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(共42张PPT)
　立体几何
专题一　点、线、面之间的位置关系
8.4　直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
知识点1　空间线面、面面垂直的定义
1. 直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面 互相垂直.
2. 平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直角，那么就称这两个平面互相垂直.
知识点2　线面垂直的判定定理与性质定理
1. 直线与平面垂直的判定定理
（1）定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这 个平面垂直，即m α，n α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n l⊥α（线线垂直 线 面垂直），如图所示.
（2）定理2：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这 个平面，即m∥n，m⊥α n⊥α，如图所示.
2. 直线与平面垂直的性质定理
（1）性质1：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有 直线都垂直，即l⊥α，m α l⊥m（线面垂直 线线垂直），如图所示.
（2）性质2：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行，即 l⊥α，m⊥α l∥m（线面垂直 线线平行），如图所示.
知识点3　面面垂直的判定定理与性质定理
1. 两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即l⊥α， l β β⊥α（线面垂直 面面垂直），如图所示.
2. 两平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个 平面，即α⊥β，α∩β＝m，l β，l⊥m l⊥α（面面垂直 线面垂直），如图 所示.
例1　下列四个命题中，正确的是（　　）.
A. 若直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α
B. 若过一点作已知直线的垂面，则有且只有一个平面
C. 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面
D. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
【考查目标】 本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理.
【答案】 B
【解析】 选项A中，直线l与平面α内无数条直线都垂直，当平面α内的这些直线 互相平行时，此时直线l可能与平面α平行，可能在平面α内，也可能与平面α相 交但不垂直；选项C中，如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线与另一个平面垂直，否则不垂直；选项D中，若平面α内的一条直线 垂直于平面β内的无数条直线，当平面β内的这些直线互相平行时，则平面α内的 该条直线不一定垂直于平面β，所以两平面不一定垂直.
例2　如图所示，直线PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于 A，B的任意一点.求证：
（1）BC⊥平面PAC；
【解析】 （1）因为直线PA⊥平面ABC，且BC 平面ABC，所以BC⊥PA.
因为C为圆上异于A，B的任意一点，AB为直径，所以BC⊥AC.
又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
（2）PC⊥BC.
【解析】 （2）由（1）可知BC⊥平面PAC，且PC 平面PAC，所以 PC⊥BC.
【考查目标】 本题考查线面垂直的判定定理和性质定理的具体应用.
【解题技巧】 （1）证明直线和平面垂直的常用方法：
①利用线面垂直的判定定理；
②利用直线垂直于平面的传递性（m∥n，m⊥α n⊥α）；
③利用面面平行的性质（m⊥α，α∥β m⊥β）；
④利用面面垂直的性质定理.
（2）证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需要借助于线面 垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
A. PA⊥AB B. PA⊥AC
C. BC⊥平面PAB D. AB⊥平面PBC
D
【解析】因为PA⊥平面ABC，且AB 平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面 ABC，且PA∩AB＝A，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC. 又因为∠ABC ＝90°，所以BC⊥AB，且PA∩AB＝A，故A，B，C均正确.而AB⊥平面 PBC错误，因为在△PAB中，AB与PB不是垂直关系.
（2）如图所示，在三棱锥S－ABC中，若AC＝SC，AB＝SB. 求证： SA⊥BC.
证明：取SA的中点D，连接BD，CD.
因为AC＝SC，AB＝SB，
所以BD⊥SA，CD⊥SA.
又因为BD∩CD＝D，BD 平面BCD，CD 平面BCD，
所以SA⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，故SA⊥BC.
例3　（2025届安徽省“江淮十校”职教高考第二次联考）如图所示，四棱锥P －ABCD的底面为正方形，若PA⊥平面ABCD，则下列结论中正确的有 （　　）个.
①PA⊥BD　②BC∥平面PAD　③BD⊥平面PAC　④平面PBD⊥平面PAC
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【考查目标】 本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判断.
【答案】 D
【解析】 因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，故①正 确；因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，因为BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD，故②正确；因为四边形ABCD为正方形，所 以BD⊥AC，又因为BD⊥PA，PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面 PAC，所以BD⊥平面PAC，故③正确；因为BD 平面PBD，BD⊥平面 PAC，所以平面PBD⊥平面PAC，故④正确.综上所述，正确的结论有4个.
【解题技巧】 解这类位置关系的判断问题，关键是熟知有关定理的条件和结论. 如线面平行的判定中要注意一条直线在平面外，一条直线在平面内；线面垂直的 判定中要注意一条直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交直线”是关键词.
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
【解析】已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，①若α∥β，而l⊥α，则l⊥β，又 因为m β，则l⊥m成立；②若α⊥β，则l∥β或l β，所以l∥m不一定成立； ③若l∥m，则m⊥α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β成立；④l⊥m时，α⊥β 不一定成立.
C
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
C
【解析】如图，因为DA⊥平面ABC，所以平面DAC⊥平面ABC，平面DAB⊥ 平面ABC. 又因为DA⊥平面ABC，AB⊥AC，所以直线AB⊥平面DAC，所 以平面DAB⊥平面DAC.
例4　（2022年安徽省职教高考真题）如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB， OC两两垂直，则下列判断正确的是（　　）.
A. △ABC是等边三角形
B. △OAB是等腰三角形
C. 平面OAB⊥平面ABC
D. 平面OAB⊥平面OBC
【答案】 D
【解析】 ∵OA，OB，OC不一定相等，∴选项A，B错误；∵OA⊥OB且 OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，又OA 平面OAB，∴平面 OAB⊥平面OBC.
【考查目标】 本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系.
【解题技巧】 （1）证明面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判 定定理.
（2）已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的 垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
（3）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.当要作一个平面的一条垂 线时，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
（4）化归思想在这里的运用：要证明面面垂直，就要转化为线面垂直；而要证 明线面垂直，就要转化为线线垂直（由复杂的向简单的转化）.当然在一些较为 复杂的问题中，有时不是一次性转化就能完成任务的，而是要进行反复的相互转 化（将未知转化为已知），方能使问题最终得到解决.牢记这一转化思想，许多 复杂的问题都能轻松解决.
变式训练3
A. AE⊥D1F B. DE⊥D1F
C. AE⊥BC D. DE⊥BC
D
【解析】如图，易知BC∥AD，BC 平面ADE，则BC∥平面ADE. 在正方体 中，又BC⊥平面ABB1A1，AE 平面ABB1A1，所以BC⊥AE. 因为AE∩DE ＝E，所以BC不可能与DE垂直，否则BC既与平面ADE平行，又与平面ADE 垂直，所以D项错误.
A. MN∥平面PAD B. PA∥MN
C. MN⊥平面PCD D. PC⊥MN
A
【解析】取CD中点F，连接MF，NF，因为MF∥AD，NF∥PD，MF∩NF ＝F，AD∩PD＝D，所以平面NMF∥平面PAD，故MN∥平面PAD；取BP 中点Q，连接MQ，则PA∥MQ，因为MN∩MQ＝M，所以MN与PA异面； 仅根据题给条件，无法判断MN与平面PCD、PC与MN的位置关系.
A. PB⊥AD
B. AC⊥平面PBD
C. AC⊥平面PBC
D. 平面PAC⊥平面PBD
C
【解析】因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AD，PB⊥AC，又因为底面 ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 又因为PB∩BD＝B，PB 平面PBD，BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD，由AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面 PBD，A，B，D项正确.若AC⊥平面PBC，则平面PBC∥平面PBD，但平面 PBC与平面PBD相交，C项错误.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
A. m α B. 直线l与m异面
C. m⊥l D. m β
【解析】在平面α内过点P作直线n⊥l（n，l相交），根据面面垂直的性质定 理可知n⊥β，因为过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以直线 m，n重合，所以m α，m⊥l成立，直线l与m异面不成立，由m⊥β知m β 成立.
B
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上均有可能
【解析】在空间中，若a⊥b，b⊥c，则直线a与c平行、相交、异面均有可 能.
A. 平面OBC B. 平面OAC
C. 平面OAB D. 平面ABC
D
A
A. 直线AB与直线DF垂直 B. 直线AC与平面DEF相交
C. 直线AC与直线DE垂直 D. 直线AC与平面DEF平行
【解析】在△ABC中，因为AE＝2EB，BF＝2FC，且EF与AC在同一平面 内，所以EF不平行于AC，即EF与AC相交，故直线AC与平面DEF相交.
B
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
C
A. 平面α上有无数条直线与直线l异面垂直
B. 平面α上与直线l垂直的直线互相平行
C. 平面α上任意一条直线都与直线l垂直
D. 平面α上有无数条直线与直线l垂直
【解析】平面α上与直线l垂直的直线可能平行，也可能相交.
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m⊥α，n∥m，则n⊥α
C. 若m⊥α，m⊥n，则n⊥α D. 若m∥α，n⊥m，则n⊥α
B
B
二、填空题
9. 已知点P为30°的二面角α－l－β的半平面α内一点，且点P到l的距离为6， 则点P到平面β的距离为 .
10. 在空间中，若l⊥α，m α，则l与m的位置关系是 .
3
相交或异面
11. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，在四面体A1－ABC的四个面中，直角 三角形的个数是 .
4
【解析】如图，由正方体的性质可知∠ABC＝∠A1AB＝90°；而由CB⊥平面 A1AB，可得BC⊥A1B；由A1A⊥平面ABC，可得A1A⊥AC，所以四面体A1 －ABC的四个面，每个都是直角三角形.
三、解答题
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：直线B1C⊥平面ABC1D1.
证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
易知AB⊥平面BCC1B1，
所以AB⊥B1C.
在正方形BCC1B1中，BC1⊥B1C.
又因为AB和BC1相交且都在平面ABC1D1内，
所以直线B1C⊥平面ABC1D1.
13. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，连接AC，BD， AC与BD交于O点，且PA＝PC，PB＝PD. 求证：
（1）直线PO⊥平面ABCD；
证明：（1）如图，在△PAC中，因为PA＝PC，
所以PO⊥AC，同理PO⊥BD.
又因为AC∩BD＝O，且AC 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以直线PO⊥平面ABCD.
（2）平面PAC⊥平面PBD.
证明：（2）由（1）知，PO⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又因为PO∩BD＝O，且PO 平面PBD，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
又因为AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.
14. 如图所示，在正三棱锥P－ABC中，O为AC的中点.求证：
（1）AC⊥平面POB；
证明：（1）在正三棱锥P－ABC中，易知△PAC是等腰三角形.
又因为O为AC的中点，所以AC⊥PO.
因为△ABC是正三角形，所以BO⊥AC.
因为PO与OB相交且都在平面POB内，
所以AC⊥平面POB.
（2）平面POB⊥平面ABC.
证明：（2）由（1）知，AC⊥平面POB，且AC在平面ABC内，所以平面 POB⊥平面ABC.

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