－2或1＜x≤3}，集合{x｜x≤－2}是个无穷区 间，集合{x｜1＜x≤3}是左开右闭区间，故集合A用区间表示为
（－∞，－2]∪（1，3].
【答案】 C
【解题技巧】 用区间表示集合时，要特别注意区间开、闭的问题，而且正、负无 穷大表示区间端点时必须用小括号.区间左端点数要小于其右端点数，中间用逗 号隔开；集合中包含区间端点的，在区间中用中括号表示，集合中不包含区间端 点的，在区间中用小括号表示；无穷区间的“－∞”在左端，“＋∞”在右端.
【解析】集合{x｜0≤x＜4}是左闭右开区间，集合{x｜x＞5}是无穷区间，故 集合A用区间表示为[0，4）∪（5，＋∞）.
D
例2　设全集U＝（－5，8]，集合A＝（－∞，5），集合B＝[3，＋∞）.求：
（1）A∩B；
【解析】 （1）A∩B＝（－∞，5）∩[3，＋∞）＝[3，5）.
（2）A∪B；
【解析】（2）A∪B＝（－∞，5）∪[3，＋∞）＝（－∞，＋∞）＝R.
（3） U（A∩B）.
【解析】（3） U（A∩B）＝（－5，3）∪[5，8].
【考查目标】 本题考查集合的交集、并集和补集及区间表示.
【解题技巧】 当全集不是全体实数时，求补集时要注意区间左右端点的数和所用 的括号；求交集时，要找出它们的公共部分；求并集时，要注意相同的元素不能 重复出现；求补集时，要注意（A∩B）∪ U（A∩B）＝U，（A∩B）∩ U （A∩B）＝ .
变式训练2
已知全集U＝（－4，6]，集合A＝（－2，4]，集合B＝（3，＋∞）.求：
（1）A∩B；
解：（1）A∩B＝（3，4].
（2）A∪B；
解：（2）A∪B＝（－2，＋∞）.
（3） U（A∩B）.
解：（3） U（A∩B）＝（－4，3]∪（4，6].
例3　已知全集U＝R，集合A＝[－5，3），集合B＝（－2，4].利用数轴求：
（1）A∩B；
【解析】 集合A与集合B的数轴表示如图所示.
（1）A∩B＝[－5，3）∩（－2，4]＝（－2，3）.
（2）A∪B；
【解析】（2）A∪B＝[－5，3）∪（－2，4]＝[－5，4].
（3） UA；
【解析】（3） UA＝（－∞，－5）∪[3，＋∞）.
（4）（ UA）∪（ UB）.
【解析】（4）∵ UA＝（－∞，－5）∪[3，＋∞）， UB＝（－∞，－2]∪ （4，＋∞），
∴（ UA）∪（ UB）＝（－∞，－2]∪[3，＋∞）.
【考查目标】 本题考查利用数轴求集合的交集、并集和补集.
【解题技巧】 在数轴上表示区间时，一定要注意左、右端点表示的数的位置是用 实心圆点，还是空心圆圈.区间中的中括号表示包括这个数，用实心圆点表示； 小括号表示不包括这个数，用空心圆圈表示.写区间时，要求小数在左，大数在 右，中间用逗号隔开.
变式训练3
已知全集U＝R，集合A＝[－2，0），集合B＝[0，5].利用数轴求：
（1）A∩B；
解：数轴略.
（1）A∩B＝ .
（2）A∪B；
解：（2）A∪B＝[－2，5].
（3）（ UA）∩（ UB）.
解：（3）∵ UA＝（－∞，－2）∪[0，＋∞）， UB＝（－∞，0）∪（5，＋ ∞），
∴（ UA）∩（ UB）＝（－∞，－2）∪（5，＋∞）.
例4　已知集合A＝（－1，1），集合B＝（－∞，a），且A B，求实数a的 取值范围.
【考查目标】 本题考查集合之间的关系及集合的区间表示.
【解析】 因为集合A＝（－1，1），集合B＝（－∞，a），A B，所以 a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞）.
【解题技巧】 求集合关系中参数的取值范围时，一般采用数形结合和分类讨论的 数学思想.
变式训练4
已知集合A＝{x｜x2－x－12≤0}，集合B＝{x｜m－1≤x≤1－m}，若A∩B ＝B，用区间的形式表示集合A和集合B，并求实数m的取值范围.
解：由题意得，集合A＝{x｜－3≤x≤4}＝[－3，4]，集合B＝[m－1，1－m].
因为A∩B＝B，所以集合B是集合A的子集，根据子集的定义，得
①当集合B＝ 时，即m－1＞1－m，得m＞1，满足条件；
解得－2≤m≤1.
综上所述，实数m的取值范围为[－2，＋∞）.
A. （－∞，60） B. （－∞，60]
C. （0，60） D. [0，60）
【解析】该成绩区间包含0分不包含60分，为左闭右开区间.
D
C. （－∞，2]
A. （1，4） B. （2，3）
C. [2，3） D. [2，4]
【解析】因为集合A＝（1，3），集合B＝[2，4），所以A∩B＝[2，3）.
B
C
A. （－∞，－2） B. （－∞，4]
C. （－2，2） D. （－∞，4）
【解析】根据区间的概念和并集运算的性质可知，A∪B＝（－∞，4].
A. （－∞，＋∞） B. （－∞，－1]
C. [－1，＋∞） D. （－∞，－1]∪[1，＋∞）
A. －3 B. 0 C. 3 D. 0或3
B
A
A
A. {1，2，3，4}＝[1，4]
B. 方程x2－1＝0的解集为[－1，1]
C. 集合{x｜x∈R且x≠1}用区间表示为（－∞，1）∪（1，＋∞）
D. 集合{x｜1＜x＜5且x≠2}用区间表示为（1，5）
【解析】集合{1，2，3，4}表示含有“1，2，3，4”四个元素的有限数集，区间 [1，4]表示{x｜1≤x≤4}这个无限数集，所以两个集合不是同一个集合，A项错 误；方程x2－1＝0的解为x1＝－1，x2＝1，用集合表示为{－1，1}，B项错误； 集合{x｜x∈R且x≠1}用区间表示为（－∞，1）∪（1，＋∞），C项正确； 集合{x｜1＜x＜5且x≠2}用区间表示为（1，2）∪（2，5），D项错误.
C
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【解析】解不等式得x≤3－2a，由题意得3－2a＝1，故a＝1.
C
A. （0，＋∞），（0，＋∞） B. （0，＋∞），[0，＋∞）
C. [0，＋∞），（0，＋∞） D. [0，＋∞），[0，＋∞）
【解析】当k＞0，b＞0时，一次函数图像经过第一、二、三象限；当k＞0，b ＝0时，一次函数图像经过第一、三象限；当k＝0，b＝0时，一次函数图像即 为x轴；当k＝0，b＞0时，一次函数图像经过第一、二象限.综上所述， k≥0，b≥0.
D
二、填空题
10. 区间（－2，0）∪（0，＋∞）用集合表示为 ；集 合{x｜－1＜x≤2}用区间表示为 .
【解析】因为全集U＝（－4，5），集合A＝[－2，2），所以 UA＝
（－4，－2）∪[2，5）.
{x｜x＞－2且x≠0}
（－1，2]
（－4，－2）
∪[2，5）
12. 若集合A＝（3，5），集合B＝[x，7），A∩B＝[x，5），则实数x的取值 范围是 .（用区间表示）
【解析】画数轴再结合交集的性质，可得实数x的取值范围是（3，5）.
13. 集合A＝{x｜x≤－2或0＜x＜1}用区间表示为 .
14. 不等式2x－5≥4x＋7的解集可用区间表示为 .
（3，5）
（－∞，－2]∪（0，1）
（－∞，－6]
解①得x＞2，解②得x≤6；
取其交集，故不等式组的解集为{x｜2＜x≤6}，用区间表示为（2，6].
16. 设全集U＝{x｜－5≤x＜10}，集合A＝（－1，2]，集合B＝[0，4），用区 间表示：
（1）A∩B；
解：由题意得全集U＝[－5，10），集合A＝（－1，2]，集合B＝[0，4），UA＝[－5，－1]∪（2，10）， UB＝[－5，0）∪[4，10）.
（1）A∩B＝[0，2].
（2）A∪B；
解：（2）A∪B＝（－1，4）.
（3）（ UA）∪（ UB）；
解：（3）（ UA）∪（ UB）＝[－5，0）∪（2，10）.
（4）（ UA）∩（ UB）.
解：（4）（ UA）∩（ UB）＝[－5，－1]∪[4，10）.
17. 已知集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，集合B＝{x｜1－a＜x≤3a＋1}.
（1）当a＝1时，用区间表示A∩B；
解：（1）集合A＝{x｜x2－x－6≤0}＝[－2，3]，
当a＝1时，集合B＝（0，4]，
故A∩B＝（0，3].
（2）若B A，求实数a的取值范围并用区间表示.
解：（2）①当集合B＝ 时，1－a≥3a＋1，解得a≤0.
解①得x＞3，解②得x＜a－2.
又因为不等式组的解集为空集，由数轴图可知，a－2≤3，所以a≤5，所以实 数a的取值范围用区间表示为（－∞，5].
19. 已知集合A＝[－4，4]，集合B＝[a，4]，若A∪B＝B，求实数a的取值范 围并用区间表示.
解：∵A∪B＝B，∴A B. 由题意，知a≤－4，故实数a的取值范围为
（－∞，－4].

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