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(共44张PPT)
　立体几何
专题一　点、线、面之间的位置关系
8.1　平面
重点
了解空间点、线、面之间的位置关系的定义，并能用文字语言、图像语言和符 号语言来描述；理解平面的三个基本性质及三个推论，并能利用性质解决简单 的线共面、点共线和线共点问题；了解线线平行、线面平行、面面平行的定 义；了解异面直线所成角的概念；了解直线与平面所成角的概念；了解二面角 的平面角的概念；了解线面垂直、面面垂直的定义；理解并掌握线面垂直、面 面垂直的判定及性质定理；熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间 的相互转化，并能借助定理解
重点
决实际问题；了解旋转体及柱、锥、球的相关概念及它们所具有的简单性质； 认识几何体图形、会绘制简单的几何体；了解简单几何体的三视图，会画简单 几何体的直观图；掌握有关柱、锥的侧面积计算公式与球的表面积计算公式， 并能灵活运用公式解决实际问题；掌握有关柱、锥、球的体积计算公式，并能 灵活运用公式解决实际问题.
难点
理解平面的三个基本性质及三个推论，并能利用性质解决简单的线共面、点共 线和线共点问题；理解公理1、2及三个推论成立的条件，即用一个平面应具备 的条件去确定一个平面；了解异面直线所成角的概念；了解二面角的平面角的 概念；了解直线与平面所成角的概念；了解线面垂直、面面垂直的定义；理解 并掌握线面垂直、面面垂直的判定及性质定理；熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的相互转化，并能借助定理解决实际问题；掌握有关柱、锥的侧面积计算公式与球的表面积计算公式和柱、锥、球的体积计算公式.
易错点
理解并掌握线面平行、面面平行的判定及性质定理；熟练掌握线线平行、线面 平行、面面平行三者之间的相互转化，并能借助定理解决实际问题；了解二面 角的平面角的概念；了解直线与平面所成角的概念；理解并掌握线面垂直、面面垂直的判定及性质定理；熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的相互转化，并能借助定理解决实际问题.
知识点1　空间点、线、面之间的位置关系
类型 位置关系 图形表示 符号表示
点、线位置关系 点在直线上 A∈l
点在直线外 B l
点、面位置关系 点在平面内 A∈α
点在平面外 B α
类型 位置关系 图形表示 符号表示
线、线位置关系 平行 m∥n
相交 m∩n＝A
异面 —
线、面位置关系 线在面内 m α
类型 位置关系 图形表示 符号表示
线、面位置关系 线面相交 m∩α＝A
线面平行 m∥α
m∩α＝
面、面位置关系 面面平行 α∥β
α∩β＝
面面相交 α∩β＝l
知识点2　平面的基本性质及推论
性质 内容 图形表示 符号表示
公理1 经过不在同一条直线 上的三点，有且只有 一个平面 若A，B，C三 点不共线，则存 在唯一平面α， 使得A∈α， B∈α，C∈α
公理2 如果一条直线上有两 个点在一个平面内， 那么这条直线上的所 有点都在这个平面内 若A，B∈l， A，B∈α，
则l α
性质 内容 图形表示 符号表示
公理3 如果两个平面有一个 公共点，那么它们有 且只有一条经过该点 的公共直线 若A∈α， A∈β，则存在唯 一的直线l，使 得A∈l，α∩β ＝l
推论1 经过一条直线和该直 线外一点有且只有一 个平面 若A l，则存在 唯一平面α，使 得A∈α，l α
性质 内容 图形表示 符号表示
推论2 经过两条相交直线有 且只有一个平面 若m∩n＝A， 则存在唯一平面 α，使得m α， n α
推论3 经过两条平行直线有 且只有一个平面 若m∥n，则存 在唯一平面α， 使得m α，n α
　注：画两个平面相交时，一定要画出它们的交线，平面被遮挡部分用虚线表示 或不画.
例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试用符号语言表示下列点、 线、面之间的位置关系.
（1）点A，A1与直线AB的位置关系；
【解析】 （1）A∈AB，A1 AB.
（2）点A，A1与平面ABCD的位置关系；
【解析】（2）A∈平面ABCD，A1 平面ABCD.
（3）直线AB与AC，AB与CD，AB与D1C的位置关系；
【解析】 （3）AB∩AC＝A，AB∥CD，AB与D1C异面.
（4）直线AB，D1C，A1B1与平面ABCD的位置关系；
【解析】 （4）AB 平面ABCD，D1C∩平面ABCD＝C，A1B1∥平面ABCD.
（5）平面ACD1，A1B1C1D1与平面ABCD的位置关系.
【解析】（5）平面ACD1∩平面ABCD＝AC，平面A1B1C1D1∥平面ABCD.
【考查目标】 本题考查点、线、面之间的位置关系和符号表示.
【解题技巧】 三种语言的转换方法：①用文字语言、符号语言表示一个图形时， 首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系，试着用文字语 言表示，再转化为符号语言；②根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注 意实线与虚线的区别.
A. A∈m，m∈α B. A m，m α
C. A∈m，m α D. A m，m∈α
C
（2）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1为体对角线，试用符号语 言表示下列点、线、面间的位置关系.
①点A，A1与直线AD的位置关系；
解：①A∈AD，A1 AD；
②点C，C1与平面BC1D的位置关系；
解：②C 平面BC1D，C1∈平面BC1D；
③直线AB与BD，B1D1与BD，A1B1与BD的位置关系；
解：③AB∩BD＝B，B1D1∥BD，A1B1与BD异面；
④直线AB，B1D1，BD与平面BC1D的位置关系；
解：④AB∩平面BC1D＝B，B1D1∥平面BC1D，BD 平面BC1D；
⑤平面BC1D与平面ABCD，平面BC1D与平面AB1D1的位置关系.
解：⑤平面BC1D∩平面ABCD＝BD，平面BC1D∥平面AB1D1.
例2　（2023届安徽省“江淮十校”职教高考第二次联考）对于空间中的三条不 同的直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线有一个公共 点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交.其中，能推出三条直 线共面的条件是（　　）.
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
【考查目标】 本题考查平面的基本性质（公理1、2）及三个推论.
【答案】 B
【解析】 两条相交直线确定一个平面，由于第三条直线不过前面两条直线的交 点但又分别与它们相交，所以第三条直线也在这个平面内，①正确；两两平行的 三条直线，最多可以确定三个平面，②错误；三条直线交于一点，最多可以确定 三个平面，③错误；两条平行直线确定一个平面，由于第三条直线与它们都相 交，所以第三条直线也在这个平面内，④正确.
变式训练2
A. 四边形确定一个平面
B. 互相平行的三条直线只能确定一个平面
C. 组成锐角的两条射线可以确定一个平面
D. 两点和一条直线只能确定一个平面
C
【解析】因为平面具有平的特征，所以A错误，根据平面具有无限延展的特征知 B，C错误.
A. 篮球的表面是一个平面
B. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD比平面ACC1A1小
D. 平静的湖面可以看作平面的一部分
D
例3　（2021年安徽省职教高考真题）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以 下直线与直线BD1异面的是（　　）.
A. A1C B. AC1
C. B1D D. AC
【考查目标】 本题考查空间中两条直线的位置关系.
【答案】 D
【解析】 因为A1D1∥BC，所以A1，D1，B，C四点共面，所以BD1与A1C共 面.同理，AC1与BD1共面，B1D与BD1共面.
A. 可能是平行直线 B. 一定是异面直线
C. 可能是相交直线 D. 平行、相交、异面直线都有可能
【解析】因为直线a，b异面，所以直线a上任意两点与直线b上任意两点不共 面，故不存在平行的直线c，d；当直线c，d与直线a，b中的一条交于同一点 时，直线c，d相交；当直线c，d与直线a，b的交点均不相同时，直线c，d 为异面直线.所以直线c，d可能为相交直线，也可能为异面直线.
C
例4　下列说法正确的是（　　）.
A. 空间中四个点能确定一个平面或四个平面
B. 两个平面可以只有一个公共点
C. 四边形的对角线一定相交
D. 已知直线l和平面α，若点A，B，C都在直线l上，且A∈α，B∈α，则 C∈α
【考查目标】 平面的基本性质及推论.
【答案】 D
【解析】 若空间中四个点在一条直线上，则过这四个点的平面有无数个，若四 个点确定的两条直线相交或平行，则能确定一个平面，若四个点是空间四边形的 四个顶点，则能确定四个平面，如三棱锥的四个顶点，故A错；根据公理3“如 果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线”可知B 错；空间四边形的对角线是异面直线，所以C错；根据公理2“如果一条直线上 有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内”可知l α， 所以C∈α，D正确.
【解题技巧】 熟记并理解平面的三个公理及推论；对于空间四点问题，要分四点 在一条直线上、四点在一个平面内但不共线及四点不共面三种情况.
例5　已知平面α，β，γ两两相交，交线分别为直线l，m，n，且l与m不平行， 求证：直线l，m，n相交于同一点.
【考查目标】 本题考查平面的三个基本性质与三个推论的灵活运用.
【解析】 如图所示，设α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n.
因为l β，m β，且l与m不平行，
所以l与m必相交，设l∩m＝P，
则P∈l，P∈m.因为l α，m γ，所以P∈α，P∈γ，
又因为α∩γ＝n，所以P∈n，故直线l，m，n相交于一点P.
例6　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱 DD1，CC1，AD，BC上的点，若EF，GH交于点M，求证：D，C，M三点 共线.
【考查目标】 本题考查平面基本性质的公理2与公理3的灵活运用.
【解析】 ∵E∈DD1，F∈CC1，DD1 平面CC1D1D，CC1 平面CC1D1D，
∴EF 平面CC1D1D，同理GH 平面ABCD.
∵EF∩GH＝M，∴M∈EF，M∈GH，
∴M∈平面CC1D1D且M∈平面ABCD，
∴点M在平面CC1D1D和平面ABCD的交线上.
又平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，
∴M∈DC，即D，C，M三点共线.
【解题技巧】 ①证明点、线共面，一般先由部分点、线确定一个平面，再证其他 点和线在所确定的平面内；②证明多点共线，通常利用公理3，即两个相交平面 交线的唯一性，通过证明点分别在这两个平面内，从而证明点在相交平面的交线 上，还可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在该直线上；③证明三 线共点，可先证明两条直线交于一点，再证明该交点在第三条直线上.
D
A. 直线BD，AC是异面直线
B. 点E，F，G，H四点共面
C. 直线GH，EF的交点在直线BD上
D. 直线GH，EF是异面直线
（2）已知直线a∥b∥c，a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C. 求证：a，b， c，l四线共面.
证明：因为a∥b，所以能确定一个平面α.
因为a∩l＝A，b∩l＝B，所以A∈α，B∈α.
因为A∈l，B∈l，所以l α.
因为b∥c，所以能确定一个平面β，同理l β.
因为l α，l β，又b α，b β，且l∩b＝B，
所以由经过两条相交直线有且只有一个平面，可知平面α与平面β重合，
即a，b，c，l四线共面.
A. 三角形 B. 菱形 C. 梯形 D. 四边形
【解析】三角形、菱形、梯形都是平面图形，四边形可能是平面四边形也可能是 空间四边形.
A. A∈l B. A∈α C. l α D. l∩α＝A
【解析】直线和平面都可以看成点的集合，点和直线、点和平面之间的关系是元 素与集合的关系，所以A，B正确；直线与平面之间的关系相当于集合之间的关 系，所以C错误；直线l与平面α相交于点A，故D正确.
D
C
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交
【解析】由平面的基本性质的推论可知，两条平行直线或相交直线可以确定一个 平面，所以这两条直线的位置关系是平行或相交.
D
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】当不共线A，B，C，D四点共面时，A，B，C三点不一定共线，比 如平行四边形ABCD中，充分性不成立；当A，B，C三点共线时，若D和 A，B，C三点共线，显然四点是共面的，若D不与A，B，C三点共线，根据 直线和直线外一点确定一个平面可知，这时A，B，C，D四点共面，必要性成 立，故选B.
B
A. 没有公共点的两条直线
B. 不相交的两条直线
C. 不同在任何一个平面内的两条直线
D. 在两个不同平面内的两条直线
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 以上都有可能
【解析】平行于同一个平面的两条直线的位置关系不能确定，相交、平行、异面 都有可能，从长方体中都能找到例子.
C
D
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 平行或异面
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
【解析】①和一条直线相交的两条直线可能在同一平面内也可能异面，所以不正 确；②三条两两相交的直线若相交于同一点则可能不共面，所以不正确；③有三 个不同公共点的两个平面重合或相交，所以不正确；④两两平行的三条直线确定 三个平面或一个平面，所以不正确.正确命题的个数是0.
D
D
【解析】假设m∥n，根据m∥a，n∥b可得a∥b，这与直线a，b异面矛 盾，直线m，n相交或异面可在长方体中找到例子.
10. 已知直线a，点A a，则直线a与点A确定的平面有 个.
11. 在四棱锥S－ABCD中，与棱SA异面的棱有 .
【解析】根据过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异 面直线可知与棱SA异面的棱有BC，CD.
相交或
异面
1
BC，CD
12. 给出以下四个命题：①若一条直线在平面外，则直线与平面没有公共点；② 若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面；③若两个平面相交，则 它们只有有限个交点；④若三条直线两两相交，则这三条直线只能确定一个平 面.其中不正确的序号是 .
【解析】①若一条直线在平面外，则直线与平面的位置关系是相交或平行.相交 时，直线与平面有一个交点，故该命题不正确；②若一条直线与两条平行直线都 相交，则这三条直线共面，由两条平行直线可以确定一个平面，第三条直线也在 该平面内，故该命题正确；③若两个平面相交，则它们的交点有无数个，且在同 一条直线上，故该命题不正确；④若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个 或三个平面，故该命题不正确.
①③④
三、解答题
13. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：三个平面α，β，γ相交于同一点P， 且平面α与平面β相交于直线PA，平面α与平面γ相交于直线PB，平面β与平面γ相 交于直线PC.
解：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.
（画图略，合理即可，形式不定）
14. 如图，对于长方体ABCD－A1B1C1D1，回答下列问题：
（1）直线AC是否在平面ABCD内？
解：（1）AC 平面ABCD.
（2）A，A1，C，C1四点是否在同一平面内？
解：（2）因为AA1∥CC1，所以A，A1，C，C1四点在同一平面内.
（3）过直线AD和点B1的平面有多少个？
解：（3）过直线AD和点B1的平面只有一个.
15. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设直线A1C与平面ABC1D1交于 点Q，求证：B，Q，D1三点共线.
证明：连接BD1，A1B和D1C，如图所示.
因为BD1 平面ABC1D1，BD1 平面BCD1A1，
所以平面ABC1D1∩平面BCD1A1＝BD1.
又因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，
所以Q∈A1C，Q∈平面ABC1D1，
而A1C 平面BCD1A1，所以Q∈平面BCD1A1，
所以点Q在平面ABC1D1与平面BCD1A1的交线BD1上，即B，Q，D1三点共线.
16. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点.求 证：B，D，E，F四点共面.
证明：如图，连接B1D1，因为E，F分别为C1D1，B1C1的中点，
所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以B，D，E，F四点共面.

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