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集合、区间与充要条件
专题　集合、区间与充要条件
1.3　充要条件
知识点1　充分不必要条件
　若由条件p成立推出结论q成立，则把条件p叫作结论q的充分条件，记作 p q.在p q的情况下，p /　q，则把条件p叫作结论q的充分不必要条件.
知识点2　必要不充分条件
　若由结论q成立推出条件p成立，则把条件p叫作结论q的必要条件，记作 p q.在p q的情况下，p /　q，则把条件p叫作结论q的必要不充分条件.
知识点3　充要条件
　若p q且p q，则把条件p叫作结论q的充要条件，记作p q.
注：如果p /　q，且q /　p，则p是q的既不充分也不必要条件.
例1　（2023年安徽省职教高考真题）“x＝y”是“｜x｜＝｜y｜”的 （　　）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考查目标】 本题考查条件的判断.
【解析】 由“x＝y”可推出“｜x｜＝｜y｜”成立；而由“｜x｜＝｜y｜” 可推出“x＝y”或“x＝－y”成立，故“x＝y”是“｜x｜＝｜y｜”的充 分不必要条件.
【答案】 A
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由x＝1可以推出x＞0，而x＞0不可以推出x＝1，故“x＝1”是“x ＞0”的充分条件.
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由a＞1能推出a2＞1，而由a2＞1得出a＞1或a＜－1.所以“a＞1”是 “a2＞1”的充分条件.
A
A
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为x＝2可以推出－1＜x≤3，而－1＜x≤3不可以推出x＝2，所以 “x＝2”是“－1＜x≤3”的充分条件.
A
例2　指出下列各组命题中的p是q的什么条件.
（1）p：x2－1＝0，q：｜x｜－1＝0；
【解析】 根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的定义进行推 理判断.
（1）解x2－1＝0，得x＝±1；解｜x｜－1＝0，得x＝±1，所以p是q的充要 条件.
（2）p：0≤a－1＜2，q：0≤a＜4；
【解析】 （2）0≤a－1＜2 1≤a＜3，因为1≤a＜3 0≤a＜4，但0≤a＜ 4 /　1≤a＜3，所以p是q的充分不必要条件.
（3）p：a，b是实数且a＞b，q：a2＞b2；
【解析】 （3）a，b是实数且a＞b /　a2＞b2，且a2＞b2 /　a，b是实数且 a＞b，所以p是q的既不充分也不必要条件.
（4）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形.
【解析】 （4）等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定是等腰三角 形，故p是q的必要不充分条件.
【考查目标】 本题考查条件判断.
【解题技巧】 在进行充分条件与必要条件的判断时，若p是q的充分条件，则 p q；若p是q的必要条件，则p q；若p是q的充要条件，则p q；若p是 q的既不充分也不必要条件，则p /　q且q /　p.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为a，b是偶数，两个偶数的和一定是偶数，所以“a，b是偶数” 能推出“a＋b是偶数”；如果两个数的和是偶数，那么这两个数可以都是偶数 也可以都是奇数，所以“a，b是偶数”是“a＋b是偶数”的充分不必要条件.
A
（2）指出下列各组命题中条件p是结论q的什么条件.
①p：｜x｜＞1，q：x＞1；
解：①解｜x｜＞1，得x＞1或x＜－1，即｜x｜＞1 /x＞1，但x＞1 ｜x｜ ＞1，
所以p是q的必要不充分条件.
②p：m≥2，q：方程x2＋2x＋m＝0无实数解；
解：②当方程x2＋2x＋m＝0无实数解时，Δ＜0，即4－4m＜0，解得m＞1.因 为m≥2 m＞1，但m＞1 /m≥2，所以p是q的充分不必要条件.
例3　（2024年安徽省职教高考真题）“x＞2”是“x＞1”的（　　）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考查目标】 本题考查条件的判断.
【解析】 当x＞2时，一定有x＞1；但当x＞1时，不一定有x＞2.故“x＞2” 是“x＞1”的充分不必要条件.
【答案】 A
【解题技巧】 充要条件可按照集合范围的大小和元素数量的多少来理解.
（1）充分条件
从集合范围角度：若A是B的充分不必要条件，则A所对应的集合是B所对应集 合的真子集，即A B. 这意味着A的范围比B小，A中的元素都在B中，但B中 存在一些元素不在A中.从元素数量角度：若A是B的充分不必要条件，则A集合 中的元素数量比B集合中的元素数量少.
（2）必要条件
从集合范围角度：若A是B的必要不充分条件，则B所对应的集合是A所对应集 合的真子集，即B A. 也就是说B的范围比A小，B中的元素都在A中，但A中 存在一些元素不在B中.从元素数量角度：若A是B的必要不充分条件，则B集合 中的元素数量比A集合中的元素数量少.
即判断充要条件可以利用“从小范围到大范围”“从数量少到数量多”的方法.
注：【充要条件的解题口诀】充分条件前推后，必要条件后推前，充要条件 两头推.
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为A，B是两个非空集合，且B A，由子集的概念可知， x∈B x∈A，反之则不确定，所以“x∈A”是“x∈B”的必要条件.
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
【解析】因为集合B＝（0，2]中的元素一定在集合A＝（0，3]中，反之则不一 定，所以“n∈A”是“n∈B”的必要不充分条件.
（3）已知集合A＝{x｜x＞2m2－4}，集合B＝{x｜－2＜x＜2}.若“x∈A” 是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B A，即2m2－4≤ －2，解得－1≤m≤1，所以实数m的取值范围为[－1，1].
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为x＝2 ｜x｜＝2，｜x｜＝2 x＝±2，即｜x｜＝2 /x＝2，所 以“x＝2”是“｜x｜＝2”的充分不必要条件.
A
A. [1，3] B. [2，3]
C. （1，3） D. （2，3）
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为x＞1 /x＞6，而x＞6 x＞1，所以“x＞1”是“x＞6”的必要 不充分条件.
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由a－b＝0，得a＝b，由a2－b2＝0，得a＝±b，所以“a－b＝0” 是“a2－b2＝0”的充分条件.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】当a＞0，b＞0时，ab＞0，则a＞0，b＞0 /ab＜0；当ab＜0时，a ＞0，b＜0或a＜0，b＞0，则ab＜0 /a＞0，b＞0，所以“a＞0，b＞0”是 “ab＜0”的既不充分也不必要条件.
A
D
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由四边形ABCD是菱形可得到四边形ABCD的四条边相等，但反过来却 不成立，故选A.
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为（a－1）2＋｜1－b｜2＝0，所以a＝b＝1，所以ab＝1，满足充 分条件；当a＝b＝－1时，满足ab＝1，但（a－1）2＋｜1－b｜2≠0，不满足 必要条件.所以“（a－1）2＋｜1－b｜2＝0”是“ab＝1”的充分不必要条件.
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
二、填空题
12. “x＞3”的 条件是“x＞4”.（填“充分不必要”“必要不 充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
【解析】当x＞4时，一定有x＞3；但当x＞3时，不一定有x＞4.故“x＞4”是 “x＞3”的充分不必要条件，即“x＞3”的充分不必要条件是“x＞4”.
13. 已知△ABC中，p：a2＋b2＝c2，q：∠C＝90°，则p是q的 条 件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【解析】由a2＋b2＝c2满足勾股定理，那么三角形c边对应∠C＝90°，所以 “a2＋b2＝c2”是“∠C＝90°”的充要条件.
充分不必要
充要
m＝
4
三、解答题
15. 判断命题p与q的条件关系.
（1）p：A∩B＝ ，q：A与B中至少有一个空集；
解：（1）A∩B＝ ，只能说明A与B没有共同元素，不能说明A与B中至少 有一个空集，即由p推不出q；
A与B中至少有一个空集，能够推出A∩B＝ ，即由q能推出p.
所以p是q的必要不充分条件.
（2）p：x2－3x＋2＝0，q：x＝1.
解：（2）解方程x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，则由p推不出q；
当x＝1时，x2－3x＋2＝12－3×1＋2＝0，所以由q能推出p.
故p是q的必要不充分条件.
16. 求关于x的方程（m－1）x2＋3x－1＝0有两个实数解的充要条件.

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