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　立体几何
专题一　点、线、面之间的位置关系
8.2　直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
知识点1　空间线线、线面、面面平行的定义
1. 两条直线平行的定义：在同一平面内不相交的两条直线.
2. 空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的传递性.
3. 直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条 直线与这个平面平行，即a∩α＝ a∥α，如图所示.
4. 两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么就称这两个平面互相平 行，即α∩β＝ α∥β，如图所示.
　注：平行直线、平行平面都具有传递性.
知识点2　线面平行的判定定理与性质定理
1. 直线与平面平行的判定定理
如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条平面外直线与这 个平面平行，即m α，n α，m∥n m∥α（即线线平行 线面平行），如图 所示.
2. 直线与平面平行的性质定理
（1）性质1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与已知平面没有交 点，即m∥α m∩α＝ .
（2）性质2：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面和这 个平面的交线与这条直线平行，即m∥α，m β，α∩β＝n m∥n（即线面平 行 线线平行），如图所示.
知识点3　面面平行的判定定理与性质定理
1. 两个平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平 行，即a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α（即线面平行 面面平 行），如图所示.
2. 两个平面平行的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两 个平面互相平行，即a β，b β，a∩b＝A，m α，n α，a∥m， b∥n β∥α（即线线平行 面面平行），如图所示.
3. 两个平面平行的性质定理
（1）性质1：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么两条交线互相 平行，即α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b（即面面平行 线线平行），如图 所示.
（2）性质2：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面，即α∥β，m α m∥β（即面面平行 线面平行），如图所示.
例1　（2024年安徽省职教高考真题）在空间中，下列结论正确的是（　　）.
A. 垂直于同一直线的两条直线一定平行
B. 垂直于同一平面的两条直线一定平行
C. 平行于同一平面的两条直线一定平行
D. 没有公共点的两条直线一定平行
【考查目标】 本题考查空间中直线与直线的位置关系，尤其是平行关系的判断.
【答案】 B
【解析】 垂直于同一直线的两条直线、平行于同一平面的两条直线还可能相交 或异面，这在长方体中都能找到例子，故A，C错误；根据直线与平面垂直的性 质定理可知垂直于同一平面的两条直线一定平行，故B正确；没有公共点的两条 直线也可能是异面直线，故D错误.
【解题技巧】 判断两条直线是否平行的问题时：①要考虑到空间直线有三种位置 关系：相交、平行、异面，即根据条件想想两条直线会不会相交或异面，可通过 长方体举反例；②熟记可判断两直线平行的定理：平行于同一条直线的两条直线 互相平行；垂直于同一平面的两条直线互相平行；如果一个平面同时和两个平行 平面都相交，那么它们的交线互相平行.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C
A. 直线m与平面α相交
B. 直线m与平面α平行
C. 直线m在平面α内
D. 直线m与平面α平行或直线m在平面α内
【解析】在长方体中能找到直线m与平面α平行或直线m在平面α内的例子，故D 正确.另解：假设直线m与平面α相交，设交点为A，则A∈m，经过直线l和点 A作平面β，则平面α，β相交，记交线为n，则A∈n，由直线与平面平行的性质 可知l∥n，又因为l∥m，所以可得m∥n，这与m，n交于点A矛盾，故假设 不成立，即直线m与平面α相交不成立.
D
例2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC， AB的中点.求证：CM∥平面A1PN.
【考查目标】 本题考查线面平行的判定定理的应用.
【解析】 在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵M，N分别为A1C1，AC的中点，∴A1M＝CN.
又∵A1M∥CN，∴四边形A1NCM为平行四边形，∴CM∥NA1.
又∵CM 平面A1PN，NA1 平面A1PN，
∴CM∥平面A1PN.
【解题技巧】 （1）证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知 直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理（牢记：“看到中 点，想到中位线定理”）、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线 平行.利用判定定理时，要注意说明已知的直线不在平面内.
（2）判断线面平行的方法：①利用线面平行的定义（反证法）；②利用线面平 行的判定定理；③利用面面平行的性质定理.
（3）线面平行的性质和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到 线面平行，再通过线面平行得到线线平行.利用线面平行的性质定理解题的 具体步骤如下：①确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；②确定（或寻 找）过这条直线且与这个平行平面相交的平面；③确定交线；④由性质定理 得出线线平行的结论.
变式训练2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. AB∥CD
B. AC∥平面EFGH
C. AC⊥FG
D. 平面ABC⊥平面ACD
C
B
【解析】在四面体ABCD中，AB，CD异面，所以A选项不正确；由三角形中位 线定理可知，AC∥EF，且AC 平面EFGH，EF 平面EFGH，所以AC∥平 面EFGH，所以B选项正确；FG∥BD，而AC与BD不一定垂直，故AC⊥FG 不一定成立，所以C选项不正确；由已知不能得出平面ABC与平面ACD是垂直 关系，所以D选项不正确.
（3）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别是 PB，PC的中点，求证：EF∥平面PAD.
证明：如图，在△PBC中，因为E，F分别是PB，PC的中点，所以EF∥BC.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AD∥BC，所以EF∥AD.
又因为EF 平面PAD，AD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
例3　如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中 点.求证：平面DEF∥平面ABC.
【考查目标】 本题考查面面平行的判定定理.
【解析】 证明：在△PAB中，∵D，E分别是边PA，PB的中点， ∴DE∥AB.
又∵DE 平面ABC，AB 平面ABC，∴DE∥平面ABC.
同理可证，EF∥平面ABC.
又∵DE 平面DEF，EF 平面DEF，且DE∩EF＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
例4　如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC上的 点，若平面DEF∥平面ABC，试写出图中所有相互平行的直线.
【考查目标】 本题考查面面平行的性质定理.
【解析】 ∵平面DEF∥平面ABC，平面PBC∩平面DEF＝EF，平面PBC∩ 平面ABC＝BC，∴EF∥BC.
同理可得DE∥AB，DF∥AC.
∴图中相互平行的直线有EF与BC，DE与AB，DF与AC.
【解题技巧】 （1）判定面面平行的常用方法：
①面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；②面面平行的判定定理；③垂 直于同一直线的两个平面平行；④利用平行平面的传递性，即两个平面同时平行 于第三个平面，则这两个平面平行.
（2）应用面面平行性质定理的基本步骤：
①定条件：审题，看是否有面面平行；②找平面：找（或作）第三个平面与已知 两个平面相交；③定交线：确定交线位置；④得平行：得两条交线互相平行.
（3）数学思想——化归思想（化归是指把未知的转化为已知的，把复杂的转化 为简单的……）在这里的运用：要证明面面平行，就要转化为线面平行；而要证 明线面平行，就要转化为线线平行（由复杂的向简单的转化）.当然，在一些较 为复杂的问题中，有时不是一次性转化就能完成任务的，而是要进行反复的相互 转化（将未知的转化为已知的），方能使问题最终达到解决.
A. 如果l∥m，m α，则l∥α
B. 如果l∥α，α∩β＝m，则l∥m
C. 如果α∥β，l α，m β，则l，m平行或异面
D. 如果l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β
【解析】A选项中，如果直线l α，就得不到l∥α，故A错误；直线l与m平行 或异面，故B错误；因为α∥β，这两个平面没有公共点，再由l α，m β可得 l，m没有公共点，空间中没有公共点的两条直线平行或异面，故C正确；D选项 中，当l，m平行时不一定能得到α∥β，故D错误.
C
（2）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝2AB， E，F分别是CD，PC的中点，求证：平面BEF∥平面PAD.
证明：因为CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB＝DE，
又因为AB∥CD，所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE∥AD.
又因为AD 平面PAD，BE 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
在△PCD中，因为E，F分别是CD，PC的中点，
所以EF∥PD.
又因为PD 平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因为BE 平面BEF，EF 平面BEF，且BE∩EF＝E，
所以平面BEF∥平面PAD.
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或相交
【解析】根据平面平行的判定定理可知只有一个平面内的两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条直线才能判定这两个平面平行，因此本题中的条件不能判 定两个平面平行，即这两个平面可能平行也可能相交.
D
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 以上均有可能
D
A. 若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
B. 若两个平面平行，则在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
C. 若两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线平行
D. 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
【解析】若两个平面的三个公共点共线，则这两个平面也可能相交，选项A错 误；当两个平面平行时，这两个平面没有公共点，因此一个平面内的任一条直线 都与另一个平面没有公共点，所以它们平行，选项B正确；若两个平面平行，则 两个平面无公共点，则分别在两个平面内的两条直线也无公共点，则这两条直线 平行或异面，选项C错误；若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，推不 出两个平面平行，两平面也可能相交，选项D错误.
B
A. 一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
B. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C. 一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D. 一个平面内的一条直线平行于另一个平面
【解析】若一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，则这两个平面没有公共 点，所以能判断两个平面平行，其余三个条件都判断不出两个平面平行.
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A. l∥m B. l与m异面
C. l与m相交 D. l∥β
【解析】因为α∥β，所以平面α，β没有公共点，由l α知l与β没有公共点，根据 线面平行的定义可得l∥β.
A
D
A. 相交 B. 平行
C. 直线在平面内 D. 平行或直线在平面内
A. 平面A1B1C1∥平面ACD B. 平面BC1D∥平面B1CD1
C. 平面B1D1D∥平面A1BD D. 平面AC1D∥平面ACD1
D
A
A. EF∥CD B. EF∥平面PCD
C. EF∥PD D. EF与PC异面
【解析】由EF∥AB，AB∥CD可知EF∥CD，因为EF 平面PCD，CD 平 面PCD，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面PCD，所以A，B正确；PC 是连接平面PAB内一点P和平面外一点C的直线，它与平面PAB内不经过点P 的直线EF是异面直线，所以D正确.
C
二、填空题
10. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，与CC1平行的棱有 条，异面的棱 有 条.
【解析】如图所示，与CC1平行的棱有3条，分别是BB1，AA1，DD1；与CC1异 面的棱有4条，分别是A1B1，AB，A1D1，AD.
3
4
11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1和B1C1的中 点，则直线EF与平面BDA1的位置关系是 .
12. 已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝l，m β， m∥l，则m与α的位置关系是 .
【解析】因为α∩β＝l，m β，所以m α，l α，再由m∥l结合线面平行的判 定定理，可知m∥α.
EF∥平面BDA1
m∥α
13. 若m，n为空间中两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个 命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n；
③若m∥α，m β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中不正确的命题有 .（填序号）
【解析】①若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面都有可能；②若 m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n一定成立；③若m∥α，m β，则α与β平行 或相交都有可能；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β平行或相交都有可能.
①③④
三、解答题
14. 在三棱锥P－ABC中，点D，E，F分别是棱PA，PB，PC上的点，且PD ＝2DA，PE＝2EB，PF＝2FC，求证：平面DEF∥平面ABC.
15. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，O为AC和BD 的交点，连接AE，CE，BD1.
求证：直线BD1∥平面ACE.
证明：连接OE.
因为O为AC和BD的交点，四边形ABCD是正方形，
所以O是BD的中点.
又因为E为DD1的中点，
所以在三角形BDD1中，OE∥BD1.
又因为OE 平面ACE，BD1 平面ACE，
所以直线BD1∥平面ACE.
16. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，E，F分别是AB，CD 的中点，求证：
（1）AF∥EC；
（2）AF∥平面PEC.
证明：（2）因为AF 平面PEC，EC 平面PEC，AF∥EC，
所以AF∥平面PEC.

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