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函数
专题三　常见函数的性质及函数的应用
3.7　常见函数的性质及函数的应用
知识点1　一次函数
1. 一次函数的一般形式为y ＝kx＋b（k≠0），其函数图像为直线，定义域和值 域都是R.
2. 单调性：当k＞0 时，在R上为增函数；当k＜0时，在R上为减函数.
特别地：（1）当k＞0，b＞0时，图像经过第一、二、三象限；反之亦成立.
（2）当k＞0，b＜0时，图像经过第一、三、四象限；反之亦成立.
（3）当k＜0，b＞0时，图像经过第一、二、四象限；反之亦成立.
（4）当k＜0，b＜0时，图像经过第二、三、四象限；反之亦成立.
3. 奇偶性：当b≠0时，一次函数y＝kx＋b（k≠0）为非奇非偶函数；当b＝0 时，一次函数为奇函数.
4. 应用一次函数模型求解问题时，应根据实际情况考虑函数的定义域，特别是求 函数的最大（小）值时，要考虑自变量是否有取整的需要.
4. 用待定系数法求二次函数解析式.设解析式一般采用三种形式：
（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0），其中（h，k）是顶点坐标；
（3）两点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是图像与x轴 的交点的横坐标.
5. 应用二次函数的模型解决实际问题时，要根据实际情况考虑函数的定义域，特 别地，求函数最大值或最小值时，用配方法将函数写成y＝a（x－h）2＋k （a≠0）的形式，再根据函数的单调性得出问题的解.
知识点4　分段函数
1. 在自变量不同的取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示 的函数叫作分段函数.分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集合的并 集，分段函数的值域是自变量在各段不同取值范围的函数值集合的并集.
2. 求分段函数的函数值f（x0）时，首先应该判断x0所属的取值范围，然后再把 x0 代入相应的解析式中进行计算f（x0）的值.
3. 在已知分段函数的函数值f（x0）后，求对应的自变量x0的值，首先应该 判断f（x0）所属的取值范围，然后再把 f（x0）代入相应的解析式中进行计 算x0的值.
知识点5　指数函数、对数函数的应用
1. 一般地，形如y＝cax（c为常数且c＞0，a＞0且a≠1）的函数模型叫作指数 模型，当a＞1时，该函数模型叫作指数增长模型；当0＜a＜1时，该函数模型叫 作指数衰减模型.
2. 指数函数与对数函数在日常生活中具有广泛应用，如人口增长问题、商品定价 问题、复利问题、细菌分裂问题和放射性物质衰变问题等.
例1　已知一次函数f（x）＝（m－2）x＋m2－2m－3的图像不经过第二象限.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若一次函数f（x）是奇函数，求logm9的值.
【解析】 （2）因为f（x）是奇函数，所以m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝ －1（舍去），
所以logm9＝log39＝2.
【解题技巧】 （1）一次函数图像不经过第二象限，则b≤0且k＞0.
（2）一次函数是奇函数，则b＝0.
【考查目标】 本题考查一次函数的图像和奇偶性.
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限
（2）一次函数y＝－x＋m与y＝x＋n的图像相交于点（a，1），则m＋n ＝ 　 　.
【解析】由题意可得－a＋m＝1，a＋n＝1，两式相加得m＋n＝2.
A
2
例2　某摩托车的油箱最多可存储5 L汽油，行驶时油箱内的余油量y（L）与行驶 路程x（km）成一次函数关系，其函数图像如图所示，求该摩托车加满油后能行 驶的最远距离.
【考查目标】 本题考查一次函数的实际应用.
变式训练2
某种轻质弹簧最大伸长长度是原长度的1倍，在该弹簧下悬挂重物，弹簧的长度 与所挂重物的质量成一次函数关系.当悬挂一个10 g的重物时，测得该弹簧的长度 为14 cm，当悬挂一个20 g的重物时，测得该弹簧的长度为16 cm（弹簧自身质量 忽略不计），请写出该弹簧长度y（cm）与悬挂重物x（g）之间的函数解析式， 并写出自变量x的取值范围.
A. （－1，2） B. （－2，1）
C. （2，－1） D. （－2，－1）
【考查目标】 本题考查反比例函数的奇偶性.
【答案】 D
【解题技巧】 奇函数的图像关于原点对称.
例4　记忆在学习过程中发挥着重要作用.因此，关于记忆规律的研究一直很受关 注.德国心理学家艾宾浩斯以自己为实验对象，对记忆保持量随着时间的推移而 变化的规律进行了系统研究，并给出了如图所示的“遗忘曲线”（近似双曲线的 一支）.用x代表自变量，表示时间（天），y表示记忆保持量.
（1）试根据图中提供的信息写出函数解析式；
（2）当x＝5时，求y的值.
【考查目标】 本题考查反比例函数的实际应用.
【解题技巧】 在实际问题中求出的函数解析式一定要注明定义域.
变式训练4
甲、乙两市可以乘动车往来，从甲市到乙市乘坐动车的路程为300 km，动车的最 大时速不超过250 km，刘萱同学准备乘动车从甲市到乙市上学.
（1）请写出从甲市到乙市的乘车时间t（h）与速度v（km/h）之间的函数关 系式；
（2）刘萱同学乘车的时间至少是多少小时？
例5　（2023年安徽省职教高考真题）若f（x）＝2x2＋ax＋1是R上的偶函数， 则f（x）在区间[－3，2]上的最小值为（　　）.
A. 0 B. 1 C. 9 D. 19
【考查目标】 本题考查二次函数的性质.
【解析】 由f（x）＝2x2＋ax＋1是R上的偶函数，得a＝0，则函数f（x）＝ 2x2＋1的图像开口向上，关于y轴对称，故f（x）在区间[－3，2]上的最小值为 f（0）＝1.
【答案】 B
【解题技巧】 （1）求有关二次函数的最大值与最小值问题时，最好先配方，再 根据单调性求最大值.（2）二次函数在对称轴两侧单调性相反.
A. 1 B. 1.5 C. 3 D. 0.3
【解析】由配方法，得f（x）＝2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1.依题意得f （b）＝b，即b＝2b2－4b＋3，解得b＝1.5或b＝1（舍去）.
B
（2）已知函数f（x）＝2x2＋（1－2a）x＋3满足f（2）＝f（4），求实数a 的值.
（3）已知函数f（x）＝－x2＋4x－2在区间[1，a]上的最大值为2，求实数a的 取值范围.
解：由配方法，得f（x）＝－x2＋4x－2＝－（x－2）2＋2，函数图像的对称 轴方程为x＝2，且f（2）＝2，
又函数在区间[1，a]上的最大值为2，所以a≥2.
故实数a的取值范围为[2，＋∞）.
（4）已知函数f（x）＝x2－4ax＋3在区间（－∞，1]上是减函数，求实数a的 取值范围.
解：f（x）＝x2－4ax＋3＝（x－2a）2－4a2＋3，
依题意得2a≥1，即a≥0.5.
所以实数a的取值范围是[0.5，＋∞）.
例6　某体育用品商店购进一批滑板，每块滑板的进价为100元，售价为130元， 每星期可卖出80块滑板.现商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星 期可多卖出20块滑板.
（1）求商家降价前每星期的销售利润；
【解析】 销售利润是每件商品的利润与销售量的乘积.每降价5元，多卖出20块 滑板，则每降价1元，多卖出4块滑板.
（1）（130－100）×80＝2 400（元）.
（2）降价后，商家若要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大 的销售利润是多少？
【解析】 （2）设销售利润为y元，售价为x元，
则销售量为80＋（130－x）÷5×20＝80＋4（130－x）（件）.
y＝[80＋4（130－x）]·（x－100）＝－4x2＋1 000x－60 000＝－4（x－125）2 ＋2 500，
所以当x＝125时，ymax＝2 500.
即售价定为125元时，每星期的销售利润最大，最大的销售利润是2 500元.
【考查目标】 本题考查利用二次函数求最大值问题.
变式训练6
将一段长为20 cm的铁丝剪成两段，并且以每段铁丝的长度为周长做成一个正方 形，要使两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么剪成的两段铁丝的长度之比 （短比长）是多少？
解得x＝4或x＝16，
所以剪成的两段铁丝的长度之比（短比长）为4∶16＝1∶4.
C. －2 D. 2
【考查目标】 本题考查分段函数以及对数的运算.
【答案】 D
【解题技巧】 求分段函数的函数值f（x0）时，首先应该判断x0所属的取值范 围，然后再把x0代入相应的解析式中进行计算f（x0）的值.
A. －2 C. 1 D. 0
B
C. 2
C
例8　某跨海大桥在一般情况下，大桥上的车流速度v（千米/时）是车流密度x （辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流 速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时.研究表明：当 20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数；当0＜x≤220时，求函数 v（x）的解析式.
【考查目标】 本题考查分段函数的应用.
【解题技巧】 分段函数的解题步骤：（1）确定分段函数各段自变量的取值范 围；（2）根据每段自变量中的等量关系列出函数解析式；（3）列分段函数并标 明自变量范围.
变式训练8
在相距400 km的A，B两个城市之间有国道相连（近似直线），现有甲、乙两人 开车各自从A，B两城市同时相向出发到对方的城市，其中甲的平均车速约为 120 km/h，乙的平均车速约为80 km/h.请写出甲、乙两车的距离y（km）与行驶 时间x（h）之间的函数关系式.
例9　某城市现有人口100万人，如果年自然增长率为1.2％，试解答下列问题：
（1）写出该城市x（x∈N*）年后的人口数y（万人）与x的函数解析式；
【解析】 （1）y＝100×（1＋1.2％）x＝100×1.012x（x∈N*）.
（2）计算10年以后该城市的人口总数；（参考数据：1.01210≈1.127，精确到 0.1万人）
【解析】（2）当x＝10时，y＝100×1.01210≈112.7（万人）.
（3）计算大约多少年以后，该城市人口能达到120万人.（参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005，精确到1年）
【解题技巧】 有关增长率（或减少率）的问题实质上是指数模型y＝c·ax问题， 其解析式一般可设为y＝c（1±b％）x的形式，其中c是基本量，“±”表示增 长或减少，b％表示增长或减少的百分数，x表示增长或减少的次数.
【考查目标】 本题考查指数函数与对数函数的实际应用.
变式训练9
我国是人口大国，粮食安全要时刻牢记，要把饭碗牢牢地端在自己的手中，才是 最安全的.某大型国有农场为了确保粮食稳产增产，对农田的土壤进行科学改良. 已知2023年水稻产量约为1 000吨，改造后预计在未来10年内水稻产量将每年按8 ％的速度增长.
（1）写出该农场从2024年开始，水稻产量y（吨）与x（年）之间的函数关 系式；
解：（1）水稻产量y（吨）与x（年）之间的函数关系式为
y＝1 000（1＋8％）x＝1 000×1.08x（1≤x≤10，x∈N）.
（2）计算2028年水稻产量.（可能用到的数据：1.086≈1.587，1.085≈1.469， 1.084≈1.360）
解：（2）2028年水稻产量约为1 000×1.085≈1 000×1.469＝1 469（吨）.
例10　某公司为激励创新，全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年 投入的研发资金比上一年增长10％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200 万元至少需要（　　）.（参考数据：lg 1.1≈0.041，lg 2≈0.301）
A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年
【考查目标】 本题考查指数函数和对数函数的实际应用.
【答案】 C
【解题技巧】 根据指数增长（衰减）公式：y＝c（1±b％）x，列出相应的指 数方程或不等式.再利用对数求值.
变式训练10
某商场2023年的销售额为25万元，在实行科学管理、优化营销策略后，每年的销 售额预计会按10％的幅度增长，照此发展下去，多少年后该商场的销售额可以翻 两番（精确到个位）？（可能用到的数据：lg 2≈0.301，lg 11≈1.041）
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
【解析】因为函数y＝－2x＋b在R上是减函数，所以[－2×（－2）＋b]－
（－2×3b＋b）＝16，解得b＝2.
A
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
【解析】因为二次函数f（x）＝ax2－bx＋2b＋3是定义在[－2a－4，4a]上的 偶函数，所以b＝0，且－2a－4＋4a＝0，解得a＝2，故a＋b＝2.
A. 5 B. －5 C. 2 D. 26
【解析】f（－4）＝f（－2）＝f（0）＝－02＋2＝2.
A
C
A. 1.5 m B. 2 m C. 3.3 m D. 4.3 m
C
A. f（x）＝x2＋1 B. f（x）＝x2＋2x
C. f（x）＝2x＋1 D. f（x）＝ cos x＋2x2
A. y＝0.02xa（x∈N*）
B. y＝1.02xa（x∈N*）
C. y＝（1＋0.02x）a（x∈N*）
D. y＝（1＋1.02x）a（x∈N*）
A
B
A. 21 B. －21 C. 3 D. －3
B
A B C D
B
A. [35，40] B. [35，45]
C. [50，60] D. [65，70]
【解析】由题意可得y＝－20x2＋2 200x≥60 000，则x2－110x＋3 000≤0，解 得50≤x≤60.
C
【解析】当m≥0时，2m－1＝7，解得m＝3；当m＜0时，m2＋3＝7，解得m ＝2（舍去）或m＝－2.综上所述，m＝－2或3.
（－2，4）
3或－2
12. 已知函数f（x）＝ax5＋bx3＋cx＋6，且f（－2）＝7，则f（2）＝ .
【解析】令g（x）＝ax5＋bx3＋cx，显然g（x）是R上的奇函数，因为f （x）＝g（x）＋6，f（－2）＝g（－2）＋6＝7，所以g（－2）＝7－6＝ 1，所以g（2）＝－g（－2）＝－1，故f（2）＝g（2）＋6＝－1＋6＝5.
13. 已知二次函数f（x）＝ax2＋（a－5）x＋5在（－∞，2]上是减函数，则a 的最大值是 .
5
1
三、解答题
14. 某饮料的保质期T（天）与储存温度n（℃）满足函数关系T（n）＝akn＋b （a＞0且a≠1）.已知该饮料在0 ℃的保质期为270天，在8 ℃的保质期为180 天，则该饮料在24 ℃的保质期是多少天？
15. 对任意x∈R，函数f（x）＝（m－2）x2＋2（m－2）x－4满足f（x）＜0 恒成立，求实数m的取值范围.
解得－2＜m＜2，
所以常数m的取值范围是（－2，2].
16. 某商场去年的销售额为200万元，实行岗位责任制后，今年的销售额预计增加 20％，若按该增长率，则再经过多少年后该商场的年销售额将达到400万元？ （参考数据：log1.22≈3.8，精确至1年）
解：设经过x年后该商场的年销售额达到400万元.
由题意，可得200（1＋20％）1＋x＝400，
整理得1.21＋x＝2.
即1＋x＝log1.2 2，
所以1＋x≈3.8，x≈2.8.
故再经过3年后该商场的年销售额将达到400万元.
17. 已知函数f（x）＝－x2＋bx－3在[－b，b]上的最小值是－11，求实数b 的值.
解得b＝2或b＝－2（舍去）.
18. 某科技公司生产的一种机器狗，其成本为1.5万元/只，经市场部门调研发 现，若机器狗以2.5万元/只出售，每年可售出3万只；若机器狗以3万元/只出售， 每年可售出2万只.如果年销售数量y（单位：万只）与售价x（单位：万元/只） 之间是一次函数关系.
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果生产的机器狗都可以销售完，在无其他因素影响下，售价定为多少 时，所获取的年利润最大？最大利润是多少？

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