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集合、区间与充要条件
专题　集合、区间与充要条件
1.1　集合
重点 难点
理解集合与元素的概念以及它 们之间的关系，了解空集、有 限集和无限集的含义，掌握常 用数集的表示符号，掌握集合 的表示法，理解集合之间的关 系，掌握集合的运算，理解区 间的概念和表示法，掌握充要 条件的含义. 正确判断并表示集合与元 素之间的关系，理解空集 的概念及性质，理解集合 的相等，能识别集合的子 集和真子集，掌握集合之 间的运算，区间的理解与 应用，判断两个条件之间 充分和必要的关系.
易错点
集合与元素之间关系的判断，集合之间关系的判断和表示，集 合的交集、并集、补集，将集合表示成对应的区间，区间的表 示法和运算，条件的判断.
知识点1　集合与元素的概念以及它们之间的关系
1. （1）集合：一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集.
（2）元素：组成集合的对象称为集合的元素.
2. 集合常用大写英文字母表示，如A，B，C，…；集合的元素常用小写英文字 母表示，如a，b，c，….
3. 元素与集合之间有属于和不属于两种关系，如果a是集合A的元素，那么就说 a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，那么就说 a不属于A，记作a A，读作“a不属于A”.
4. 组成集合的对象必须是确定的；同一个集合中的元素必须是互不相同的.
　注：集合中的元素有确定性、互异性和无序性三个特征.
知识点2　集合的分类
1. 有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
2. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 ，空集也是有限集.
3. 无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
4. 由数组成的集合称为数集.数学中一些常用的数集及记法如下表所示.
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
知识点3　集合的表示法
1. 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用花括号 “{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法.
注：用列举法表示集合时，当集合中的元素很少且不为空集时，遵循“不重不 漏”的原则；当集合为元素很多的有限集或无限集时，可以在花括号内只写出几 个代表元素，其他元素用省略号表示，但写出的元素必须要让人明白省略号表示 了哪些元素.
2. 描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法.
（1）用描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合 的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质.如果集合的元素 是实数，那么“∈R”可略去不写.
（2）集合的简单形式指可以省略竖线及其左侧的代表元素，用描述性语言来叙 述集合的特征性质，如{奇数}，{三角形}.
（3）由数组成的集合称为数集；由点组成的集合称为点集；方程（组）或不等 式（组）的所有解组成的集合称为方程（组）或不等式（组）的解集.
注：有些集合适宜用列举法表示，有些集合适宜用描述法表示，有些集合两种方 法都适用，要根据具体问题进行具体分析.
知识点4　集合之间的关系
1. 子集的概念及性质
（1）子集的概念：一般地，如果集合B的每一个元素都是集合A的元素，则称 集合B是集合A的子集，记作B A（或A B），读作“B包含于A”（或“A 包含B”）.
（2）子集的性质：
①任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
②对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C.
③空集是任何集合的子集，即 A.
④集合A的子集的个数为2n（n为集合A中元素的个数）.
⑤在数学中，我们经常用平面内封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn图. 可用Venn图表示集合之间的关系.
如图所示的Venn图表示集合B是集合A的子集，即集合B中的任何一个元素都是 集合A中的元素，即B A，x∈B x∈A.
⑥如果集合B中存在不属于集合A的元素，那么集合B就不是集合A的子集，记 作B A（或A B），读作“B不包含于A”（或“A不包含B”）.
2. 真子集的概念及性质
（1）真子集的概念：一般地，如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有 一个元素不属于集合B，则称集合B是集合A的真子集，记作B A（或 A B），读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）.
（2）真子集的性质：
①对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C.
②空集是任何非空集合的真子集，即 A（其中A≠ ）.
③集合A的真子集的个数为2n－1（n为集合A中元素的个数）.
④集合A的非空真子集的个数为2n－2（n为集合A中元素的个数）.
3. 子集和真子集的区别
（1）当A B时，可以得到A＝B或A B；当A B时，可以得到A B，但 A≠B.
（2） A； A（其中A≠ ）.
4. 集合的相等
一般地，如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相 等，记作A＝B.
注：若A＝B，则它们所含的元素完全相同，即集合A中的元素都属于集合B， 同时集合B中的元素也都属于集合A，与元素的顺序无关.当集合A，B均为有限 集时，只要元素的个数相等且元素相同，那么A＝B；当集合A，B均为无限集 时，观察这两个集合的代表元素是否一致，若代表元素以及它所满足的条件均一 致，则A＝B.
知识点5　集合的运算
1. 交集的概念及性质
（1）交集的概念：一般地，对于给定的集合A和集合B，由既属于A又属于B的 所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交 B”，写作A∩B＝{x｜x∈A且x∈B}.当两个集合的交集不为空集时，可以用 Venn图中的阴影部分表示；当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空 集，如图所示.
（2）交集的性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ∩A＝ ， A∩B A，A∩B B.
注：交集是由两个集合的所有公共元素组成的集合，解决交集运算时可利用数轴 或Venn图.
2. 并集的概念及性质
（1）并集的概念：一般地，对于给定的集合A与集合B，由集合A与集合B的所 有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”， 写作A∪B＝{x｜x∈A或x∈B}.两个集合的并集可以用Venn图中的阴影部分 表示，如图所示.
（2）并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A， A A∪B，B A∪B.
注：并集是由两个集合的所有元素组成的集合，两个集合中相同的元素只能出现 一次.
3. 全集
一般地，在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这 个给定的集合称为全集，通常用字母U来表示.在研究数集时，通常把实数 集R作为全集.
4. 补集的概念及性质
（1）补集的概念：一般地，如果集合A是全集U的一个子集，那么由集合U中 不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作 UA， 读作“A在U中的补集”，写作 UA＝{x｜x∈U且x A}.集合A在全集U中的 补集可以用Venn图中的阴影部分表示，如图所示.
（2）补集的性质：A∪ UA＝U，A∩ UA＝ ， U（ UA）＝A， U ＝U， UU
＝ .
注：当全集U为实数集R时，集合A的补集 UA可以简写为 A.
例1　下列元素与集合的关系中，正确的是（　　）.
A. －1 Z B. 0∈N* D. π R
【考查目标】 本题考查元素与集合的关系.
【解析】 －1是最大的负整数；0是最小的自然数，但不是正整数；分数属于有 理数；π是实数.
【答案】 C
【解题技巧】 1.元素与集合的关系包括属于和不属于，若集合中含有某元素，则 这个元素属于这个集合；组成集合的对象是确定的，所以对于任何一个对象是否 属于集合，也一定是确定的.
2. 掌握元素与集合的关系，并会用∈和 来表示：a是集合A中的元素时，用 “a∈A”表示；a不是集合A中的元素时，用“a A”表示.符号“∈”与 “ ”的左侧是元素，右侧是集合.
∈
∈

∈
∈

∈
例2　用适当的方法表示下列集合.
（1）方程x2－x－2＝0的所有实数解组成的集合；
【答案】 （1）{x∈R｜x2－x－2＝0}或{－1，2}.
【解析】 （1）中元素的特征性质是方程的解，可以求出方程的解后用列举法表 示，也可以用描述法表示，只要元素x∈R且满足x2－x－2＝0即可.
（2）偶数集；
【答案】（2）{偶数}或{x｜x＝2k，k∈Z}.
【解析】（2）中的元素是整数，元素的特征性质是2的倍数，可以写成{x｜x＝ 2k，k∈Z}.
（3）不等式3x－1≥2的解集；
【答案】（3）{x｜x≥1}.
【解析】（3）中的元素x是实数，且满足不等式3x－1≥2，求解后用描述法表 示即可.
（4）直角坐标系中坐标轴上的点的集合；
【答案】（4）{（x，y）｜xy＝0}.
【解析】（4）中的元素是直角坐标系中的点，用有序实数对（x，y）表示，特 征性质是纵、横坐标的乘积为0，即xy＝0.
【答案】（5）{（3，2）}.
【解析】（5）中元素的特征性质是方程组的解，可求出方程组的解后用列举法 表示.
【考查目标】 本题考查集合的表示法.
【解题技巧】 根据元素的特征性质来确定选用列举法还是描述法.适合用列举法 表示的集合中的元素较少，且可以一一列举出来或具有很强的规律性；适合用描 述法表示的集合中的元素具有共同特征，常用于无限集.
变式训练2
（1）用列举法表示下列集合.
①正整数集；
解：①{1，2，3，…}，
②集合A＝{x｜（x－2）（x＋4）＝0}；
解：②{－4，2}，
③集合B＝{x∈N｜－3＜2x－1＜3}；
解：③{0，1}，
④一次函数y＝x＋1与y＝－2x＋6的图像的交点组成的集合.
（2）用描述法表示下列集合.
①所有三角形构成的集合；
解：①{三角形}，
②在直角坐标系中，第二象限内的点组成的集合；
解：②{（x，y）｜x＜0且y＞0}，
③二次函数y＝x2＋2的函数值组成的集合；
解：③{y｜y≥2}，
④不超过11的正奇数组成的集合.
解：④{x｜x＝2k＋1，0≤k≤5，k∈Z}.
例3　写出下列每对集合之间的关系.
（1）Z与Q；
【解析】 （1）有理数包括整数和分数，根据集合之间的关系及真子集的概念， 可判断出Z Q.
（2）集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x∈N｜x＜5}；
【解析】 （2）集合B＝{0，1，2，3，4}，集合B中的元素0不在集合A中，集 合A中的元素都在集合B中，根据真子集的概念，可判断出A B.
（3）集合M＝{x｜x＜3}，集合N＝{x｜x＜2}；
【解析】 （3）画数轴后利用数形结合，可判断出小于3的数不一定小于2，但小 于2的数一定小于3，根据真子集的概念可得M N.
（4）集合C＝{x｜x2＝4}，集合D＝{x｜｜x｜＝2}.
【解析】 （4）集合C＝{－2，2}，集合D＝{－2，2}，根据集合相等的概念， 可判断出C＝D.
【考查目标】 本题考查集合之间的关系.
【解题技巧】 解题关键是正确判断两个集合中元素之间的关系.当集合是无限集 时，可以通过画数轴后利用数形结合加以判断，从而得到两个集合之间的关系. 子集和真子集的区别是真子集一定是子集，但子集不一定是真子集.
A.
B. {x｜ln x≤0} {x｜－1≤x≤1}
C. {x｜x2－x－2＜0} {x｜｜x－1｜＜2}
D. 若{1，0}＝{1，m2－1}，则m＝±1
D
例4　（2023年安徽省职教高考真题）已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{－2，1}，则A∩B＝（　　）.
A. {－2，1} B. {－1，0}
C. {－2，－1} D. {0，1}
【考查目标】 本题考查集合的运算.
【解析】 因为集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{－2，1}，所以A∩B＝ {－2，1}.
【答案】 A
【解题技巧】 集合的运算包括交集、并集、补集，正确理解这三种运算的定义是 解题的关键.集合的交集实质上是指两个集合的公共部分；并集是由两个集合的 所有元素组成的集合，但要注意集合中元素的互异性；在求补集时，一定要注意 全集，全集因题而异.
A. {－2，－1，0，2} B. {－2，－1，0}
C. {－1，2} D. {－1}
【解析】由题意可知，A∪B＝{－2，－1，0，2}.
A
A. {3} B. {1，3}
C. {3，6，9} D. {1，3，6，9}
A
A. {1，2，3，4} B. {3，4}
C. {1，2} D.
C
（4）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≤1}，集合B＝{x｜0＜x≤2}，求：
①A∩B；
解：①A∩B＝{x｜0＜x≤1}.
②A∪B；
解：②A∪B＝{x｜x≤2}.
③（ UA）∩（ UB）；
解：③因为 UA＝{x｜x＞1}， UB＝{x｜x≤0或x＞2}，所以（ UA）∩ （ UB）＝{x｜x＞2}.
④（ UA）∪（ UB）.
解：④因为 UA＝{x｜x＞1}， UB＝{x｜x≤0或x＞2}，所以（ UA）∪ （ UB）＝{x｜x≤0或x＞1}.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】空集只有一个子集，是它本身，故①②错；空集没有真子集，故③错； 空集是任何非空集合的真子集，故④错；空集记作 ，故⑤错.
A
A. ①④ B. ①③ C. ①②④ D. ③④
A. －1∈A B. －1 A
C. －1 A D. －1 A
【解析】由题意得集合A＝{x｜x2＋x＝0}＝{0，－1}，故－1∈A.
A. A∪B B B. （1，2） {1，2，3}
C. {（1，2）}＝{1，2} D. A∩B A∪B
C
A
D
A. －1 B. 0 C. 2 D. 3
【解析】∵x是实数，∴x2＋3≥3，∴当2∈A时，x＝2.
A. {（0，0）} B. {0}
C. {（x，y）｜x＝0或y＝0} D.
【解析】由题意，得M＝N＝{0}，则M∩N＝{0}.
C
B
A. 0 B. 0或1 C. 1或2 D. 0或2
【解析】∵集合A＝{0，1，2}，集合B＝{1，m}，B A，∴m＝0或m＝2.
D
A. 若A∩B＝B∩C，则A＝C
B. 若A∪B＝B∪C，则A＝C
C. 若A∩B＝B∪C，则C B
D. 若A∪B＝B∩C，则C B
C
【解析】A∩B＝B∩C时，A＝C不一定成立，如集合A＝{1，2，3}，集合B ＝{1}，集合C＝{1，2}，满足A∩B＝B∩C，但A≠C，A项错误；A∪B＝ B∪C时，A＝C不一定成立，如集合A＝{1}，集合B＝{1，2，3}，集合C＝ {1，2}，满足A∪B＝B∪C，但A≠C，B项错误；因为C （B∪C）， A∩B＝B∪C，所以C （A∩B），又因为A∩B B，所以C B，C项正 确；A∪B＝B∩C时，C B不一定成立，如集合A＝{1}，集合B＝{1，2， 3}，C＝{1，2，3，4}，满足A∪B＝B∩C，但B C，D项错误.
A. {0，1} B. {－1，0}
C. {－1，0，1} D. {－1，1}
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
A. 2或－1 B. －1 C. 2 D. 1
C
B
C
A. {1，2，3，4} B. {3，4}
C. {1，2} D. {0，1，2}
【解析】因为全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{3，4}，所以 UA＝{0，1， 2}.
A. {0} B. {0，1} C. {0，2} D. {2}
【解析】由题意，得全集U＝{x∈N*｜x≤2}＝{1，2}，又集合A＝{1}，所以 UA＝{2}.
D
D
A. {2，3} B. {1，3}
C. {1，3，4} D. {1，2，3}
【解析】由题意可知，A－B＝{2，3}.
A. 0 B. 1 C. 1或0 D. －1
【解析】因为集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{1，｜m｜}，且B A，则｜m｜＝0，所以m＝0.
A
A
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】因为x（x2－4）＝x（x－2）（x＋2）＝0，x∈R，解得x＝0或x＝ 2或x＝－2，所以集合A＝{－2，0，2}，故集合A的非空真子集有{－2}，{0}， {2}，{－2，0}，{－2，2}，{0，2}，个数为6.
B
二、填空题
17. 已知全集U＝{x∈N｜x≤10}，集合A＝{x∈N*｜x≤5}，集合B＝{0， 1，2，3}，则A∩B＝ ，A∪B＝ ， UA ＝ ， UB＝ .
【解析】因为全集U＝{x∈N｜x≤10}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10}，集合A＝{x∈N*｜x≤5}＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{0，1，2，3}，所 以A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{0，1，2，3，4，5}， UA＝{0，6，7，8，9， 10}， UB＝{4，5，6，7，8，9，10}.
18. 已知集合A＝{a，0，－1}＝{4，b，0}，则a＝ ，b＝ .
19. 若3∈{1，a，a2－6}，则a＝ .
{1，2，3}
{0，1，2，3，4，5}
{0，6，7，8，9，10}
{4，5，6，7，8，9，10}
4
－1
－3
21. 若{0，1，2} A {0，1，2，3，4}，则满足条件的集合A有 个.
22. 若集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2}，集合B＝{（x，y）｜x－y＝4}，则 A∩B＝ .
－1
1
3
{（3，－1）}
23. 设集合A＝{x｜x≤1}，集合B＝{x｜x＞a}，若要使A∩B≠ ，则实数 a的取值范围是 .（用集合表示）
【解析】结合数轴和A∩B≠ ，可得a＜1.
{a｜a＜1}
三、解答题
24. 若集合A＝{x｜ax2－2x＋3＝0}中只有一个元素，求实数a的值.
25. 设全集U＝R，集合A＝{x｜x＋2≥0}，集合B＝{x｜x－3＜0}.求：
（1）A∩B；
解：集合A＝{x｜x≥－2}，集合B＝{x｜x＜3}.
（1）A∩B＝{x｜－2≤x＜3}.
（2）A∪B；
解：（2）A∪B＝R.
（3）（ UA）∪（ UB）.
解：（3）因为 UA＝{x｜x＜－2}， UB＝{x｜x≥3}，所以（ UA）∪ （ UB）＝{x｜x＜－2或x≥3}.
26. 已知集合A＝{－1}，集合B＝{x｜x2＋2ax＋1＝0}，且A∪B＝A，求实 数a的取值范围.
解：因为集合A＝{－1}且A∪B＝A，所以B A，即集合B＝ 或者B＝A.
①当B＝ 时，一元二次方程x2＋2ax＋1＝0无解，所以Δ＝（2a）2－4＜0，解 得－1＜a＜1；
②当B＝A时，一元二次方程x2＋2ax＋1＝0有且仅有x＝－1一个解，代入得a ＝1.
综上所述，a的取值范围为{a｜－1＜a≤1}.
27. 已知集合M＝{x，x2，y2－1}，集合N＝{0，｜x｜，y}，且M＝N，求实 数x，y的值.
28. 已知集合A＝{x｜x2＋2x－8＝0}，集合B＝{x｜ax＋4＝0}，且B A，求 实数a的取值组成的集合.
解：集合A＝{x｜x2＋2x－8＝0}，
由x2＋2x－8＝0，得（x＋4）（x－2）＝0，
解得x＝－4或x＝2，即集合A＝{－4，2}，
故集合A的所有子集为 ，{－4}，{2}，{－4，2}.
由B A，集合B＝{x｜ax＋4＝0}，可得集合B＝ 或集合B＝{－4}或B＝ {2}.
当集合B＝ 时，a＝0；
当集合B＝{－4}时，－4a＋4＝0，解得a＝1；
当集合B＝{2}时，2a＋4＝0，解得a＝－2.
所以实数a的取值组成的集合是{－2，0，1}.
29. 已知集合A＝{x｜－2≤x≤2}，集合B＝{x｜x＜a}，若A∩B＝ ，求实 数a的取值范围.
解：∵A∩B＝ ，由数轴图可知a≤－2，
∴实数a的取值范围为{a｜a≤－2}.

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